Pré requis:

la multiplication de deux nombres entiers naturels

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 la multiplication  de deux nombres décimaux positifs:

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Puissance : écriture normalisée et indicée

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ENVIRONNEMENT du dossier

Index   warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

1°) la multiplication d’un nombre par lui - même

Objectif suivant Sphère metallique

1°) le cube d’une nombre

2°) « Carré » d’opérations simples. ( + ; - ; ¸ ; ´  )

2°) les Identités Remarquables

3°) les puissances Nièmes  

4°) RACINE « CARRE »

5°) puissance des nombres relatifs

6°) « puissance de dix ».

)éventuellement voir le cas de la puissance de deux nombres positifs ou négatifs.

1°) Tableau        Sphère metallique68

2°) table numérique

 

DOSSIER:                     PUISSANCE "CARREE"

TEST

           Boule verte

COURS

               Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité                          )Applications en sciencesBoule verte

2°) série 2

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

Activité :

Calculer l’aire d’un carré , c’est chercher combien de carré de  , par exemple 1 cm de côté  ( noté :1 cm²)  il y a dans un carré de dimensions connues.

 

Ici le carré mesure 4 cm .

 

L’aire du carré est  4  4 =  16

 Soit 16 cm² .

On dit que 16 est le « carré » de 4 .

On écrit :   4² =  16  ( le « 2 »  est en exposant ).

On lit :

 « 4 au carré » ou «  4 puissance 2 » ou «  4 exposant 2 »

caré

 

 

 

  Si j’écris : 3,2 2 

 il faudra  lire  suivant  « indifféremment » :  « trois virgule deux au carré » ; ou « trois virgule deux à la puissance deux » ou ; « trois virgule exposant deux »

 

 

 Remarque :       3,2 2   est l’ écriture  « algébrique »  qui correspond à la multiplication :    3,2 x 3,2  (écriture arithmétique)

 

COURS:

 

RAPPEL : Puissance  d ' un  "même" nombre:

 

Définition :

 

 

   on appelle "puissance d'un même nombre" , la multiplication d ' un nombre par lui même  deux à plusieurs fois .

                                            X  =   XXX  ; X 5 =   XXXXX  ; X 8 =   XXXXXXXX

 

Ecriture:

 

Par  convention  

 

Avec un nombre entier  positif

Avec un nombre décimal négatif

Un nombre quelconque représenté par « a »

      X0   = 1  

  (+ 20   )     =  1 

(-3,2) 0   = 1  

 a 0  = 1    

 

      X1  =  X

  (+ 21  )     =    ( + 2 )

(-3,2) 1 =  (-3,2)

a 1 =   a

 

      X 2  =  X X

  (+2 )      =  ( + 2 )  ( + 2 )

(-3,2) =  (-3,2)  (-3,2)

a=  a a

 

Calculs :

 

Dans D+ ou D-   "au carré"

Résultat du calcul.

(+  4) (+ 4)  = (+ 4)2  = 

(+16)

(+ 5) ( + 5 )  =   (+ 5)2   =

(+25)

(+ 3,2) =  (+ 3,2)  (+ 3,2) = 

(+10,24)

(- 3,2) =  (- 3,2)  (- 3,2) = 

(+10,24)

(-5) ( -5 )  =   (- 5)2   =

(+25)

 

Remarquer que le carré de deux nombres négatifs est un nombre positif !!!!  ( déjà vu dans la multiplication de deux nombres relatifs négatifs)

 

 

Les carrés   des nombres entiers  naturels s ' appellent :les carrés parfaits

3D Diamond

Les cubes des nombres entiers naturels s'appellent  :     les cubes parfaits

3D Diamond

 

Autres  exemples  :

 

4 4  = 16  ;             "4"   est une valeur absolue.

