Auteur : WARME R.

 

MATHEMATIQUES :Niveau V.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOSSIER  n° 8 / 25

 

 

Document : ELEVE

 

 

TABLEAUX NUMERIQUES

 

"REPERAGE" sur une droite et dans un plan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

NOM : ………………………………

Prénom : …………………………..

 

Classe :…………………..

 

Année    scolaire : ………………………                                        

 

Dossier pris le : ……/………/………

 

Validation de la  formation :    O -  N

           

 Le : ……………………………………..

Nom du  formateur  : ……………………

 

ETABLISSEMENT : …………………………………………..

 

 

DOC. : Professeur ; Formateur

8 / 25

DOC : livre  Elève .Cours  interactifs - et travaux +  corrigés.

TITRE :                   LES TABLEAUX NUMERIQUES ; COURS;

LE REPERAGE  sur la droite et dans un plan .

DOSSIER COURS N°8 INTERACTIF

Informations « TRAVAUX auto formatifs»

Cliquer sur  le mot !.

INFORMATIONS PEDAGOGIQUES :

NIVEAU :

Formation  Niveau V  (inclus le CAP et CFA)

OBJECTIFS :

- Savoir lire  construire et remplir un tableau à simple et un tableau à double entrée.

- Savoir exploiter la graduation sur un axe.

- Savoir exploiter les graduations des axes  d’un repère du plan.

- Savoir exploiter la représentation graphique d’une courbe dans un repère .

Première page d’écran  interactif   ;  Cliquer sur  « cours ».

Lire  « repérage  et » : détermination d’un point

I ) Pré requis:

Lectures importantes :

a)     Repérage 1 (primaire)

b)     Repérage 2 ( primaire)

c)     « Repérage » définition.

d)     les repères cartésiens .

e)     repérage d ’ point dans un repère cartésien.

f)       Calculs numériques

II ) ENVIRONNEMENT du dossier :

Index  

Objectif précédent :

1°)Calcul d’une valeur numérique d’une expression algébrique.

2°)les nombres relatifs

Objectif suivant :

Pour en savoir ++++

 Liste des cours "Repérage"

2°)le tableau en statistique.

 

1°)Tableau :

retour vers :

2°) Liste des cours niveau V

 

 

 

Important : il faudrait étudier  : les Généralités  sur « la fonction ».

 

 

 

 

 

III )  LECON  n° 8 :      LES TABLEAUX NUMERIQUES; LE REPERAGE  sur la droite et dans un plan .

Chapitres :

1°) Le tableau numérique  à simple ou double entrée.

 Info plus ! ! ! !

2°) Repérage sur un axe

Info plus ! ! !

3°) Repérage dans le plan

Info plus ! ! ! !

4 .  Repérage et « représentation graphique » d’une équation .

Info plus ! ! !

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

Test

COURS  

Travaux  auto - formation.

leçon 24 INTERDISCIPLINARITE

2°) Série « cours »

 

Corrigé des travaux  auto - formation.

Etude du cours

Contrôle

Evaluation :

 

CORRIGE  contrôle :

CORRIGE évaluation :

Guide

Etude 1

Guide

Etude 2

V )   DEVOIRS  ( écrits):

 Devoir diagnostique L tests.

Ÿ

 Devoir  Auto  -  formatif  (intégré au cours)

Ÿ

  Devoir Formatif  « Contrôle : savoir » ;   (remédiation)

Ÿ

 Devoir  Formatif  «  Evaluation   savoir faire »  (remédiation)

Ÿ

Devoir sommatif .

Ÿ

Devoir certificatif : ( remédiation )

Ÿ

* remédiation : ces documents peuvent être réutilisés (tout ou partie) pour conclure une formation.

 

Travaux spécifiques qui peuvent être donnés : ( niveau VI et V)

 

 

 

 

 

 

Liste des dossiers proposant des tableaux  à remplir :

Dos.40

Dos.55

Dos.61

Dos.71

Dos.70

Dos.73

Dos.102

Dos.110

Dos.111

Dos.112

Dos119

Dos.125

 

 

Dos.130

Dos.135

Dos.140

Dos.147

Dos.154

Dos. 156

Dos. 179

Dos.180

Dos.184

Dos.190

 

 

Dos.193

Dos.196

Dos.202

Dos.203

Dos 205

Dos.207

 

Dos.212-213

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Etudes de tracés

Dos.210-211

 

 

 

 

 

 

 


 

Leçon

Titre

N°8

LES TABLEAUX NUMERIQUES, le REPERAGE  sur une droite et dans un plan  .

 

 

COURS

 

i9  

I.          LE TABLEAU NUMERIQUE

:i

Info : 

Le tableau numérique est utilisé en statistique ( exemple rangement et classement  de données)  , en économie (exemple :  facture), et dans les études de fonction « mathématique ».

Dans l’étude des fonctions : on rencontrera  le tableau  numérique   et le tableau dit de « variation » . Ces tableaux sont à  remplir , ou a compléter  . Les valeurs « contenues »  vont permettre d’ identifier ou  placer des « points » dans un repère . ( voir le chapitre « 3 » de cette leçon.)

