CAP industriel.

 Géométrie :  DOSSIER : PYTHAGORE   /  Objectif cours 25

Pré requis:

Les racines carrées d'opérations simples

Boule verte

Le triangle rectangle

Boule verte

ENVIRONNEMENT du dossier :

INDEX   warmaths

Objectif précédent :

Les racines carrées pour Pythagore   Sphère metallique

Objectif suivant

1°) Présentation des travaux sur « Pythagore »  Sphère metallique

2°) cours niveau V

Tableau : présentation

DOSSIER : PYTHAGORE  et sa réciproque

1°) Le  Théorème

2°) La  ciproque  

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

 

Interdisciplinarité

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

Test 2

 

 

 

 

CORRIGE contrôle :

 

 

 

>>>Travaux auto – formatifs.

Applications :Et encore…

 

Autre

CORRIGE  évaluation :

 

COURS

 

Rappels

« Grandeur » : on appelle grandeur tout nombre associé à une unité. ( 1 cm ; 3 m ;5,6l )

« carré » : on nomme « carré » le produit ( opération : multiplication) d’un nombre par un autre .( exemple : « a » est un nombre  alors   a a = a2 )

Se souvenir que le plus long coté d’un triangle rectangle se nomme «  hypoténuse »

 

 

PYTHAGORE

Théorème :   Dans un triangle rectangle : le « carré » de la longueur de l’hypoténuse (c’est à dire : la longueur de l’hypoténuse multipliée par la longueur de l’hypoténuse)  est égal  à la somme des «  carrés » des longueurs  des cotés (du triangle) formant l’angle droit.

 

Traduction mathématique :

 

Se souvenir qu’il y a trois façon de nommer les cotés d’un triangle :

   par un nom   ( hypoténuse  , coté formant l’angle droit...)

   par une lettre minuscule : ( « a », « b » , ; « c »

ou en nommant les sommets des angles par une lettre majuscule et alors on désigne les cotés par les segments limités par ces points ; ( [ AB ] ; [ BC ] et [CA]  ) qui ces segments se noterons par leur longueur :  AB ; BC ; CD

 

[ BC ] lire « segment BC » ; BC   lire « longueur BC »

 

I )  si l’on nomme les cotés par des lettres. :

alors on peut écrire :

 

aa = bb +cc

 

 

ou  a2 = b2 +c2

 

 

py1

 

 

II ) si l’on nomme les sommets du triangle , par une lettre : B ; C ; A

 

si :

BC  désigne la longueur de l’hypoténuse

AB  désigne la longueur  d’un coté formant l’angle droit

AC  désigne la longueur  d’un coté formant l’angle droit

 

On peut écrire , d’après « Pythagore » :

BC fois BC  = AB fois AB + AC fois AC

soit :   (BC ) 2  = (AB) 2 + (AC)  2

 

T2

 

ON PEUT demander de trouver  la longueur d’ un des trois cotés : si nous appelons  « x » la valeur  de la longueur du coté recherché nous pouvons donc établir  trois égalités différentes .( à partir d ’ une relation   :c2 = a2 +b2   ;établie à partir des données d’un triangle rectangle )

exemples :  

 

1 -  on peut calculer la longueur de l’hypoténuse à partir de

si « x » = « a » alors on écrit que :      

  x2 =  c 2 + b2

 

2-    on peut rechercher « b »  (inconnue « x ») *

 

si « x » = « b » alors on écrit que :      

 

           a 2  =  c 2 + x2

3 -   on peut rechercher « c  »  (inconnue « x ») *

           a 2 =  x2 + b2 

 

*Pour le calcul avec des nombres , il faudra  transformer  les deux dernières  égalités si l’on veut la valeur de « x »

 

py1

APPLICATION  DIRECTE : (aucune transformation nécessaire)

Dans ce cas on connaît la valeur des deux cotés formant l’angle droit.

Soit un triangle rectangle dont les cotés de l’angle droit mesurent  l’un 30 mm , l’autre 40 mm ,calculer la longueur de son hypoténuse.


Résolution :

nous pouvons tracer la figure :  

BC = x

AB = 40

AC = 30

nous pouvons écrire que d’après le théorème de Pythagore :

 

  30 30 + 4040 =   xx

         30 ²    + 40 ²   =   x ²

         900 +   1600   =   x 2

                      2500   = x ²

 donc                  x =  50

Nota : pour calculer la valeur de « x » il faut revoir l ‘objectif sur le  calcul  de la  racine carrée   d’un nombre

EPythagore

2°) RECIPROQUE DU THEOREME DE PYTHAGORE.

