Pré requis:

Projection orthogonale d’un segment

Pythagore 

Longueur d’un segment

DISTANCE entre deux points sur une droite .

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index        

Objectif précédent :

1°) mesure algébrique d'un bipoint sur une droite.

)Composantes graphiques d’un segment

Objectif suivant :

1°) Composantes d’un vecteur dans un plan

   Tableau 

 

Liste des objectifs cours "repérage"

DOSSIER   :

1°) Distance de deux points  dans un repère ; dont distance d'un point à l'origine .

)Calcul de la longueur d’un segment situé dans un plan .

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 


 

COURS  :

 

Rappel :   Projection  orthogonale d’un segment   (appelé aussi repère cartésien ) ,cas courant le repère  est dit  «  cartésien    ortho - normé »

Les segments de droites  Ay By   et  B x A x  sont  appelés les projetés  du segment   AB  .

 

 La norme permet de graduer les axes.

  Si la norme * sur x et y  est égale « mesure » le repère est dit « normé »

 

*Voir [O,I]  et  [ O, J ]

 
                                          y

 

                                       Ay                                                       A

 

 

 

 


B

 
                                         By

 

 

 

 

 


Bx                                Ax        x

 

      PROCEDURE pour obtenir la distance entre deux points dans un plan :

 

                  Pour trouver par le calcul la distance entre les points AB , nous devons passer par les projections sur les axes « x » et « y » .

              1°)  IL faut  calculer la distance des deux points projetés sur « x »

              2°)  IL faut  calculer la distance des deux points projetés sur « y »

les deux distances obtenues ,sont les mesures des segments des cotés d’un triangle rectangle . (parce que le repère est un repère cartésien orthogonal , il faut que ce repère  soit « normé »).

             3°) Nous en déduisons que les deux cotés (projetée sur « x » et projetée sur « y » ) forment un angle droit , nous appliquerons le théorème de Pythagore pour trouver la mesure du troisième segment que l’on appelle « hypoténuse ».

 

 

Soit un segment OE dans le plan :

 

CALCUL de la  « distance projetée »  de deux points sur  l’axe des « x »:

 

 La distance entre deux points est égale  à la valeur absolue de la  mesure algébrique  d ‘un bipoint ( d ’ origine O et d ’extrémité E ); cette mesure algébrique est égale  à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité ( xE  )  moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint (xO).

 

Ce qui se traduit :                                    ½xE  - xO ½= ½½x

 

CALCUL de la « distance projetée » entre deux points sur l’axe  des « y »:

 

 La distance entre deux points est égale  à la valeur absolue de la  mesure algébrique  d ‘un bipoint ( d ’ origine O et d ’extrémité E ); cette mesure algébrique est égale  à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité ( xE  )  moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint (xO).

 

Ce qui se traduit :                                    ½yE  - yO ½= ½½y

 

 

Pour connaître la distance entre les deux points OE :on posera d'après le théorème de Pythagore ;

( 1)      (½½x ) ²  +  (½½y)  =  ½½ ²

 

puisque le carré d'un nombre positif ou négatif est un nombre positif ; on peut  aussi écrire  que :

(2)                 x²  +  y² =  ²

 

 

NOTA : pour les vecteur on calculera la mesure algébrique sur les « x » et sur les « y » afin de déterminer par le calcul  le sens du vecteur .  (on ne parlera pas de valeur absolue

Voir : Composantes d’un vecteur  et calcul de la NORME D’UN VECTEUR

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DISTANCE de deux points  A ( x1 ; y1 ) et  B ( x2 ; y2)

 

Désignons par A' et B' les projections de A et B sur O x  et par A'' et B"  leurs projections sur O y .

 

Soit  H  l'intersection de la droite passant par AA"   et  la droite passant par BB'.

D'après Pythagore :   

                              ² = ² +  ²  =  ² + ²

 

Or la mesure algébrique d'un vecteur porté par un axe est égale à l'abscisse  de son extrémité moins l'abscisse de son origine . Donc

 

                                = x2  -  x 1     et     =  y2  - y1

 

soit :            ²  =   (x2  -  x 1 ) ² +  (y2  - y1

 

en particulier :

Distance  d'un point à  l'origine :

 

la distance de l'origine O ( 0 ;0 )au point M ( x ; y ) est telle que :

²  =    + y ²

soit   =   ;

·          est toujours  positif .

·         

Suite : milieu d'un segment

Info plus !!!!!


ENONCE TYPE :

   Soit deux points dans un plan : A (+2 ;+1 ) et  B ( +7,5 ; + 5 )

Calculer la distance entre A et B

 

Résolution :

I )  Calcul de la distance de la projection de AB sur l’axe des « x »

Représentation graphique :  [ xA ; xB ]

 

 

 

 

 

 

Calcul de la distance entre xA   et xB :

 

Procédure :

 

Calcul de  la mesure algébrique comprise entre les deux extrémités du segment projeté des points AB sur l’axe des « x » ;

Origine du segment:

XA =  (+2)

Extrémité du segment:

XB =  (+7,5)

Calcul de la mesure algébrique entre les extrémités du segment:

 

 

SOS cours calcul

XB- XA =  (+7,5) - (+2)

Calcul:

(+7,5) - (+2) = (+7,5) + (-2)