Dans l’étude graphique d’une fonction : on reportera dans le tableau des informations numériques  (généralement des  coordonnées) qui sont « caractéristiques ». ( voir le chapitre « 3 » de cette leçon.)

Un tableau numérique , à double entrées , en  particulier ;  retiendra notre attention lors de l’étude de la fonction linéaire ; on l’appelle : tableau « de proportionnalité »  

 

i9  

I.1.         Tableau à simple entrée 

:i

 

Dans un tableau  numérique à simple entrée , une information est obtenue par la lecture d’une colonne ou d’une ligne .

 

+Activité n°1 

 

On donne la répartition des   204  élèves d’ un collège est :  58 en 3ème ;  74  en  5ème ; 59  en 4ème ;  65  en 6ème ;   18ème  en classe pré professionnelle .

On demande  de mettre ces  données dans un tableau  à lecture en ligne , puis à lecture en colonne .

Nota : les classes sont aussi appelées « secteurs » .

 

Solution :

On peut reporter ces données dans un tableau pour une lecture en colonne :

 

Nom des classes . (secteurs)

Pré - professionnelle

En  6ème

En  5ème

En  4ème

En  3ème

Effectifs

18

65

74

59

58

 

On peut reporter ces données dans un tableau pour une lecture en ligne :

 

Nom des classes : ( secteurs)

Effectifs

Pré - professionnelle

18

En  6ème

65

En  5ème

74

En  4ème

59

En  3ème

58

A retenir :

Dans ce tableau à simple entrée, l’effectif d’un « secteur » apparaît dans une colonne , au droit de la désignation, du secteur .

 

C’est ainsi que l’on peut lire  qu’en 5ème  il y a 74 collégiens .

Autre exemple :

Corps pur

Fer

Cuivre

Argent

Zinc

Plomb

Etain

Eau

Alcool

Température  de fusion. ( °C)

1535

1083

960

420

327

232

0

- 139

Température  d ’ ébullition  ( °C)

2750

2336

2000

907

1740

2270

100

79

 

i9  

I.2.        Tableau à double entrées

:i

 

+Activité n°2

 

Dans le collège , les élèves garçons et filles se répartissent  de la façon suivante .

 

 

Filles

Garçons

Total

Classe pré professionnelle

6

12

18

6ème

36

29

65

5ème

39

35

74

4ème

35

24

59

3ème

30

28

58

Dans un tableau à double entrées , l’effectif  des filles en 5ème  apparaît à  l’intersection de la ligne « 5èm»    et de la colonne « Filles » ;

 

  Ainsi on peut interpréter : il y a 12 garçons en classe pré – professionnelle.

 

 

+Activité n°3

Les distances pour s’arrêter sont fonctions de la vitesse ! ! ! !

 

Un véhicule  parcours 20 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 20 km/h   ;

Un véhicule  parcours 40 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 40 km/h ;

Un véhicule  parcours 80 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 60 km/h ;

Un véhicule  parcours 140 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 80 km/h ;  …………

Un véhicule  parcours 220 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de 100 km/h ;  …………

Un véhicule  parcours 320 m  pour s’arrêter ,s’il roulait  à  une vitesse de  120 km/h ;  …………

Ce qui permet de construire le tableau :

 

Vitesse en Km/h

20

40

60

80

100

120

Distance (m)

20

40

80

140

220

320

 

+Activité n°4

 

Un libraire solde des cahiers en les vendant par lots de « 3 ».Un lot de « 3 » cahiers est vendu  5 €.

Exemple de tableau  à double entrées que le  commerçant peut  représenter.

 

Nombre de lots

1

4

6

7

10

Prix  ( en €)

5

20

30

35

50

 

iConclusion : dans un tableau numérique  à double entrées , une information est obtenue à l’intersection d’une ligne et d’une colonne .

+ Exercice

 

1°) Soit l’extrait d’un relevé de compte :  ( en  € )

 

Date

Valeur

Nature des opérations

Débit  -

Crédit  +

  Ancien solde au  28/04 /200..

 

8 411,38

01/04

30/ 03

Facture CB du 28/03/

29,58

 

01/04

01 / 04

Retrait guichet 

 259,16

 

04/04

03/04

Paiement av. prélèvement .Trésor public 80 impôt

137,36

 

10/04

09/04

EDF Prélèvement pays de l’A

15,23

 

13/04

12/04

Virement faveur du compte .

 

259,16

21/ 04

08/04

Votre chèque   n°……….

14,94

 

21/04

19/04

Facture CB du  19/04

335,39

 

28/04

29/04

Virement TPG Somme Paye

 

1 884,86

Nouveau solde  à la date du :   ….. / …../ …2 0……

 

 

 

Questions :

1°) Mettre  le signe plus ou moins devant chaque opération  ( débit = - , crédit = +)

_ 8411,38 ;  _ 29, 58 ;  _ 259,16 ; _ 137,36 ; _ 15,23 ; _ 259,16 ; _ 14,94 ; _ 335,39 ;  _ 1884 , 86 .

2°)Calculer le montant total des débits .

3°) Calculer le montant total  des crédits .