 

Nous admettrons la propriété suivante , qui est la réciproque du théorème de Pythagore

Si ,dans un triangle, le carré de la longueur d’un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés , alors ce triangle est rectangle .

Exemple : considérons le triangle ABC dont les trois côtés mesurent respectivement :

AB = 6   ; AB2  = 36

AC = 8 ;   AC2  = 64

BC = 10 ; BC2  = 100

Nous constatons que  100 = 64 + 36

Donc que  BC2 = AC2  + AB2

Nous en déduisons que le triangle ABC est un triangle rectangle  , dont l’hypoténuse est le segment BC.

Nous pouvons dessiner   le triangle rectangle !

 

Utilisation de la réciproque  du théorème  de Pythagore.

Pour tracer des angles droits , les Egyptiens se servaient d’une corde  fermée à  12 nœuds , régulièrement espacés ; ou d’un segment de corde  à treize nœuds (régulièrement espacés)  dont un  nœud à chaque extrémité .

Ils la tendaient   entre trois pieux de la façon  , un en « T » ; un en « S » un en « U ».

 

pyt100

On a ST = 3 ; SU = 4 ; TU = 5

D’une part : TU² =  5² = 25 

et d’autre part  ST² + SU² = 3² + 4² = 9 + 16 =25

On a ainsi   TU² = ST² + SU² ; le triangle TSU est donc rectangle en U.


Applications particulières  de Pythagore :

 

Diagonale d’un    rectangle

Info plus +++

 

rectpytha

 

 

Info plus +++

« diagonale du carré = a » 

carrépytha

 

Info plus +++

Hauteur du triangle équilatéral =  

equidemi

 

 


Voir les démonstrations suivantes :

Démonstrations :

 

 

1°) diagonale du carré :

considérons un carré DCBA, désignons par « a »la longueur de coté  et  « d »  la longueur de la diagonale .

Appliquons le théorème de Pythagore :au triangle rectangle DBA

DB2 = DA2  + AB2

DA = a    ; DA2 = aa  = a2

BA = a    ;  AB2 = aa  = a2

Donc DB2 = a2 + a2   =  2 a2

D’où  DB =   soit DB = a

On déclare que :

Dans un carré , la longueur de la diagonale est égale à la longueur du côté multiplié par « racine de deux ».

Remarques :

- nous savons que            » 1,414

 - d’où                              d » a414

-le triangle DBA est un triangle rectangle isocèle .

c2

 

Considérons le triangle équilatéral ABC.

Désignons par « a » la longueur du côté .  Soit le segment AI la hauteur relative au côté [CB]. Puisque le triangle est équilatéral , nous savons que « I » est le milieu .

 BI ²  =   a² +  ( a/2 ) ²

1d

t21

Rappels sur les calculs pouvant être  utilisés avec PYTHAGORE :

Sur les racines carrées :  

 La racine carrée d’une somme ou d’une différence n’est pas transformable.

 

Traduction mathématique :

1 )       n’est pas égale  à 

2 )     n’est pas égale  à 

Pour s’en convaincre il suffit de donner une valeur à « a » et à « b » ; remplacer ces valeurs dans les expressions et comparer les résultats ( exemple prendre « a »= 5  et « b » = 3 ) .

 

Remarque sur le choix des valeurs « a » et « b » :

       « a »  doit être supérieur à « b »  dans la relation        «   »   ,parce que l’on   ne peut pas faire la racine carrée d’un nombre négatif .   =  « impossible »

 

Il faut impérativement faire l’addition (ou la soustraction)  pour pouvoir calculer la racine carrée.

A  )   Soit l’égalité : 

 

        x =   a + b        on peut transformer l’égalité et écrire :         =

 

si     2500 =  1600 +900       on peut écrire :   =

Calculs :

 

Premier  membre :    donne  50

 

Deuxième membre :   , devient    donne  50 

B )    Soit l’égalité :

 

       x2 =   a2 + b2       on peut transformer l’égalité et écrire :   =

 

(si l’on veut la valeur de  « x » il faut faire la racine carrée de la somme des carrés).