55  =  25 ;           "5" est une valeur absolue

(+4) (+4)  = (+4)2  =  ( +16)

(-5) ( -5 )  =   (-5)2   = (+25)

"2" est une valeur absolue

"3,2" est une valeur absolue

(+20 )  =  1 

(-3,2) 0   = 1  

 (+ 21 ) = ( + 2 )

(-3,2) 1 =  (-3,2)

(+2 )   =  ( + 2 )  ( + 2 )  =  (+4)

(-3,2) =  (-3,2)  (-3,2) =  (+10,24 )

(+2)= (+ 2)  (+ 2)(+ 2)  =  (+8 )

(-3,2)  = (-3,2) (-3,2) (-3,2)=(-32,768)

 

 

REMARQUES IMPORTANTES:

 

Remarque 1

ATTENTION  !  les nombres  relatifs  de même valeur absolue  mais de signe contraire  ne sont pas des nombres égaux ; donc le produit de l'un par l'autre ne forme un "carré"  .

 

(-5) et (+5) ne sont pas des nombres égaux :donc (-5) (+5)  n ' est pas la multiplication d ' un nombre par lui - même parce que (-5) n'est pas égal à (+5)

Remarque 2

 

à savoir que  "par exemple":

;

42 = 16

(+4)2 = (+16)

- 4 2  = - 16

 

(-4)2 = (+16)

+ 42  = 16

16  Parce que 4 est un N

(+16)  Parce que (+4) est un nombre  relatif

- 16   Parce que 4 est un N précédé par le signe de la soustraction

(+16)  Parce que (-4) est un nombre relatif

16  Parce que 4 est un nombre  N précédé par le signe de l ' addition

 

 

 

 

Recherche du signe  du résultat :

a)     Cas où   « x » est un nombre relatif    positif  :

Calculs :

« x n»

« n »

Calcul :

Conclusion résultat

(+2)2

Pair

(+4)

>0

(+2)4

Pair

(+16)

>0

 

En conclusion : Si « x » est un nombre relatif    positif  , alors  le résultat   de   xn  est positif

 

b)     « x » est un nombre relatif  "négatif "

           calculs  :

« x n»

« n »

Calcul :

Conclusion résultat

(-2)2

pair

(+4)

>0

(-2)4

Pair

(+16)

>0

(-2)6

Pair

 

 

 

 

En conclusion :   Le signe du résultat   de « xn » dépend du signe du nombre relatif mais aussi  il dépend de la  puissance « n »

  si « n » est pair dans xn ; le résultat donné par le calcul de xn est positif.

 

 

Cas courants (se souvenir)  :

Le carré d'un nombre relatif ( positif ou négatif ) est toujours positif.

Calculs PARTICULIERS :

 

Attention :    La puissance peut agir sur un nombre relatif ou un nombre non relatif :

sur un nombre relatif   (-2)

Ou  un nombre non relatif   « 2 »

       ( -2) 4   est égal à   +16 

- 2 4           est égal à   -16 

 

Explication :

                     (-2)4 = +16  

 

             la puissance agit sur (-2)

  Calcul  de  (-2)4  = (-2) (-2) (-2)(-2)    est bien égal à  (+16)

Explication

                  - 24  =    -16  

La puissance agit sur le nombre non relatif :  2

Calcul     :    -  - 24   =    -16   ;  la puissance agit sur le nombre non relatif.

 Calcul     :    -  24      = - (2222)   ce qui donne   -16  = - (2222)   ce qui donne   -16

 

 


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE :

 

 

1.     Dans un calcul de puissance, de quoi dépend le signe du résultat ?

  1. Quel est le signe du résultat d’un « carré » ?
  2. A  quelle opération correspond l’écriture : 2²

 

 

 

 

EVALUATION :

 

 

 

Niveau 5 : (minimum)

1°)  Compléter le tableau :

TC2

E

T

C

 

 

 

 

 

x

8

170

5,5

0,29

92

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

Calculer :

 

( - 2 ) 4 =

 

-  2 4        = 

 

 

 Calcul mental : savoir  «  par cœur » les carrés parfaits des nombres de 1 à 13 , et des dizaines et des centaines .

Remplir le tableau suivant :  faire les Calculs  (  voir les études de fonction )

Pour    x  =

-1

0

2

3

4

5

6

7

y = x2 – 4 x + 3