4°)Calculer le montant du nouveau solde avant virement  du salaire  au  29 / 04

 

( Ce travail  faisant suite au cours sur les  nombres relatifs )

 

 

 

 

 

i9  

II.               REPERAGE    sur un axe

Cd : Info plus !  !

 

 

Définition : Un axe est une droite  orientée  munie d’un repère ( O, I ) ; O est l’origine du repère , et I est le point d’abscisse 1 .

La graduation se construit soit avec un compas ou une règle graduée , ensuite on numérote : +1 ; +2 ; +3 ; …. Pour les négatifs -1 ; -2 ; -3 ;…..

 

 

 

 

Ici  le point M à pour abscisse ( + 2,5)

 

 

A chaque point M  de l’axe  correspond  un et un seul nombre relatif noté  xM  . Ce nombre  est l’ abscisse  de M .

+Activité n°5

 

On donne les coordonnée des points  M ( 0,5) ; N ( -2) et P ( 2,25) , On demande de les placer  sur la droite graduée :

 

 

Solution :

 

+Activité n°6

 

On  donne  des points sur une droite  A , B , C  et un segment unitaire (O,I);

Graduer la droite et donner les abscisses de ces points.

 

 

 

Solution : On numérote les graduations ; et l'on relève les valeurs :A (+1,5) ; B ( -1) ; C (+3)

 

 

+Activité n°7  Recherche de l’origine d’un repère connaissant la position de deux points

 

Info plus : mesure algébrique d’un bipoint .

 

Enoncé du problème :

 

Soient 2 points A et   B .

On donne leurs abscisses :    on appelle :   x A  ( = +1,5 )   l’abscisse du point  A  et   on appelle  x B   ( = - 5,5 ) l’abscisse du point  B

 

Noter sur l’axe, , après avoir fait le calcul nécessaire ,  la position de l’origine O de la graduation.

 

 

 

Procédure de calcul : 

 

1°)  Il faut rechercher  par le calcul le nombre de graduations qui sépare les deux points.

en faisant                Nombre de  graduations = x A  -   x B 

( on remplace)    soit   =  ( +1,5 ) - ( -5,5)

(on transforme )            = ( +1,5 ) + ( +5,5)

                                        = ( +  ( 1,5  + 5,5))

                      = ( + 7)

Il y a 7 graduations qui séparent les deux points A et B

 

2°) On mesure la longueur qui sépare les deux points :   7 cm

 

3°) On divise la longueur du segment de  droite ( 7 cm ) qui sépare ces deux points A et B  par le nombre de graduation ( 7 ) , on connaîtra  la longueur d’un segment unitaire ( u )  :

  7 : 7  = 1 cm

4°) La longueur  d’une graduation est de 1 cm .

 

5°) Conclusion :

 

Le point 0 se trouve à 1,5 cm à gauche du point A  ou à 5,5 cm à droite du point B

 

 

 

 

a) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

 

Réponse : En raccourci :  7 cm = 1,5 - ( -5,5) =  7 u donc u= 1 cm

 

 

Activité n°8  : Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

A)

 

Soit 10 cm pour 5 graduations  ( calcul :  3 - ( -2)   = 5 ) donc 1 unité = 10 cm :5  = 2 cm

 

B)

 

Soit 4 cm pour 4 graduations  ( calcul   5 - (+1) =   4 ) ; soit  1 graduation = 1 cm .


 

i9  

III.     REPERAGE DANS UN PLAN.

Cd :Info N°1plus !    ;Cd : Info N°2 plus ! 

Info :

Pour repérer un point sur une ligne il faut connaître 1 valeur ( ou 1 dimension). :    « x »

Pour repérer un point dans un plan il faut connaître 2 valeurs ( ou 2 dimensions). : «   x ; y » 

Pour repérer un point dans l’espace il faut connaître 3 valeurs ( ou 3  dimensions).   « x ; y ; z » 

 

Le repère que l’on utilise est appelé  aussi : « repère cartésien » ; ( venant  du mathématicien « Descartes »)

 

1° )  nomenclature :

 

Dans un repère  ( O , I  , J )  du plan  , d’axes ( x’ O x ) et  ( y’ O y )  perpendiculaires     , chaque point  tel que « M » est repéré par ses coordonnées : son abscisse    x M   et  son ordonnée y M  .

      = x M   et   y M  sont des nombres relatifs.

     =On notera :     M (x M ; y M)

 

 

=Les coordonnées  d’un point  dans un repère  du plan  sont des nombres relatifs ; ils peuvent être positifs. ou négatifs.

 

2°) +Activité n° 9

 

On place  dans un repère cartésien des points : ( M , P , N, R )

 

On en déduit les informations suivantes  :

 

 

Abscisse

Ordonnée

Coordonnées

Nota

M

Mx = + 3

M y  = +2,5

M ( 3; 2,5)

x  > 0 ; y  > 0

P

Px = -4

P y  =  +2

P ( -4 ; +2 )

x <0 ; y > 0

N

Nx = -3,5

N y  = -2

N ( -3,5 ; -2)

x<0 ;   y < 0

R

Rx = +2

R y  =   -1,5

R ( 2 ; -1,5)

x>0 ; y < 0

 

 

iIl faut retenir qu'un plan peut être divisé en quatre parties ou quadrants .