 

si       502  =  40 2+ 30 2  on peut écrire    =

 

 

sachant que                         = x                    donc on en déduit que  =50

 

 

On peut écrire que        x  =

 

 

Calcul de    :      on ne peut pas donner directement le résultat ,il faut faire l’ensemble des opérations sous la racine, afin de n’avoir qu’un nombre , il nous sera possible alors de calculer la racine de ce nombre.

 

Calculs :  402 = 1600   ;   302 = 900 ;   1600+900 = 2500

on peut écrire l’égalité suivante : =      ;   on calcule : = 50


 

CONTROLE :

a ) Qu ‘appelle -t- on « grandeur » ?

b)  Qu’appelle- t- on « carré  d’un nombre » ?

c)  Comment reconnaît- on l’hypoténuse d’un triangle rectangle ?

I)  Dans quelle est la condition d’application du théorème de Pythagore ?

II) Enoncer le théorème de PYTHAGORE :

III) A partir de l’énoncé précédent mettre sous forme d’une  égalité mathématique avec comme figure géométrique  le triangle suivant :

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


IV ) Soit l’égalité mathématique :  a2 = b2 + c2

 

trouver « a = »   puis « b = »  et « c = »  par transformation de l’égalité , indiquer les étapes successives.

 

V )  Soit  DF2 = DC2 + CF; trouver DF ; DC ; CF par transformation de l’égalité  ( indiquer les étapes successives).


EVALUATION :

Niveau  référentiel  (niveau V) ( si ?  SOS Cours)

Compléter le tableau

py1

 

Triangle 1

Triangle 2

Triangle 3

Triangle 4

Triangle 5

   a

 

37 cm

 

0,65 m

 295 mm

    b

450 mm

35 cm

45 cm

 

2,36 dm

    c

600 mm

 

280 mm

0,33 m

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Série II

N°1

py1

Données :

Résolution  :

BA = 108 mm

 

CA = 45 mm

 

Calculer :

 

« a » = ?

 

 

N°2

 

Données :

Résolution  :

 

py2

DF =  127 mm

 

DE =  156 mm

 

Calculer : FE  = x   ; à 0,1 mm prés

 

 

 

 

N°3

 

Données :

Réponse :

 

py3

CA  = 74 cm

 

CB = 24 cm

 

Calculer  AB.

 

 

 

 

 

Données :

Réponse :

 

py4

NM  = 13,75 cm

 

NT = 11 cm

 

Calculer  TM

 

 

 

 

 

N°5

Application : Diagonale d’un rectangle

Données :

Résolution :

 

py7

AB = 170 cm

 

 

BC = 95 cm

Calculer AC = « d »  ( à 0,1 cm prés.)

 


 

N°6

Triangle quelconque :

Données :

Résolution :

 

py8

CB = 114  cm

 

HB = 71 cm

« h »  =  83 cm

Calculer :

 

AB = x    ( à 1 mm prés)

 

AC = y  (à 1 mm prés)

 

N°7

La diagonale d’un carré

Données :

Résolution

 

py9

BC =  32 dm

 

 

En déduire  la valeur de AB ; CD ; AD.

 

Calculer BD  ( = d)  à 1 cm prés.

7 b

++

Etudier le cas où  AB = 1 dm   : d = racine de 2 

 

 

N°8

Le triangle  rectangle  isocèle

Données :

Réponse :

 

py6

-Calculer l’angle E :

 

-Quelle est la nature du triangle ?

 

-DE = 160 cm

En déduire  EF

Calculer DF

 

 

 

 

8 b

++

Calculer  DE si  DF  est égal à   6 cm 

 

 

N°9

 

Données :

Réponse :

 

py5

Sachant que DC = 31 m

 

CB = 33 m   et  BA= 56 m

 

Calculer  AC  ( à 0,1 m prés)

 

 

 

N°10

 

Données :

Réponse :

 

pyt9c

En déduire l’angle C

 

Que peut -on dire du triangle ACB , au regard du triangle ADB ?

 

Quelles sont les valeurs des angles :

A CB   =   ; D C A  =    ; C D A  =

CAD    =

 

 

10 b

+++

On donne AC = 60 , calculer la valeur de AB puis BC

 

 

 

11°) Calculer  B’ H :

 

Le triangle est -il isocèle ou équilatéral ?

prismesectiona

 

 

 

 

 

 

3°) Autres séries d'exercices

Calculer la longueur « x »

S41

4°)

Calculer la longueur « x »

S42

5°)

Calculer la diagonale d’un cube de 1 m d’ arête .

