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Titre |
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N°20 |
CORRIGE : TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATION sur PYTHAGORE Le
théorème ; la Propriété de PYTHAGORE et sa réciproque. |
1°)
Enoncer le théorème de Pythagore.
Dans un triangle rectangle , la somme
des carrés des longueurs des côtés formant l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse
.
2°) Soit
le demi carré :
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a) Etablir la relation permettant de calculer
: AD² = AE² +
ED² b) Donner la relation permettant de calculer
A D = |
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3°)
Enoncer la réciproque de Pythagore.
Si dans un triangle , le carré de la longueur d'un côté
est égal à la somme des carrés
des autres longueurs des deux autres côtés
, alors le triangle est rectangle .
4°)
Citer 3 possibilités permettant d ’ identifier un
triangle rectangle .
Pour identifier un
triangle rectangle ,
on peut :
-
vérifier que ses dimensions
satisfont la réciproque de la
propriété de Pythagore ;
-
vérifier qu'il est inscrit dans un demi - cercle dont le diamètre
est l'hypoténuse du triangle
.
-
vérifier qu'un de ses angles
est droit à l'aide d'une équerre ou un rapporteur .
1°)
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Soit un triangle rectangle
NMP , rectangle en M . Ecrire la relation de
Pythagore. Calculer NP . |
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Solution : NP² = NM² + MP²
NP² = 6,5² +
7,2² = 42,25 + 51,84 = 94,09 ; 
;
NP = 9,7
2°)Réciproque
:
a) Le triangle BAC dont les
côtés mesurent respectivement : 30 ; 40 ; 50 mm ; est - il rectangle .si 30² + 40² est égal
à 50² alors BAC est rectangle ; 900 + 1600 = 2500
b) Le triangle BAC dont les
côtés mesurent respectivement : 15 ; 20 ; 30 mm ; est - il ? . 15² = 225 ; 20² =
400 ;( 15² + 20² = 625 ; 30² =
900 ;donc le triangle BAC n ‘ est pas
rectangle .)
4°) Calculs sur la recherche de la troisième dimension du
triangle rectangle.
Faire les exercices suivants : ( voir le
cours pour le corrigé)
1°) Exercice
.
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On donne : AC = 4 ; AB = 3 ; Calculer CB |
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On donne : AC = 4 ; AB = 3 ; calculer CB .
Solution :
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1°) BC² =
AC² + AB ² 2°) BC² =
16 +
9 ; BC² = 25 3°) BC = 4°) BC = 5 |
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2°) exercice
.
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On donne : BC = 20 ; AC
= 16 ; Calculer AB. |
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Résumé : BC = 20 ; AC = 16 ; calculer AB.
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Calcul de AB 1°) BC² = AC²
+ AB ² ; 20² =
16² + AB² 2°) AB² = 400 - 256 ;
AB² = 144 3°) AB
= 4°) AB = 12 |
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3°) Exercice
.
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On donne : BC = 42 ; AB = 21 ; Calculer de
AC. |
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En résumé : BC = 42 ; AB = 21 ;calculer de AC.
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1°) BC² =
AC² + AB ² 2°) 1 764 =
AC² + 441 3°) AC² = 1 764 - 441 ;
AC² = 1323 4° AC = |
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4°) Compléter le tableau
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« Le triangle est
rectangle ! ! ! !» |
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a |
750 mm |
37 cm |
53 cm |
0,65 m |
295 mm |
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b |
450 mm |
35 cm |
45 cm |
0,56 m |
2,36 dm |
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c |
600 mm |
12 cm |
280 mm |
0,33 m |
72,31 mm |
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I
) 450² + 600² = 202500
+ 360000 = 562500 ; racine carrée
de 562500 = 750 mm
II) 37² -35² =
c² ; c² = 1369 -
1225 = 144 ; c = 12 cm
III) 28² +
45 ² = 784 + 2025 = a² ; a = 53 cm
IV) 0,65 ² - 0,33 ² = b² ;
0,4225 - 0,1089 = 0,3136 ; b = 0,56 m
V) 295² - 236 ² = 87025 - 81796 ; c = (environ
à 0,01 prés) 72,31 mm
Série II
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N°1 |
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Données : |
Résolution
: |
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BA = 108 mm |
BC² = BA² + AC² |
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CA = 45 mm |
BC² = 108 ² + 45
² |
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Calculer : |
Donc BC = racine
carrée de la somme calculée. |
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« a » = ? |
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N°2 |
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Données : |
Résolution
: |
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DF = 127 mm |
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DE = 156 mm |
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Calculer : FE = x
; à 0,1 mm prés |
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« x »
= 201,2 mm |
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N°3 |
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Données : |
Réponse : |
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CA = 74 cm |
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CB = 24 cm |
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Calculer AB. |
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AB = 70 cm (AB² = 5476 - 576 ) |
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Données : |
Réponse : |
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NM = 13,75 cm |
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NT = 11 cm |
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Calculer TM |
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TM = 8,25 cm |
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N°5 |
Application :
Diagonale d’un rectangle |
Données : |
Résolution : |
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AB = 170 cm |
Réponse 28 900 + 9025 =
S…. Racine de S….. = d = …………… cm vérification