Et que l'on identifie la position d'un point dans un quadrant précis ,aux signes des valeurs des coordonnées de ce point .

Coordonnées du point « P »  ( +5 ; - 3 ) 

 

3 -  Abscisse du milieu d’un segment sur un axe

 Info plus .

Schéma:

Soit une droite graduée , un  point « O » d ‘ abscisse « 0 »  , un point « I »  d ‘abscisse « 1 » , un point « A » d ‘abscisse « xA »  et un point « B » d ‘«  abscisse « xB »

 

 

 

 

 


*

            La position (x M) du milieu ( noté M) d'un segment est égale  à la somme de l'abscisse de l'extrémité (x B )plus l'abscisse de l'origine ( x A)du segment divisée par deux .

 

 

 

xM =

 

 

 

 

Application:

Sur une droite graduée "x"; on trace un segment AB tel que A= + 5  ; et B = (+8) ; quelle est la position du point M sur la droite graduée ?

Solution :

On sait que" le milieu d'un segment est égal à la somme des valeurs des extrémités" ; On peut écrire  que :

 

x M =

 

On remplace les lettres par les valeurs:

x M =  

x  M =

 

x  M =  (+6,5)

Conclusion : la position du point M sur la droite graduée "x" est de (+6,5)

 

 

Vérification: prendre une graduation égale à un cm. il suffit de tracer une droite , de placer les extrémités du segment , de placer le milieu sur ce segment, et ensuite de mesurer la longueur qui sépare le point "M" de l'origine "O" de l'axe .

 

 


 

Info  1 plus : des modèles de tracés! ! !

IV.  Repérage : représentation graphique d’une FONCTION.

:i ; Info 2 :  « définition d’équation »

 

Formation niveau V :   On doit savoir représenter une fonction dans un repère cartésien .Les fonctions à savoir représenter , ou à reconnaître,  sont les fonction  dites « linéaires » et les fonctions  dites « affines ».

 

La fonction linéaire à une équation de la forme : y = a x ;             la fonction affine à une équation de la forme y = a x + b .

 

Informations : Pour repérer un point il faut 2 valeurs : une appelée « x »  et l’autre « y » .

  La valeur de « y » est obtenue en fonction de la valeur de « x »   que l’on  notera   :    y = f( x )  ;  .   Les coordonnées d’un point se noteront  :  ( x ; y )   ou    ( x ; f(x)) 

 

La représentation graphique d’une fonction  notée « f(x) » dans un repère est  un ensemble de points dont de coordonnées  ( x ; y ) ; , ces valeurs placées dans l’ordre  permettront de  placer  chaque point  dans un repère dit « cartésien » .

 

Pour faire cette représentation graphique d’une fonction on a besoin d’une équation mathématique .

 

C’est à partir de cette équation , que l’on calculera la valeur de l’ordonnée ( y )   d ‘ un  point  . On déterminera  ( ou on attribuera )  une valeur à « x » , pour obtenir la valeur de « y » correspondante .   

 

 Pour obtenir les coordonnées d’un point , on se fixe donc  une  valeur de l’abscisse « x » ( valeur qui est donnée ou choisie) , pour trouver la valeur de l’ordonnée .

Les valeur de « x » sont soit données ; soit choisies .

 

 En règle générale on choisit des valeurs de « x » comprises entre une valeur mini et une valeur max. fixées au préalable , ces valeurs s’appellent « bornes ».   

 

Par exemple : on peut décider de  connaître le tracé  d’une fonction ,  pour des valeurs de    x  =  [ 0 ; 4 ]   ; ( on peut écrire  pour des valeurs de « x » :  0   £  x  £  + 4  )

 

Au niveau V ; on  aura une équation  ,un  tableau à remplir , ( généralement on nous fixe les valeurs de « x » ; il faut  trouver , par calcul , les valeurs « y » .Il reste ensuite à reporter les points  à l’aide des coordonnées  dans un repère . ( ce repère est : soit donné , soit à construire soit même ) .

 

une fonction

fonction  dite « linéaire »

fonction  dite « affine ».

Ci dessous : on vous à tracé une droite passant par « O » ; toutes les droites passant par « 0 » sont les représentantes des fonctions dites « linéaires »

Ci dessous : on vous à tracé une droite ne passant  pas par « O » ; toutes les droites ne passant pas par « 0 » sont les représentantes des fonctions dites « affines »

 

La fonction linéaire à une équation de la forme : y = ax ; la fonction affine à une équation de la forme y = ax + b .

 

La représentation graphique d’une fonction  notée « f(x) » dans un repère est réalisée  par tous les points dont les coordonnées sont   ( x ; y )  ou , puisque y = f(x)  ; ( x ; f(x)) ; placés dans un repère dit « cartésien » .

 

Pour faire cette représentation graphique on a besoin d’une équation mathématique . C’est à partir de cette équation , que l’on calculera la valeur de l’ordonnée  de chaque point ( y) ; en prenant , pour chaque valeur de « y » une  valeur de l’abscisse « x » ( donnée ou choisie)  .

