DOSSIER : LES RACINES / objectif cours 11

 CAP

Pré requis:

Puissances « carrée » des opérations simples : addition ; soustraction ; multiplication ; division ; fraction ; d’une puissance.

 

Racines : nomenclature

Encadrement d' unsultat

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

 

 

 

Objectif suivant:

1°) Les racines Nième

Index   warmaths

Objectif précédent  

Racine carrée d’un nombre .

Sciences   : série1      

Série 2 : « Utilisation des racines »

 

Leçon abordée en 3ème

DOSSIER:    RACINES "carrées"  d ' opérations simples (RACINES  Niveau 2)

Ce cours traite  la RACINE CARREE:

I ) D’une multiplication. (produit)   

(classe  3e )

II ) D’une division (quotient)

(classe  3e )

III ) D’une addition (somme)

à maîtriser pour aborder Pythagore

IV ) D’une soustraction (différence)

à maîtriser pour aborder Pythagore

V ) Sur l a neutralisation d’une racine carrée

 

VI)Résumé

 

 

 

 

 

 

 

 

Devoir formatif

 

 

Travaux auto formatifs

interdisciplinarité

 

Corrigé

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Complément

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

 

Ce cours débouche sur des FORMULES FONDAMENTALES:

Les  Racines  N ièmes

 

 

 

 

I ) Racine carré d’un produit :

Pré requis

Décomposition d'un nombre en produits de facteurs premiers

 

 

Modèle mathématique:    

  =

 

Traduction littérale:

      La racine carrée d’une multiplication  est égale à la multiplication des racines carrées.

 

Applications:

 N°1 :

Faire le calcul de   

D'après la relation ci dessus on peut écrire que :   =

 

   On calcule   :   =  2   et   =  5

   On remplace : =   2 5    =  10

  On conclut que : =10

 

N° 2 :

 

Exercice en relation avec les décompositions du nombre en produit de facteurs premiers:

 

 

Cette forme de procédure permet de  "faire" la racine carré d'un nombre entier naturel (exemple: 75) sans avoir recours à la calculatrice:

Donner la    = ?

Réponses :

a ) on décompose 75  :    75 =  3 5 5    = 3  5 2

b ) on réécrit  sous la racine la décomposition :         

c ) on transforme  la racine d’un produit en produit de racines    

d)on effectue les calculs possible =  5

e ) on modifie l’écriture pour ne pas avoir de signe « multiplier » (risque de confusion avec la lettre x) =  5

f ) On simplifie l ‘écriture  =5

 

Cette procédure est transférable  à d’autres types d exercices, contenant des inconnues .

exemples:

 

a ) Faire la racine carrée de   :

                      =     =    =  2 =  2

b ) Faire la racine carrée de   :

                      =    =  = 2x

 

 

 

II) Racine carrée d’un quotient.

 

   Pré requis:

Fraction Nomenclature

 

 

   Modèle mathématique:

   =

   Traduction en langage littéral:

        La racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées

Application numérique:

 

   =   on  sait que  9 égal  à 3 2; que  16 est 42

 

on peut écrire que   =  

on calcule  3 : 4 = 0.75

 

 cas particulier :                          =  =  

 

Pré requis :      "inverse d'un nombre "

 

 

Les cas suivants ne peuvent pas se transformer:

   

   Il faut faire le calcul afin de n’avoir qu’un nombre « sous » la racine.

 

     Le  cas  suivant est utilisé , comme outil mathématique, pour traiter  « Pythagore »

 

III) Racine carrée d’une addition. Ne se transforme pas  en addition de racines carrées

 

 

Procédure de traitement : il faut  effectuer en priorité l’addition ,et faire ensuite la racine:

 

exemple :  =   on est obligé de faire  9 + 16 =  25

on réécrit  :  =

on décompose 25  = 5 fois 5  = 5 2

On applique: = 5  

Rappel : on sait que :   = x )

    (Conclusion : = 5

 

Remarque: Si l’on effectue les calculs  de la racine carrée d’une somme() et la somme   des racines carrées des nombres composant la somme (+); on trouve un résultat différent:

     =   =5

rappel :

et             += 3 + 4 = 7

commentaire : nous avons deux calculs de racine différents à effectuer

 

on constate que le résultat de  et bien différent de +

 

A retenir : rappel 

 

     la racine carrée d’une somme n’est jamais égale à la somme des racines carrées des nombres composant l’addition.

 

 et bien différent de +

 

IV)           Racine carrée d’une soustraction .

rappel 

 

la  racine carrée d’une soustraction  ne se transforme pas en soustraction de  racines carrées.

 

Comme pour l’addition  ,il en est de même pour la soustraction:

       si vous faite le calcul vous constaterez que le résultat de  et bien différent de -

 

A retenir: la racine carrée d’une soustraction  n’est jamais égale à la soustraction des racines carrées des nombres  composant  la soustraction.

