DOSSIER : LES PUISSANCES/  objectif cours7

 CAP

Pré requis: 

 Puissance (nombre entier) niveau 1

Produit et multiplication: dans D

ENVIRONNEMENT

Index        

Objectif précédent :

1°) puissance d’un nombre entier  

2°)   PUISSANCE  (partie 1/4 ) :  appliquée   aux  Nombres entiers et décimaux dit "positifs"

 

Objectif suivant : Les puissances des nombres relatifs :   

 (partie 3 /4 )

 

voir : l’exposant 0

1°)Tableau       66

DOSSIER : PUISSANCE  Nièmes " GENERALITES"  ;(partie 2 / 5)

Écriture Normalisée et écriture indicée

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

 Les puissances de dix et les unités                       

 

Corrigé Contrôle  wrv51

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Définition de l’objectif : savoir reconnaître , transformer  et utiliser les « formules » sur les puissances.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

COURS

 

Modèle d’écriture mathématique :            

 

 Il faut  lire :    « x » puissance « y »           ou    « x » exposant « y »

Remarque : le  « y » est appelé « exposant »,il est toujours placé dans la moitié au haut à droite du nombre .

 

Définition : On appelle  « puissance »  n ième  du nombre  « » ,le nombre noté x n, égal au produit de n facteurs tous égaux à x.

On pourra utiliser les indices pour exprimer la puissance d' un nombre

x n = x1 . x2 . x3 . x4. x 5 .  x6 ...............xn 

à savoir :

00                          est  dit  "être une forme  « indéterminée »"

0 n  =  0           ( n  doit être différent de  0 ,sinon nous sommes dans la situation précédente )

x0   = x0              ;     par convention         x0   = 1

x1    = x 1         ;                   dans l’écriture courante x 1  =  x

x1 . x2   =     x2    , lire « x » puissance  « 2 »  ou  lire aussi  « x » « au carré »

x1 . x2 . x3 =   x3    , lire « x » puissance  « 3 »  ou  lire aussi  « x » « au cube »

x1 . x2 . x3 . x4 =  x4  ,            lire « x » puissance  « 4 »

x1 . x2 . x3 . x4. x 5 =  x5  ,       lire « x » puissance  « 5 »

x1 . x2 . x3 . x4. x 5 . x6  = x6  ,  lire « x » puissance « 6 »

 

   

 

RAPPEL  :       "INDICIER"  c ' est donner un numéro d 'ordre ( indice)  (à des nombres identiques ;à des lettres identiques ;à des objets identiques dans une boite ) pour les différencier ,les numéroter ,les ordonner  . Ceux ci se trouvant  regroupés dans un ensemble donné (ou imposé)

Commentaire:  dans la vie courante des objets identiques et qui sont regroupés  dans un endroit donné ,ils  peuvent être différenciés avec un numéro (indice) ou une couleur (voir les cahiers ). Lorsqu’ il y a beaucoup de produit , l’indice ne suffit plus , pour les grands magasins qui gèrent « beaucoup » de produits on utilisera  le  code barre.

Exemple : pour 10 boîtes « B »  d’un même produit on repérera la première par un nombre mis en indice  « 1 », on notera « B1 »,

 Pour la deuxième boîte on notera « B2 » ,   et ainsi de suite ……

  Il y a  Relation entre la valeur de la puissance et la valeur indiciaire de classement :

x n = x1 . x2 . x3 . x4. x 5 .  x6 ...............xn

Exemples :   5n  = 51 5253545556............5n

LES PUISSANCES DE DIX :

Puissance de dix :  (on dit aussi "multiple" de dix)

                   10n  = 101 102103104105106............10n

ainsi:

101  = 101

102  = 101 102

103 = 101 102103

104  = 101 102103104

105  = 101 102103104105

 

……………. et  .ainsi de suite

à savoir :

 

Exemples appliqués aux décimaux

Exemples appliqués aux puissances de dix

x0 =  1

x0 = x0=par convention x0 =1

 

lire « x » puissance  « 0 »

 

 (>>>  info : plus sur l’exposant 0 )

 

: 5,30 = 5,30=par convention 5,30 =1

 

100 = 100=par convention 100 =1

 

x = x 1

x1= x 1 , dans l’écriture courante x 1  =  x

 

lire « x » puissance  « 1 » 

 

7,21= 7,2 1 , dans l’écriture courante 7,2 1  = 7,2

 

101= 10 1 , dans l’écriture courante 10 1  = 10

 

x . x   =     ?

x1 . x2   =     x2

 

lire « x » puissance  « 2 »  ou   « x » au  carré »