Les valeur de « x » sont soit données ; soit choisies .

 En règle générale on choisit des valeurs de « x » comprises entre une valeur mini et une valeur max. , que l’on appellent « bornes ».     exemples on veut connaître le tracé  d’une fonction , pour des valeurs de    x =  [ 0 ; 4 ]   ; on peut écrire  pour des valeurs de « x » :  0   £  x  £  + 4

Pour les élèves , pour leur faciliter le travail , on leur donne un tableau à remplir , à eux ensuite de reporter les coordonnées dans un repère . ( ce repère est : soit donné , soit à construire soit même ) .

On trouvera , comme ci dessous ,des droites parallèles à l’axe des « x » 

On trouvera , comme ci dessous , des droites parallèles à l’axe des « y » 

 

Ci dessous , on vous donne des  exemples d’utilisations des tracés  de droites pour relater des faits L à vous de traduire. !!

Nota : chaque segment de droite à pour support une droite !!!!! chacune de ces droites ont une équation qui lui est propre.

Ainsi en le point  A et  le point  B la fortune augmente , puis  en  BC celle décroît . A partir de C cette fortune croît jusqu’en D ? à partir de D elle croît moins vite jusqu’au point « E ». 

Distance parcourue en fonction du temps !!

Si en abscisse on trouve le temps et en ordonnée la distance parcourue .

On suppose qu’une personne se déplace , elle s’arrête pour « un repos »  (on remarque le palier : le temps s’écoule , et aucune distance n’est parcourue) ,au bout d’un « certain temps » , la personne repart , elle poursuit son chemin .

 On peut remarquer que la pente de la droite est plus importante dans la deuxième partie du parcours , donc que la personne se déplace plus rapidement.

 

Si l’on termine la graduation on remarque que la somme de ( 220 € ) est payée pour une distance maximale de 150 km . A partir de 150 km on paye 360 €

 Au point « 0 » , on part , pour aller à un endroit .

La personne marche pour atteindre son but , elle s’arrête ( repos ?) . Ensuite elle revient à son point de départ . On remarque qu’elle met moins de temps pour revenir.

Des exercices de ce type sont donner à analyser dans les travaux auto formatifs.

 

+Activité n°9  ( donnée avec le  corrigé)  :    Représenter une fonction dans un repère.

 

Cd :Info plus !!sur « tracer uns courbe !!!

 

Définition :

 La représentation graphique d’une fonction f dans un repère est constitué par tous les points dont les coordonnées sont   ( x ; y )  ou , puisque y = f(x)  ; ( x ; f(x)) 

 

Exemples :

 

1°) On veut représenter graphiquement la fonction dont l’équation est       f1 (x) =  2,5 x     pour des valeurs de x comprises entre 0 et 4.

 

On demande de remplir  le tableau suivant : ( il faut calculer pour chaque point sa valeur « y »)

 

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

f1(x)   ( = y)

?

?

?

?

?

?

?

?

?

On donne le papier millimétré suivant : on demande de placer les points « A….., »   après avoir calculer pour chacun  ses  coordonnées

 

CORRIGE :

Les valeurs de f1 (x)  =  y     sont calculées à partir des valeurs données à   « x » :

 

Si x = 0                        alors f1 (0) = 2,5 ´ 0 = 0

 

Un point A1 de la représentation graphique a pour coordonnées A1(0 ; 0)

 

Si x = 0,5                     alors f1 (0,5) = 2,5 ´ 0,5 = 1,25

 

Un point A2 de la représentation graphique a pour coordonnées A2(0,5 ; 1,25)…..

 

 

On regroupe ces résultats dans un tableau appelé « tableau de valeurs »

 

 

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

f1(x)

0

1,25

2,5

3,75

5

6,25

7 ,5

8,75

10

 

On peut alors reporter chaque point dans le repère :

 

On peut constater que les points sont alignés !!!!!!!!!!

 

 


  exemple :  Compléter le tableau suivant:   avec l’équation :            f2(x)  =  x - 1

 

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

f2(x) =   y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et  placer les points  Bn  dans un repère cartésien .

 

 

Une fois le tableau rempli il  ne reste plus qu’à  reporter chaque point  dans le repère !!!

 

 

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

f2(x) =   y

0

-0,8

-0,5

-0,2

0

1

2

3

4

Une fois encore on pourra constater que les points sont alignés :

 

Ci dessous :   Représentation graphique  de l’équation            f2(x)  =  x - 1

 

 

 


3° Exemple :   soit l’équation   f3(x) = -2x  + 0,5   ,  Compléter le tableau suivant:

Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Corrigé :

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f3(x)

+0,5

0,9

1,5

2,1

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

 

Représentation graphique  de l’équation :             f3(x) = -2x  + 0,5  

 

 

 


 

4°) Compléter le tableau  pour   f 4(x) = - 0,5 x  

Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

 

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Corrigé :

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f 4(x)

0

0,1

0,25

0,4

0,5

1

1,5

2

2,5

 

TRAVAUX  auto formatifs :

    On considère toutes  les fonctions f1 = y1 ; f2= y2 ;  f3= y3    et y4 = f4, ,  ( une ligne , une série de calculs , par fonction ) 

 

  telles que      f1(x) = x2    f2(x) = 3 x2  , f3(x) = - 2 x2 et   f 4(x) = - 0,5x2 +1   

 

A )  Compléter le tableau  ci dessous ;   Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B )  Compléter le tableau     suivant: ;    Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lorsque vous avez rempli les deux tableaux ; comparer vos résultats avec le corrigé  ci dessous !!!

