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Les encadrements

 

les carrées parfaits

3D Diamond

Encadrement ; division euclidienne

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent :

1°) Le carré

2°) Le cube

3°) la racine carrée

)la racine cubique

Objectif suivant :

Les puissances de dix et écriture scientifique Sphère metallique

2°) racine « encadrement »

Liste des cours sur les puissances et racines

 

 

Tableau        Sphère metallique71

 

 

DOSSIER :  PUISSANCE   et ENCADREMENT d'un nombre  décimal  élevé  au  x2  et  x3

LES  PUISSANCES encadrement d ' un résultat  de la forme :  

 

 

 

 

 

 

A ) Encadrement de  x.   tel que :              n1    <   x 1   <  (n+1)1 

 

 

 

B) Encadrement de x2: par deux carrés parfaits consécutifs, tel que :           n2    <   x 2  <  (n+1)2

 

 

 

C) Encadrement de x3: par deux cubes parfaits consécutifs : tel que :          n3    <   x 3  <  (n+1)3

 

 

 

 

 

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COURS

 

 

ENCADREMENT D’UN RESULTAT:

 

 

                           On utilise souvent la calculatrice pour obtenir le carré ou le cube d’un nombre « à virgule).

                        Il est souvent conseillé   et  nécessaire et préférable d’estimer le résultat voir d’encadrer le résultat que l’on devrait trouver ,afin d’éviter de donner des erreurs.

 

I) Convention  de symbolisation et d ’écriture:

 

 

 

A ) Encadrement de   «  ».

 

 

 

a)  Si  «  » est un nombre décimal  « D »  ( à virgule) , on appellera  «  » la partie entière de «  »:

 

 exemple:  si  = 76,25 ,  alors 76 est la partie entière de  ,on l’appelle  ;       =  76

 

 b )  Si  = 76 , alors on dira que  = 76+1   ; donc  = 77

 

c) on remarque que si =76 ; =76,25 ;  = 77 ,on peut écrire que  l’encadrement de   est :

 

     

 

que l’ on peut écrire aussi sous cette forme :   n1    <   x 1   <  (n+1)1 

 

Traduction :   le nombre  est compris entre   (sa partie entière) et    (sa partie entière plus un)

 

 

 

 

 

B) Encadrement de x2:   par deux carrés parfaits consécutifs.

 

 

 

Exemple:

  si x = 7.26  ; alors   n = 7   et  n+1  = 8

 

par conséquence:

   si x2 = (7.26)2  ;  alors   n2 = 72  ( n 2 est appelé « carré parfait »)  ; et   (n+1)2  = 82

((n+1) est aussi un carré parfait)  

 

     conclusion :    n2    <   x 2  <  (n+1)2

                               7 2 <   7,26 2  < 8 2

                                49 <    x2      < 64

analyse du résultat: on peut dire que  le carré de 7,26 est compris entre 49 et 64

 

 

 

 

C) Encadrement de x3: par deux cubes parfaits consécutifs.

 

 

 

  si    = 7,26  ;   = 7    ;    = 8

 

si   x3 = (7, 26) 3  ; n3 = 73  ( n 3 est appelé « cube  parfait »)  ;  (n+1)3  = 83

  

     Conclusion :    n3    <   x 3  <  (n+1)3

                            

                                  7 3 <   7,26 3  < 8 3

                              343   <    x3      <  512

analyse du résultat: on peut dire que  le cube de 7,26 est compris entre 343 et 512

 

 

 

 

FORME GENERALE:   sur l’encadrement :       nn    <   x n   <  (n+1)n  

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE:

 

 

 

 

1°) que désigne "n" dans un nombre décimal ?

 

 

I) Donner la signification des relations mathématiques suivantes:

 

n    <   x    <  n+1  :..............................................................................................................

 

n2    <   x 2  <  (n+1)2 :

……………………  ............................................................................:

 

n3    <   x 3  <  (n+1)3  :.......................................................................................................

 

II) Donner la signification de la relation mathématique:

                        

                          nn    <   x n   <  (n+1)n

 

 

 

 

EVALUATION:

 

 

 

 

 I)   Encadrement de  Xn par  deux nombres entiers consécutifs.

 

a ) Pour  les valeurs de x suivants :  (compléter le tableau )

 

n

<   x    <

n+1

 

3,2

 

 

8,57

 

 

19,3

 

 

76,25

 

 

85,63

 

 

 

 

II) donner l’encadrement de  X2 par  deux nombres par  deux carrés consécutifs

 (compléter le tableau )

 

n2

<   x 2  <

(n+1)2

 

2,22

 

 

13,22

 

 

32,01 2

 

 

59,9 2

 

 

23,29 2

 

 

 

 

III) donner l’encadrement de  X3 par    deux cubes consécutifs; (compléter le tableau )

 

n3

x3

(n+1)3

 

9,1  3

 

 

15,4 3

 

 

39,01 3

 

 

57,9 3

 

 

89,29 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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