6,51  6,52   =     6,52

 

101  102   =    102

xxx = ?

x1x2x3 =   x3

 

lire « x » puissance  « 3 » ou   « x » au cube »

4,714,724,73 =   4,73

101102103 =   103

xx  xx = ?

x1x2  x3x4 =  x4,

 

 lire « x » puissance  « 4 »

 

2,812,82  2,832,84 =  2,84

101102  103104 =  104

x  x  xxx  = ?

x1  x2  x3x4x 5 =  x 5  ,

 

lire « x » puissance  « 5 »

 

 

 

x  xx xx x  = ?

x1  x2x3  x4x 5x6  = x6  ,

 

lire :        « x » puissance « 6 »

 

 

 

 

Commentaire :     pour trouver la puissance d’un même nombre il suffit de compter le nombre de facteurs communs contenu dans la décomposition.

 

CAS où l'on est présence d'un produit de facteurs :

       La valeur de l'exposant  (nombre) prend   la  plus grande valeur indiciaire  du facteur concerné.

 

Application à des produits de facteurs :   on peut  écrire plus simplement

 

Soit l'expression :

 

Transformation par regroupement de facteurs

Calculs:

 

2233 =

 

 

 

2232 =

 

36

 

233 355=

 

 

 

2 13 3  52 =

 

1350

222557 7=

 

 

235272 =

 

33075

2271111 =

 

 

2271112 =

 

3388

2255  5   =

 

 

2 2 5 3  =

500

33377 =

 

 

3372=

1323

23133=

 

 

23213=

 

234

22757755=

 

 

225373=

 

 

 

Exemples algébriques  :   

Procédure :

1°)   On nous donne  une décomposition contenant deux facteurs différents  écrit sous forme de produits ( « x » ; « y » ): " x x x y y "

2°)    on identifie les facteurs différents ( « x » et « y ») et on leur  affecte un  indice  (rang)  à chaque  facteurs communs: (info @ ++)

                                        " x x x y y " devient    x1 . x2 . x3 . x4 .  y1 . y 2     

3°)    nous pouvons regrouper les facteurs communs  et obtenir  une forme « plus concentrée »  :

            tel que  l'expression : " x x x y y "    s'écrira :  " x 3 . y2"

Exemples d’applications :

a  aa bb b    =     ?

=    a 3 b3

 

5,2  5,2 5,2 3,63,6 =    ?

=  5,2 3 3,62

 

2  210310 10 =   ?

=    2 2 310 3

=  ( qui donne aussi 1210 3)

 

 

Remarques :

                 1°)  L’utilisation des puissances  permet de simplifier l’écriture .

                   En effet les risques d’erreurs sont  moindre en notant « x3 » ;  qu’en écrivant       « x1 . x2 . x»

 

                  2°)   Le nombre de la puissance d 'un nombre  correspond au plus haut indice du même nombre ,dans une décomposition.

 

            PUISSANCES  et écritures  fractionnaires

Ces  connaissances  sont nécessaires pour simplifier des écritures  contenant des opérations avec des puissances ( voir l' objectif "puissances opérations")

PUISSANCE  "NEGATIVE "

 on dit aussi : à exposant relatif (nombre entier : positif ou négatif) 

I )  Dans une écriture fractionnaire , si le numérateur  "passe" au dénominateur la puissance du numérateur change de signe:

 

Cas général:        

 

Application aux puissances de dix

Cas général:      

 

II ) Dans une écriture fractionnaire , si le dénominateur  "passe" au numérateur la puissance du dénominateur  change de signe:

 

Transformation d'écritures: 

Cas général:      

 

Exemples d’ applications aux puissances de dix :

Cas général:        

 

 

 

 

INFO : après avoir travaillé cet objectif ( PUISSANCE 2) ,il peut être travailler un l' objectif (PUISSANCE 10) ;(qui est une partie de l’application des propriétés sur les opérations sur les puissances).Cet  objectif (PUISSANCE 10 ) concerne les opérations avec les puissances de dix ;les connaissances qu’il apporte sont indispensables pour aborder l’objectif sur les logarithmes  ( LOG.déci.)

 

Calculs et encadrement d'un résultat:

 

Pour les calculs de x2 et x3  ; lorsque  "x" est un nombre décimal ,il est intéressant d 'avoir une estimation du résultat , pour anticiper sur une éventuelle erreur  on fait un calcul par valeur approchée par excès ou par défaut 

Cela s'appelle  faire un encadrement :

  Voir   ENCADREMENT D’UN RESULTAT  (SOS cours)


ALGEBRE   

 

 A  SAVOIR  !