 

CORRIGE de l’activité précédente :

Et encore : cliquer ici

Tableau A

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

x2

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

3 x2

0

0,12

0,75

1,92

3

12

27

48

75

- 2x2

0

-0,08

-0,5

-1,28

-2

-8

-18

-32

-50

0,5x2 +1

1

0,98

0,875

0,68

0,5

-1

-3,5

-7

-11,5

Tableau B  :

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

x2

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

3 x2

0

0,12

0,75

1,92

3

12

27

48

75

- 2x2

0

-0,08

-0,5

-1,28

-2

-8

-18

-32

-50

0,5x2 +1

1

0,98

0,875

0,68

0,5

-1

-3,5

-7

-11,5

 

Exemple du tracé de la fonction    y  =   x² :

 

 

On a écrit :     f1 = y1 ; telle que          f1(x)  = x2

Compléter par calcul les tableaux ci dessous .

Tableau  1 :    le calcul repose sur des nombres négatifs

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

x2  = y1

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

 

 

Tableau  2 : le calcul repose sur des nombres positifs.

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

x2 = y 1

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

 

 

 

Corrigé des calculs :

Tableau  1 :    le calcul repose sur des nombres négatifs

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

x2  = y1

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

Tableau  2 : le calcul repose sur des nombres positifs.

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

x2 = y 1

0

0,04

0,25

0,64

1

4

9

16

25

 

Remarques : on trouve dans les deux tableaux  les mêmes résultats,

 

On a déjà vu que  :  le carré de deux nombres relatifs  donne pour résultat un nombre dont la valeur absolue est égale au produit des valeurs absolues ,et dont le signe est  « + »  .

 

Nous proposons deux représentations graphiques de la fonction           y =  x ²  

 

Pour  la première ,on représente  l’ensemble des points sont sur le graphique . ; la  base choisie  est  : ( i = 1cm ; j = 0,5 cm)


Première représentation graphique de        y    =     

 

 

 


Représentation graphique de x² ;                                    pour « x »  compris      -1   £  x  £  + l ;

Pour la seconde représentation ; nous avons « zoomé » sur les points proches de zéro afin de mieux comprendre le tracé.

 Nous avons changé  la base : la base choisie est     ( i  =   5cm ; j  =   5 cm  )

 


Nous avons  obtenu  la même allure de la courbe !!!

 

Leçon

Titre

N°8

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur LES TABLEAUX NUMERIQUES et le REPERAGE  sur une droite et dans un plan

 

TRAVAUX  N°8    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

 

Mots à placer dans les phrases : ordonnée ; O ;  d’une colonne ou d’une ligne ; 1 ; abscisse; l’intersection ; abscisse ;une droite  orientée  munie d’un repère ( O, I ) ; ses coordonnées ; nombre relatif ;  xM ;

A savoir :

  Dans un tableau  numérique à simple entrée , une information est obtenue par la lecture ……………………………. .

2°) dans un tableau numérique  à double entrée , une information est obtenue à ………………………… d’une ligne et d’une colonne .

3° ) Un axe est ………………………………………… ; …… est l’origine du repère , et I est le point d’abscisse ………. .

        La graduation se termine soit avec un compas ou une règle graduée , ensuite on numérote : +1 ; +2 ; +3 ; …. Pour les négatifs -1 ; -2 ; -3 ;…..

 

4°)A chaque point M  de l’axe  correspond  un et un seul ……………. noté  …….  . Ce nombre  est l’ ……………..  de M .

5°) Dans un repère  ( O , I  , J )  du plan  , d’axes ( x’ O x ) et  ( y’ O y )  perpendiculaires     , chaque point  tel que « M » est repéré par ses …………………. : son ……………noté :  x M   et  son ……………..noté : y M  .

       

(x M   et   y M  sont des nombres relatifs ).

 

5°)   Repérage :  représentation graphique d’une FONCTION.

a)°)  : Représenter une fonction dans un repère.

Compléter la phrase suivante :

La représentation graphique d’une fonction f dans un repère est constituée ………………………………………………………………………………………………………………..

 b)   Traduire   autrement ( autre écriture )  :   x =  [ 0 ; 4 ]  

 réponse  0   £  x  £  + 4

c) On veut faire la représentation graphique d’une fonction . à partir de son équation mathématique ; que  doit faire  avant d ’ effectuer ce tracé ( de placer les points) .

…………………………………………………………………………………………………. .

Et Les valeurs trouvées seront placées  dans ? ……………………………. .