 

 et bien différent de -

 

 

 

AUTRE REMARQUE:

Attention  !  on ne peut pas faire la racine carrée d’un nombre négatif  (parce que le carrée est un nombre positif) ; donc on ne peut pas faire la racine carrée de 9 - 16 ( = -7); par contre je peut faire la racine carrée de 16 - 9

    La racine carrée d’un nombre négatif est impossible

 

Rappel

 

 

 

V ) Neutralisation d’une racine carrée  d’un nombre dans une égalité:

 

Pour neutraliser une  racine carrée d’un nombre « x » ; il faut élever  cette racine carrée au carrée.

 

ce qui se traduit en écriture mathématique:

 

() 2  = x       et    () 2  = x2

 

 

Application numérique :     () 2  = 81   ; explication :on fait la racine carrée de 81  (=9) ;et on fait  9 au carré. (=81)

Utilisation:  en sciences , ou pour transformation d’égalité.

 

Autre intérêt : Dans une égalité ;pour neutraliser la racine carrée d’une  addition ou soustraction contenant une inconnue , sachant qu’il est impossible de transformer une racine carrée d’une somme par  une somme de racines carrés

 

 

Exemples  d’application:  Calculer la valeur de « x »:

 

 

1er   Enoncé  :        7 =

Résolution : 

Procédure : on élève « au carré » les deux membres de l’égalité:

7 2 = ()2

 

* Si on pose que « X » vaut  « 30 + x »

on remarque  que ()2   est de la forme  () 2

puisque  () 2 est égal à X ,alors on peut conclure que

()2 est égal à  30 + x

 

Nous pouvons donc remplacer 7 2 = ()2   par la nouvelle égalité: 7 2 = 30 + x

 

FIN de L ’EXERCICE:

49 = 30 + x

49 - 30  =  x   

     19 = x 

  conclusion    « x »   vaut 19

 

 

 

 

2ème Enoncé :    50 =       ; 

 

            (ce type de calcul est à connaître pour savoir appliquer Pythagore dans tous les cas )

 

Procédure pour pouvoir obtenir la valeur de « x »

 

a) on élève « au carré » les deux membres de l’égalité:

                                   50 2 = ()2

 

b)   * Si l’ on pose que X vaut 1600+x 2;

on remarque  que ()2    peut se mettre sous  la forme  () 2

               nous savons que  () 2 est égal à X ,

                            alors on peut conclure que   ()2 est égal à  1600 + x2

 

Nous pouvons donc remplacer 50 2 = ()2   par la nouvelle égalité: 50 2 =1600+x2

ceci termine l’application  de l’objectif , ce qui suit est à traiter avec  l’objectif sur les égalités.

 

FIN de L’EXERCICE:

2500 = 1600 + x2        (nous savons que pour obtenir    « x » à partir de « x2 » il faut faire la racine carrée de  « x2 ».

Il faut donc isoler   « x2 » ce qui donne :

 2500 - 1600 = x2

 

Nous calculons  2500-1600 = 900

 

nous écrivons à nouveau   900= x2  ;

     puisque    = x      ; on fait la racine carrée des deux membres de l’égalité

 

ce qui donne        =

Nous cherchons à la calculatrice ,(ou à l’aide des carrés parfaits) ,    = 30

Nous posons                                                                                      = x

 

nous obtenons  une nouvelle égalité:   30  = x

 

on conclut que « x » vaut 30

 

 

 


 

 

 

 

EN RESUME  : 

 

 

 

() 2  =

 

x

 

 

() 2  =

 

x2

 

 

 =

 

 

 

  =

 

 

   =

 

 

=

 

 

 

   =

 

 

 

 =

 

 

 

= 

 

Aucune transformation possible

 

 

+  =

 

Aucune transformation possible

 

 

=

 

Aucune transformation possible

 

 

-=

 

Aucune transformation possible

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE  sur les Propriétés

 

TRANSFORMER les égalités suivantes:

 

 

 

 

() 2  =

 

 

 

 

() 2  =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

  =

 

 

 

   =

 

 

 

=

 

 

 

 

   =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

+  =

 

 

 

 

=

 

 

 

 

-=

 

 

 

 

 


 

EVALUATION

I  )  remplacer dans les lettres par les nombres suivants et faire le calcul :

  avec  x= 16   et  y  = 9  (remarque : 16 et 9 sont des carrés parfaits; nous connaissons la racine carrée de 16 (4) et de 9 (3) , ces valeurs sont choisies pour faciliter la compréhension) 

 

 

 

 

() 2  =

 

 

 

 

() 2  =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

  =

 

 

 

   =

 

 

 

=

 

 

 

 

   =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

+  =

 

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

-=

 

 

 

 

-=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II ) Transformer  en vue de simplifier  les calculs :

 

 

 

 

  =

 

 

 :

 

 

 