INVERSE d'un facteur :               « inv. x1 »  =  x -1

 

 

Rappel : sur l' INVERSE  d' un nombre:

 

Démonstration:

a ) On sait que  :                x1     peut  s'écrire sous la forme d'une fraction 

b)   On sait aussi que        L’inverse de  x1   s ' écrit    inv. x1

 

 

c )  à partir de la ligne  a ) et   b)  

             on peut donc écrire :                 inv. X1     =       inv.

d) on écrira que  par convention :  inv.    =     =  x -1

 

e)          En conclusion :            « inv. x1 »  =  x -1

 

Traduction:  l'inverse de "ix" puissance un est  égal à "ix" puissance moins un.

  Autrement dit  :          x -1 =      ; x -1 s’appelle l’inverse de « x »

 

 

 

 

SIMPLIFICATION D'ECRITURE   ;   la simplification est  un  "Regroupement" de produit de facteurs :

 

aa      =   a2

 

aaaaa =  a4

abb    = ab2

bbb         = b3

xxx    =  x3

yyyy   = y4

xxyyy  =   x2y3

axxyy =  ax2y2

 

 

 PUISSANCES d'un produit de facteurs (facteur contenant "plusieurs termes" )

 

Rappel  : sur le   mot  @  facteur :

 

Exemple de produit de facteurs :

 

(3x+1) (2x+5)     lire     « facteur (3x+1) facteur (2x+5) »   ;         on dit aussi  « (3x+1) facteur de (2x+5) »

 

en conclusion :           un  « facteur »   peut être  aussi une suite de termes contenus dans des parenthèses.

 

Activité :  mettre sous forme de puissances  : (x+1) (x+1)

 

Commentaire:

(x+1) (x+1)   lire   « facteur (x+1) facteur (x+1) »  on dit aussi  « (x+1) facteur de (x+1) » ;

On remarque que les deux facteurs contiennent les mêmes termes ,on conclut que nous avons des facteurs communs   qui sont  (x+1) 

   Si nous avons des facteurs communs nous pouvons factoriser .

Voir Objectif  @: Factoriser  (procédure)

  

                                            (x+1) (x+1) =  (x+1)2

 

on se souviendra que  les puissances sont la première forme de "factorisation"

 

    Donc  (a+b) (a+b) = (a+b)2   ;    (a-b)(a-b) = (a-b)2

   

 

par contre (a+b)(a-b) reste égal à   (a+b)(a-b) ce que l’on peut  faire :développer !

 

 

"Factoriser"

@ 

"Développer"

@  

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :


CONTROLE :

1°) Traduire, que faut-il lire                      :

 

 

 

 2°) Quelle Relation existe - t -il  entre la valeur de la puissance et la valeur indiciaire de classement :

 

 

3°)Donner la forme développer  et  traduire  en langage littéral.

 

 

Forme développée

traduction

x0 

 

 

 

x 1

 

 

 

x2 

 

 

x3 

 

 

x4

 

 

x5

 

 

x6

 

 

 

4°) Pourquoi utilise-t-on l’écriture des puissances ?

 

5°) A quoi est égale le nombre de la puissance ?

 

6°)Compléter les phrases suivantes

 

   a )  -  Si « x » est positif  alors xn  est

 

    b)  -   Si « x » est négatif  quel sera le signe de " xn "

 

                                  Cas 2 :

 

calculer et comparer le résultat:; mais

 

(-2)4    =

 

 

-24       =

 

 

 7°)  Un carré est toujours .........

 

 8°)      00   est une forme 

 

 9°)     0 n  =  ............

 

 

10° )     x -1 =      ; x -1. S’appelle.............

 

 

11 )  Compléter les égalités :

    

 

   

 

   

 

 

 

EVALUATION:

I )Calculer:

5,30     =

 

100    =

 

7,2 1  =

 

10 1   =

 

90  =

 

9  1  =

 

92  =

 

93   =

 

 

II )  Mettre sous forme de puissances:

 

6,5  6,5  = 

 

10 10   =

 

xxx = 

 

4,74,74,7=

 

101010 =

 

xx  xx =

 

2,82,8  2,82,8 =

 

1010  1010=

 

2  210310 10 = 

 

x  x  xxx  =

 

x  xx xx x  =

 

33 =

 

333 =

 

2 222 =

 

223=

 

223333=

 

xxx   =

 

yy  =

 

yyyy  =

 

xxyyy   =

 

a  aa bb b    =     

 

5,2  5,2 5,2 3,63,6  =

 

2  210310 10  

 

 

 

III  ) Compléter le tableau suivant:

x

0,7

9,32

21

4900

x2

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

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