 

 

 

 

 

TRAVAUX N°8    d ‘ AUTO - FORMATION EVALUATION:

 

A)  Les tableaux :

Exercice N°1

Les 78 apprentis d'un centre de formation se  répartissent suivant le tableau suivant:

Ebéniste

24

Sculpteur

……………………

Tapissier

12

Agenceurs

10

Restaurateur

9

Total

……………………

 

Compléter le tableau . Traduire par une phrase la 2ème ligne du tableau .

 

 

 

 

 

N°2.

Un magasin de sport propose des vêtements en trois tailles  dans deux couleurs différentes .La répartition du stock est :

 

-         en jaune : S (petit) : 7  , M  (moyen)  12 ; L (large) 10

-         en vert :  il possède un total  45  vêtements dont  8  S (petit)  et  25  L (large) .

 

Compléter le tableau  et traduire par des phrases  les cases  notées  par  " * "

 

 

S

M

L

total

Jaune

 

 

 

*

Vert

 

*

 

 

Total

*

 

 

 

 

N°3 Compléter ce tableau .

 

Garçons

Filles

Total

Cinéma

8

 

12

Sport

 

 

 

Lecture

6

1

 

TOTAL

 

10

28

 

a)Combien d’élèves ont pour loisir favori le cinéma ? 

b)Parmi les garçons combien ont pour loisir favori le cinéma ?

 

B ) Repérage sur une droite

Exercice :

Sur un axe  ( x' x ) on définit un repère ( O,I ) d 'unité  1 cm .Placer sur cet axe les points A , B , C , M , N , P d'abscisses respectives : -3 ;2,5 ;2,8 ; 4 ; -4,2 ; 5,3 . 

 

 

Pour chaque exercice : l ’  objectif  : savoir Graduer une droite et donner des abscisses.

 

a) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

b) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

 

 

c) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

 

 

d ) Déterminer la longueur unité "u"  ; placer le point origine  ; donner les abscisses entières comprises entre les deux points représentés.

 

 

 

C )  Repérage dans un plan .

 

A)      Dans un repère , on donne  A ( 1 ; 2  )  et  B ( 3 ; -1 )

1°) l’abscisse de A est …………

2°)l’ordonnée de B est ………………..

3° ) l’abscisse du milieu du segment AB est ……………..

B°)  A partir du dessin ci dessous ,compéter le tableau:

 

 

Compléter le tableau suivant :

 

Abscisse

Ordonnée

Coordonnées

 

M

 

 

 

 

P

 

 

 

 

N

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

C ) Sur une feuille quadrillée , dessiner un repère du plan ( cartésien  et deux axes perpendiculaires ) d'unités 1 cm sur chaque axe .

Placer les points  : A ( 1 ; 1 ) ; B ( 3 ,- 5) ; C ( -1 ; 1 ) ; D ( 0;0 ) ; E ( - 4,6 ; 2,8 )

SERIE 1    Repérage :  représentation graphique d’une FONCTION.

1°)  : Représenter une fonction dans un repère.

Compléter la phrase suivante :

La représentation graphique d’une fonction f dans un repère est constituée ……………………………………………………………………………………………….

 

2 °)Représenter graphiquement les points appartenant à la fonction dont l’équation est  f1(x) =  2,5 prendre x   pour des valeurs de x comprises entre 0 inclus  et 4  inclus . ( notation [ 0 ; 4 ]  )

 

Utiliser le tableau suivant :

 

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) soit f2(x)  =  x - 1     ; pour x    [0 ; 5 ]

a) Compléter le tableau suivant: 

 

b) Placer les points  Bn  dans un repère cartésien .

 

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 °) soit l’équation   f3(x) = -2x  + 0,5   ,

 a) Compléter le tableau suivant: [-5 ; 0 ]

b) Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

 

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5° ) Compléter le tableau  pour   f 4(x) =  0,5x  

Identifier les points avec une lettre et placer ces points dans un repère cartésien.

 

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6°)  Tracé de la fonction  x² :    soit :   f1 = y1 ; telle que f1(x) = x2

 

I )  compléter les deux tableaux :

 

a) Tableau  1 :   

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

x2  = y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Tableau  2 :

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

x2 = y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c)   Faire  une représentation graphique  de x²

               Dont la base   est  :  i = 1cm et  j = 0,5 cm

 

III ) soit:   f2 = y2 ; telle que f2(x) = x2

a) Construire le  tableau , pour les valeurs de « x » prendre de 0,1 en 0,1  .

a)      tableau :

x

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

-0,1

0

 

 

 

 

 

 

 

0,8

0,9

1

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Faire  une représentation graphique  de f2(x)

               Dans la base        i = 5cm  et  j =,5 cm       avec  « x »    [ -1 ;  +1 ]    ;    que l’on note aussi : pour « x »  compris     -1   £  x  £  + l    ;   

 

Info :        (-1   £  x  £  + l     et   x =    [ -1 ;  +1 ]   sont des écritures équivalentes  )

 

 

SERIE 2 :     Représentation graphique d’une équation .

 

Consignes :    Faire les calculs suivants  ( ceux -ci ont été  déjà  exécuté dans le cours «  calcul de la valeur numérique  d’une expression algébrique ).