graphique : tracer ce triangle : AB = 170 mm ;
BC= 95 mm ; reste à relever la mesure de l’hypoténuse AC |
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BC = 95 cm |
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Calculer AC =
« d » ( à
0,1 cm prés.) |
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N°6 |
Triangle quelconque : |
Données : |
Résolution : |
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CB = 114 cm |
AB = 110
cm ; AC² = 43² + 83 ² = 1849 + 6889 racine de
AC² = 93, 47727… Soit AC = 93 |
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HB = 71 cm |
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« h » = 83
cm |
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Calculer : AB = x ( à 1 mm prés) AC = y (à 1 mm prés) |
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N°7 |
La diagonale d’un carré |
Données : |
Résolution |
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BC = 32 dm |
BD ² = 1024 + 1024 BD² = 2048 Ou = 2 fois 1024 BD = 32 BD = 45,3 dm |
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En déduire la valeur de AB ; CD ; AD. Calculer BD ( = d) à 1 cm prés. |
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7 b ++ |
Etudier le cas où AB = 1 dm
: d = racine de 2 |
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d = 1
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N°8 |
Le triangle rectangle
isocèle |
Données : |
Réponse : |
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-Calculer l’angle E : -Quelle est la nature du
triangle ? -DE = 160 cm En déduire EF Calculer DF |
Angle E = 90° L’angle E est un
angle droit. Le triangle est rectangle isocèle, C’est un demi carré !! |
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EF = DE = 160 cm |
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8 b ++ |
Calculer DE si
DF est égal à 6 cm
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N°9 |
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Données : |
Réponse : |
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Sachant que DC = 31 m |
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CB = 33 m et
BA= 56 m |
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Calculer AC ( à 0,1 m prés) |
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CA ² = 3136 + 1089 CA = 65 m DA² = 4225 + 961 DA = 72 m |
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N°10 |
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Données : |
Réponse : |
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En déduire l’angle C |
l’angle C = 90 ° |
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Que peut
-on dire du triangle ACB , au regard du triangle ADB ? |
Le triangle ACB
est un triangle rectangle et aussi un
demi triangle équilatéral. |
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Quelles sont les valeurs
des angles : A CB = D C A = C D A = CAD = |
A CB = 90 ° D C A = 90 ° C D A = 60 ° CAD = 30 ° |
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10 b +++ |
On donne AC = 60 , calculer la valeur de AB puis BC |
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Problème 1 : La
hauteur sous plafond est de 250 cm ; les dimensions d’une armoire sont de
243 cm par 72 cm par 45 cm. L’armoire
est couchée, parviendra-t-on à la « redresser » ?
Problème 2 :
On achète une échelle de 10 m déployée ; on l’adosse à un mur ; la
législation impose que la distance entre le pied de l’échelle et le mur doit
être au moins égale à H / 4 . Faire le croquis ; quelle est la hauteur que peut atteindre le haut de l’ échelle ?
NIVEAU +++ : Géométrie dans l’espace
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N°11 |
Dimensions de cube. 5 cm de côté |
Calculer
: |
Réponse : |
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BA = AC = BC = Quelle est la nature du
triangle ? Quelle est l’aire du
triangle ABC ?. |
BA = 5 fois
racine de 2 AC = 5 fois
racine de 2 BC = 5 fois
racine de 2 Quelle est la nature du
triangle ? C’est un
triangle équilatéral Quelle est l’aire du
triangle ABC ?. |
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N° 12 |
Cube : |
Données : |
Réponse : |
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Le cube
mesure 8 cm de côté . « J » est le
milieu de E F. « I » est le milieu de AB Calculer la longueur
de I J |
On note : K milieu de BC . J K I est un
triangle rectangle : JK = 8 cm
IK = IB = BK = 4 cm IB² et BK ²
= 16 D’où IK = IK =
D’où IK² = 32
IJ² = IK² + JK²
; JK ² = 8² ; JK²= 64 IJ² = 32 + 64 IJ² = 96 Donc : IJ = |
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N° 13 |
Parallélépipède rectangle . |
Données : |
Réponse : |
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Les dimensions du prisme
droit sont : 8 cm X
5 cm X 5 cm Calculer CH Calculer FH Calculer BH |
Pythagore :
CH² = CG² + HG ² CH = Reste à calculer la racine carrée de CG² +
HG ²
FH² = EF² + EH² FH = Reste
à calculer la racine carrée de EF² + EH ² |
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a |
CG = GH = 5 EF = 5 ; EH
= 8 BF = 5 ; FH
se calcul. |
Calcul de BH : BH ² = BF ² + FH ² BH = Reste
à calculer la racine carrée de BF² + EH ² |
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N° 14 |
Problème : niveau
V Parallélépipède rectangle . |
Données : |
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Les dimensions du prisme
droit sont : 6 cm X
4 cm X 3 cm la vue de face mesure 6 cm par 3 cm. Voir la face :
ADHE 1°) Tracer le prisme en perspective cavalière. 2°) Calculs : Calculer ED = racine carrée de ( DH² + EH² ) Calculer FH = racine carrée de (FE
² + EH²) Calculer HC =
racine carrée de ( CG² + HG ²) ou racine carrée de ( CD² + DH²) 3°) Calculer la surface latérale du
prisme. ( Lg de BC + lg CD + lg DA + lg AB ) ( lg de DH ) = 4°) Calculer la surface
totale du prisme. 5°) Calculer le volume du
prisme. 6°) Calculer la masse du
prisme ( masse
volumique = 1,2 kg / dm3 ) 0,6 x 0,4 x 0,3 x
1,2 = …………………..kg 7°) Calculer le poids du
prisme. ( P = m g ) ; P = 0,6 x 0,4 x 0,3 x 1,2 x 9,81=…..N |
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