 

6°)

Calculer la diagonale d’un parallélépipède  rectangle ayant pour dimensions 7 ; 8  et 10 cm .

 

7°)

Calculer la diagonale d’un carré de 2,5 dm de côté

 

8°)

Calculer la longueur  de AB

S34

9°)

Calculer la longueur de la tangente AT (côtes en mm )

 

S35

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE :

 

Dans le bâtiment : pour effectuer un pavage dans une pièce .

 

 

Ce procédé permettant de tracer une droite perpendiculaire  par exemple pour le pavage d’une pièce.

( les murs n’étant  pas eux mêmes perpendiculaires )

 

On mesure AB = 6O cm sur la règle 1 , qui sert de base , puis on mesure AC = 80 cm sur la règle 2 , et on déplace la règle 2 de façon que BC mesure 1m.

Les deux bords AB et AC forment un angle droit.

 

perpapp2

Remarques : Sur une surface plus réduite , on pourrait porter

       AB = 6 cm AC = 8 cm ; il faut que BC mesure 10 cm .

Ou AB = 3 cm AC = 4 cm ; il faut que BC mesure 5 cm .

Ou AB = 12 cm AC = 16 cm ; il faut que BC mesure 20 cm .

 

Voir aussi  la « corde à 13 nœuds ».


PROBLEMES DIVERS :

 

N°1 : Quelle longueur doit mesurer une échelle pour atteindre une fenêtre située à 6 m. Si on lui donne 1,5 mètres de pied ?

pyta2

 

 

N° 2 : Calculer la diagonale du cube au dixième près.

 

 

 

Réponse :

  DB »  5,7

DF »  6,9

 

3°) Autres séries d'exercices

Calculer la longueur « x »

S41

4°)

Calculer la longueur « x »

S42

5°)

Calculer la diagonale d’un cube de 1 m d’ arête .

 

6°)

Calculer la diagonale d’un parallélépipède  rectangle ayant pour dimensions 7 ; 8  et 10 cm .

 

7°)

Calculer la diagonale d’un carré de 2,5 dm de côté

 

8°)

Calculer la longueur  de AB

S34

9°)

Calculer la longueur de la tangente AT (côtes en mm )

 

S35

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE :

 

Dans le bâtiment : pour effectuer un pavage dans une pièce .

 

 

Ce procédé permettant de tracer une droite perpendiculaire  par exemple pour le pavage d’une pièce.

( les murs n’étant  pas eux mêmes perpendiculaires )

 

On mesure AB = 6O cm sur la règle 1 , qui sert de base , puis on mesure AC = 80 cm sur la règle 2 , et on déplace la règle 2 de façon que BC mesure 1m.

Les deux bords AB et AC forment un angle droit.

 

perpapp2

Remarques : Sur une surface plus réduite , on pourrait porter

       AB = 6 cm AC = 8 cm ; il faut que BC mesure 10 cm .

Ou AB = 3 cm AC = 4 cm ; il faut que BC mesure 5 cm .

Ou AB = 12 cm AC = 16 cm ; il faut que BC mesure 20 cm .

 

Voir aussi  la « corde à 13 nœuds ».


PROBLEMES DIVERS :

 

N°1 : Quelle longueur doit mesurer une échelle pour atteindre une fenêtre située à 6 m. Si on lui donne 1,5 mètres de pied ?

pyta2

 

 

N° 2 : Calculer la diagonale du cube au dixième près.

 

 

 

Réponse :

  DB »  5,7

DF »  6,9

pyta3

 

N°3  Calculer la longueur de la diagonale  du segment BH , au dixième près.

pyta1

 

N°4 : Le cube à 5 cm d’arête.

Calculer BA , AC et BC.

Quelle  est  la nature du triangle BAC. ?

pyprism3

 

 

 

 

N°3  Calculer la longueur de la diagonale  du segment BH , au dixième près.

pyta1

 

N°4 : Le cube à 5 cm d’arête.

Calculer BA , AC et BC.

Quelle  est  la nature du triangle BAC. ?

pyprism3