Pour chaque tableau : sur une feuille quadrillée , tracer un repère cartésien  , les bornes  sur « x » sont à prendre  dans le tableau .  . Sur  « y » les bornes sont données par le résultat des calculs ( plus petite valeur et plus grande valeur ).

 

1°) Compléter le tableau  pour f1(x) =  2,5 x  , et placer ces points dans le repère cartésien .

x

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°) Compléter le tableau suivant: 

f2(x)  =  x - 1

x

0

0,2

0,5

0,8

1

2

3

4

5

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°) soit l’équation   f3(x) = -2x  + 0,5   ,  Compléter le tableau suivant:

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°) Compléter le tableau  pour   f 4(x) =  0,5x  

 

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5°)  Dans le même repère  faire le tracé des  fonctions   f1 = y1    ; f2= y2 ;       f3= y3  et y4 = f4, , telles que f1(x) = x2    f2(x) = 3 x2  , f3(x) = - 2x2 et f 4(x) = 0,5x2 +1

Au préalable compléter le tableau suivant:

x

0

-0,2

-0,5

-0,8

-1

-2

-3

-4

-5

f1(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f2(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f3(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f 4(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( en devoir un de ces tracés  pris , au hasard ,sera à réalisé , sur la feuille de papier millimétrée  jointe )

INTERDISCIPLINARITE :

Exercices et problèmes sur REPERAGE et interprétation de graphiques.

 

1°) Le graphique montre les déplacements de Denis et Patrick.

Denis est à pied . Au bout de combien de temps a – t – il parcouru 5 km ?

Quelle distance a – t - il parcouru quand il s’arrête au bout de 4 h ?

Patrick :

A quelle heure et  à quelle distance  du point de départ rencontre – t – il Denis pour la première fois ? Au bout de combien de temps rentre – t –il chez lui ? Combien de temps dure son retour ? Quelle est sa vitesse horaire ?

Où et à quelle heure rencontre- il Denis pour la seconde fois ?

 

 

2°)  Dans un système d’axes orthogonaux gradués régulièrement dont l’origine est le point O ( 0 ; 0 ) Placer les points A , B , C , D , E  de coordonnées respectives  ( +2 ; +2 ) ;

 ( -5 ; -5 ) ; ( +3 ; +3 ) ; ( +1 ; +1 ) ; ( -3 ; -3 ). Que peux –t –on dire de ces points ?

 

3°)  Pour leur entraînement quotidien deux athlètes , Denis et Bertrand , parcourent 10 km. Denis  court de A vers B à la vitesse moyenne de 8 km / h tandis que  Bertrand court de B vers A à la vitesse moyenne de 7 km /h.

a)      En utilisant un repère du genre de celui de la figure ci contre représenter les courses de Denis et Bertrand.

b)      Déterminer sur le graphique à quelle distance approximative de A se situe leur point de rencontre .

 

 

4 ° ) Traduire le graphique suivant :

 

 

5° )Traduire le graphique :

 

 

6° ) Sur ce graphique , on a représenté les déplacements à pied de Jean et de Marc.

Répondre aux questions suivantes :

Pour Marc : quel chemin a-t-il parcouru au bout de 2 heures ? de 3 heures ?*A quelle distance s’arrête – t – il ? Quelle distance a – t- il alors parcourue ?

A quelle distance de l’arrivée était-il une heure et demie avant d’arriver ?

Pour Jean : Au bout d’une heure et demie , quelle distance a-t-il parcourue ? et au bout de deux heures ? Après six heures de marche , il revient à son point de départ : quelle distance a – t –il parcourue alors ?Quelle a été la durée de ses arrêts ?

 

7° ) Dans un plan P , dessiner un système d’axes orthogonaux gradués régulièrement , placer des points ayant leur abscisse égale à leur ordonnée. Le point O est –il un point qui répond à cette hypothèse ?

Que peut-on dire de l’ensemble de ces points ?

Pouvez vous en donner le nom ?

 

8° ) Sur un quadrillage muni d’un repère orthonormé ( O, I , J ) placer les points  A (+2 ;+1) ; B ( +3 ; +5 ) C ( +7 ; +2 )

On désigne par A’ le point de coordonnées ( Abscisse de A ; opposé de l’ordonnée de A)

Quelles sont les coordonnées de A’ ?

Utiliser la même méthode pour obtenir les coordonnées de B’ et de C’ à partir des coordonnées de B et C .

Placer les points A’ B’ C’ sur le quadrillage.

On désigne par A ‘’ le point de coordonnées  (opposé de l’abscisse de A’ , ordonnée de A’)

Quelles sont  les coordonnées de A’’ ?

Par la même méthode , à partir des coordonnées  de B’ et de C’ on obtient les points  B’’ et C’’.

Placer les points  A’’ , B’’ et C’’ sur le quadrillage .

On a donc  A ( +2 ;+1 ) a pour image A’ ( +2 ; …) qui a pour image  ( … ; ..)  à l’aide de ce modèle  , faites la même chose pour les points B et C .

Pouvez vous donner la règle connaissant les coordonnées de A pour obtenir directement les coordonnées  de A’’ ?

Cette règle s’applique – t – elle aux points B et B’’ ; C et C’’ ?