  = 

 

 

 

 = 

 

 

 

 =

 

 

 

   =

 

 

+=

 

 

 

 

 

-

 

 

 

() 2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III) Résoudre :

 

 

 7       = 

 

 

50      =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CALCULS:

 

A ) Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dixLmettre une croix dans la case correspondante

 

 

 

 

100

 

 

101

 

 

102

 

 

103

 

 

104

 

 

105

 

 

106

 

 

10 7

 

 

10 8

 

 

 

 

B ) soit  un nombre « x » ; trouver la racine carrée du nombre :

 

 

 

x =0,25

 

 

x = 7,29

 

 

x = 33,64

 

 

x = 81

 

 

x = 291 600

 

 

x = 2 744 000

 

 

x = 1,5746108

 

 

 

 

 

C )Deuxième série d’exercices en relation avec la racine carrée  d’un produit:

 

 

 

 

  =

 

 

      =

 

 

 

     =

 

 

 

     =

 

 

  =

 

 

 

             =

 

 

 

 

 

 

 

D ) Troisième série d’exercices en relation avec avec la racine d’un quotient:

Ces exercices utilisent des carrés parfaits

 

 

 

 =

 

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 

 

 

 

 

E ) Se ramener aux carrés parfaits; en se souvenant que tout nombre « à virgule » peut se mettre sous forme de fraction de dénominateur égal a ...........

 

 

 

=

 

 

  =

 

 

 

 

F  ) Quatrième série  d’exercices en relation avec la racine carrée d’une  addition ou d’une soustraction , et les transformations

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

G  ) Cinquième série d’exercices: Donner une valeur approchée d’une racine d’un nombre

 

1 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  dixième

 

 

 

 =

 

 

 

 =

 

 

 

 =

 

 

 

 

 

2 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  centième

 

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 

 

3 °) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du millième

 

 

 

 =

 

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 =

 

 

 

 =

 

 

 

 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

H )   ENCADREMENT  D’UN RESULTAT  :

On donne   le résultat des exercices suivants :

                         =4,4647451

 =21,111276

 =4,3742992

 =4,717694

 =2,6754054

 = -3

   Donner le résultat sous la forme:            n <         < n +1

ou n est un entier naturel et X un nombre (entier ou décimal )

 

:            n

<

<

n +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

A)      HYPOTHENUSE : On dit que  :    Dans un triangle rectangle le "carré" du grand coté  (hypoténuse) est égal à la somme  des "carrés"  des longueurs  des cotés formant  l’angle droit .

 

Ceci étant  dit , calculer l’hypoténuse  d’un triangle  rectangle  dont les cotés de l’angle droit valent  respectivement:

 

1 °) 8 cm  et 6 cm

 

 

 

 

2°) 12 m et 9 m

 

 

 

 

3°) 165 mm et 92 mm

 

 

 

 

4°) 125m et32,7dam

 

 

 

 

 

 

 

 

B ) L’hypoténuse d’un triangle rectangle se calcule en utilisant  la formule suivante:

a = ;  dans laquelle b et c  sont les mesures des deux cotés formant l’angle droit.

 

       I )   Calculer la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les longueurs des cotés de l’angle droit sont :

 

c = 0,35  dm   et  b = 0,84 dm 

 

 

 

 

 

 

 

 

      II ) Calculer la longueur du coté  c   , sachant que  

a = 50 cm   et  b = 30cm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     III ) Calculer la longueur du coté  b   , sachant que 

c= 24 dm  et  a= 400mm

 

 

 

 

 

 

 

 

AIRE:

 

 A )   Carré: l ’ aire  d’un carré  est de  2735,29 dm2

question :  donner la valeur de la mesure d’un coté en dm  puis mm

 

 

 

 

 

 

 

B ) Calcul d’aire d'un carré est de  81 m2

  

         Type d’exercice : Rechercher  la longueur du coté d’un carré ( petit   « c »)dont on connaît son aire («  »  au carré s’écrit en langage mathématique:    c 2  ).

     

Comme 2=81m2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cercle et disque  :

 

a)  Calculer le rayon d’un cercle dont l’aire est de  2826  cm2

On prendra  3,14 pour  « pi »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Calculer la valeur du diamètre d’un cercle dont l’aire est  de 14949,54 cm2

On prendra  3,14 pour  « py »

 

Solution 1 (avec R )

Solution 2: ( avec D)

 

 

ELECTRICITE:

 

La puissance électrique consommée  dans une résistance est donnée par la formule

            P  = R x  I2     dans laquelle  R est la mesure de la résistance et  I   celle de l’ intensité.

 

A)transformer  la formule  pour que nous puissions calculer    I    (   I =  ?  )

Calculer l’intensité   « I » si  P = 4050  Watts   et  R = 8 ohms

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = 22,5 A

 

 

 

 

 

Corrigé interdisciplinarité:

 

soNormal>