                   = (+ (7,5- 2) )

                   =   (+5,5)

Détermination de la valeur absolue du calcul précédent :

 SOS cours

½(+5, 5) ½ = 5,5

 

Conclusion

La distance entre A et B sur «y » est de 5,5

 

 

 

 

 

 

 

 

II )  Calcul de la distance de la projection de AB sur l’axe des « y »

Représentation graphique : [yA ; yB ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcul de la distance entre yA   et yB :

 

Procédure :

 

Calcul de  la mesure algébrique comprise entre les deux extrémités du segment projeté des points AB sur l’axe des « y » ;

Origine du segment:

yA =  ( + 1 )

Extrémité du segment:

yB =  ( + 5 )

Calcul de la mesure algébrique entre les extrémités du segment:

 

 

SOS cours calcul

YB- yA =  (+ 5) - (+ 1)

Calcul:

(+ 5) - (+ 1)= (+ 5) + ( - 1)                                  

                   = (+ ( 5- 1) )

                   =   (+ 4 )

Détermination de la valeur absolue du calcul précédent :

 SOS cours

½(+ 4) ½ = 4

 

Conclusion

La distance entre A et B sur « y » est de 4

 

 

 

 

 

 

 

 

  III) Calcul de la distance du segment AB dans le plan.

 

                    D ‘ après Pythagore : 

 

 

Théorème :   Dans un triangle rectangle : le « carré » de la longueur de l’hypoténuse (c’est à dire : la longueur de l’hypoténuse multipliée par la longueur de l’hypoténuse)  est égal  à la somme des «  carrés » des longueurs  des cotés (du triangle) formant l’angle droit.

 

 

si l’on nomme les sommets du triangle , par une lettre ( A ; B ; C ) :

 

si :

AB  désigne la longueur de l’hypoténuse

AC  désigne la longueur  d’un coté formant

 l’angle droit

BC  désigne la longueur  d’un coté formant

 l’angle droit

 

C

 
On peut écrire , d’après « Pythagore » :

AB fois AB  = AC fois AC + BC fois BC

soit :   AB2  = AC 2 + BC 2

 

Il ne reste plus qu’à faire l’application numérique :

 

Trouver « AB »   si «AC » = 5,5  et « BC » = 4  à partir de

 

AB2 =  AC2 + BC2            (  se souvenir que  = x )

                                            On pose      =          

 

si « a » = 30 et  « b » =40    alors            =               

                                                             =

                                                                                =      

                    de l’égalité on en tire que : le  premier membre  = AB , et le deuxième membre : = 6,8       ( d’après la calculatrice  =  6,8007353)

            

        on conclut  que la distance entre   AB =  6 ,8

 

 

AUTRES APPLICATIONS

Sujet de concours :

 

          1°)   Dans un repère orthonormé ( 0,,) ;On place les points A ( -2 ;-3 ) , B ( -2 ;5 ) et C ( 4 ;-3)

   Question :  montrez que le triangle ABC est rectangle

 

 

Résolution :

Remarque :il faut que le repère soit   orthogonale :   ( le repère est orthonormé.)

 

C'est le cas  :

                         :le segment  AB est parallèle à l’axe « y » (les extrémités ont la même abscisse )

                        :le segment  AC est parallèle à l’axe « x » (les extrémités ont la même ordonnée )

 

                           les deux segments sont donc perpendiculaires

         Il reste à montrer par le calcul que BC est l’hypoténuse du triangle rectangle  en calculant la somme des carrés des cotés (représentés par les projetées BD et DC)

 

 

Nous avons besoin des projections de BC sur l’axe « y » et sur l’axe « x »

La projection de BC sur l’axe « y » est le segment DC ;

 la projection de BC sur l’axe « x » est le segment BD

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

 

1 ) Donner la procédure permettant d’obtenir par le calcul la longueur d’un segment (distance entre deux points ) dans un plan .

PROCEDURE pour obtenir la distance entre deux points dans un plan :

 

                  Pour trouver par le calcul la distance entre les points AB , nous devons passer par les projections sur les axes « x » et « y » .

              1°)  IL faut  calculer la distance des deux points projetés sur « x »

              2°)  IL faut  calculer la distance des deux points projetés sur « y »

les deux distances obtenues ,sont les mesures des segments des cotés d’un triangle rectangle . (parce que le repère est un repère cartésien orthogonal , il faut que ce repère  soit « normé »).

             3°) Nous en déduisons que les deux cotés (projetée sur « x » et projetée sur « y » ) forment un angle droit , nous appliquerons le théorème de Pythagore pour trouver la mesure du troisième segment que l’on appelle « hypoténuse ».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

B

 
I ) Soit un repère  orthonormé ( à compléter):  tracer les projections du segment   AB ; donner les coordonnées des deux points,

 


échelle1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Cet exercice sera repris  avec Obj : « Pythagore » ,

II )  Soit deux points dans un plan : A (+2 ;+1 ) et  B ( +7,5 ; + 5 )

Calculer la distance entre A et B

 

III) Dans un repère orthonormé ( 0,,)

          On place les points A ( -2 ;-3 ) , B ( -2 ;5 ) et C ( 4 ;-3)

a)       montrez que le triangle ABC est rectangle