Pré requis :

voir les  définitions de bases abordées dans les égalités    EG1  et  EG2  

 

Développer : forme  « k ( a + b)

Collège

Développer : forme  « k ( a - b)

Collège

Algèbre  convention d ' écriture  ;…

cliquer ici

Il faut savoir décomposer un nombre entier sous forme de produit.

Cliquer ici.

Objectif :  Savoir factoriser et ou développer des expressions algébriques.

Environnement du dossier:

INDEX : warmaths

Objectif précédent :

1°) Développer : 

2°) Algèbre : conventions .

Objectif suivant :

1°) Les identités (produits) remarquables (I.R.)

2°) calcul algébrique : la mise en facteur….

Liste des cours en algèbre.

DOSSIER « algèbre »:    

  FACTORISER

 

 

devoir 1 :  

 

 

 

 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

Ce cours «  factoriser - développer »   ou « développer factoriser »  fait parti  d’un des chapitres de la leçon qui porte sur le « calcul littéral » en algèbre.

Ces chapitres sont entre autre : le développement d’un produit, les équations, les égalités ; la résolution d’équations , les problèmes en algèbres.

Approche :

Soit  le nombre 15 = 3 fois 5   ; et le nombre   18 = 3 fois 6

 

 je décide d’additionner   15  + 18  cela revient à faire l’addition   ( 3 fois 5)    +  ( 3 fois 6 )    que l’écrit :  ( 3 x 5 )   +   ( 3 x 6 )   

nota : Vocabulaire : a)  les nombres « 3 », « 5 »,  « 3», « 6 » sont appelé « facteur » . b) ( 3 x 5 )   et    ( 3 x 6 )    sont appelés « terme »

 

Observation :  le nombre « 3 » (appelé : facteurs) existe dans les deux termes,  on dira :  le nombre « 3 » est le facteur commun au deux termes ( 3 x 5 )   et    ( 3 x 6 )   

 

 

 

RAPPELS :

 

De quoi se compose un facteur ? ( un  « terme ») :

 

      Un facteur   peut être un nombre, une lettre, il n’est jamais seul , il est associé au nombre  ou a une autre lettre . Dans le cas ou l’expression possède des parenthèses séparées par le signe « virtuel » de la multiplication alors  chaque parenthèse et son contenu est aussi appelé facteur.

Exemple :

  x Þ  puisque  « x » peut  être multiplié par l’élément neutre « 1 » ;  x =  1 fois  x   donc « x » est un facteur ;

 2 x   Þ 2 et « x » sont des facteurs.

( 2x ) ( x +3)   Þ  (2x)  et ( x +3) sont appelés  « facteurs »

 

Différence entre un terme et un facteur:

 

les termes sont situés à droite et à gauche du signe opératoire   « plus »  ou « moins »,les facteurs  sont situés à droite et à gauche  du signe   ( x  ; appelé « croix » qui signifie  « multiplier »). 

 

Termes semblables:

 On appelle "termes semblables"  d'un polynôme des termes qui ne diffère que par les coefficients.

Ainsi l' expression 8a2 +3bc + 5d2 - 4a2

Est un polynôme .( 8a2 , -4 a2  sont des termes semblables.)

 

Vocabulaire: 

 

Le signe   opératoire  de la multiplication  ,en forme de  « croix » , peut se traduire par plusieurs  « mots »:

         Par le mot « fois »    :   3 ´ 7 se lit :   ( 3 fois 7)

         Par  le groupe de mots :«  multiplié par » :   3 ´ 7  se lit  « 3 multiplié par 7 »

         Par le groupe de mots :« fois  entre parenthèses » : pour 3 ( 5+2) on lit   ( 3 fois entre parenthèses  « 5 + 2 »     

           Par :  « facteur de »   pour 3 ( 5+2) on peut lire  « 3 facteur de 5+2 »

       

d'où  la  convention d' écriture :

 

Dans les expressions algébriques  le signe « multiplier » n ‘ est jamais  représenté.

On ne  trace pas  la « croix »  pour éviter toute confusion avec la lettre « x »,qui est  couramment utilisée pour représenter  «  l’inconnue » .

 

A savoir qu ' en l’absence de signe ,il y a toujours « produit » entre:

 

►un nombre et une lettre  :  3x   ;lire  « trois fois ixe »

(le mot « fois » doit être remplacé  par   «  multiplié par » ) 

 

 ►deux lettres  :    ab      ; lire  «  a fois b »  ou « a » facteur « b »

► un nombre et une racine:      3   ;lire  « 3  fois racine carré de 18 »

º un nombre et une parenthèse :    3 ( 2x + 1)   ; lire   « 3 fois  entre parenthèses 2 ixe plus un » ou aussi « 3 facteur de  2ixe plus un »

 les groupes de mots  « fois  entre parenthèses » et « facteur de » ont la même signification .

ºune lettre et une parenthèse:   x (  2x +2)  , lire «  ixe facteur  de  2ixe plus 2 »

 

ºentre deux parenthèses :  (2x+1)(3x+2)  , lire     « 2ixe plus un » entre parenthèses facteur de « 3 ixe plus 2 » )

 

NOTA :   Les  développements de produits types à retenir sont  :

 

a ( b + c) = a b + a c

a ( b - c ) = ab - ac

( a + b ) ( c + d ) =  ac + a d + b c + b d

 

Remarque : La factorisation est le travail inverse du développement.(par le développement on peut vérifier que  la factorisation est bonne)

 

Pré requis : On demande de  développer et puis  réduire chacun des produits suivants.

 

 

Résultat :

 

Résultat :

A = ( x + 3 ) ( x - 5)

 

C = ( -4 x + 1) ( 2 - x)

 

B = ( x + 4 ) ²

 

D = ( x - 5 ) ²

 

 Remarque : ( x + 4 ) ²  est égal à ( x +4 ) ( x + 4)

Réponses :  x² + 8x +16 ; x² - 2x - 15 ; 4x² - 9 x +2 ; x² - 10x + 25

Attention : avant de vouloir développer ; il   faut savoir  « identifier » si l’expression est  « développable » :

il faut se  poser la question suivante :

-         est ce que l’expression donnée est un  produit ? on  peut alors développer.

-         Est ce que c’est une suite de termes ? alors on ne peut pas développer , on peut simplifier.

 

Expérience : Regarder les expressions suivantes, elles sont différentes, une seule est développable , laquelle ? :

 

 

Somme de deux termes

Produit de facteurs

 

Différence de deux termes

A = ( x + 3 ) + ( x - 5)

B = ( x + 3 ) ( x - 5)

C = ( x + 3 ) - ( x - 5)

 

 

Dans deux des cas on passe à une simplification d’écriture

 

 

 

 

SIMPLIFICATION :

Exemples de simplifications d’écriture :

 La  suppression de parenthèses précédées d’un signe + ou - est une simplification il faut se souvenir que  :

 

    ( x + 5 )  = x + 5   ;  + ( x +3)  = x + 3 ; + ( x - 2 ) = x -2 ; + ( - x - 3) = - x - 3 ;

  - ( x + 5 )  = - x - 5   ; -( x +3)  = - x - 3 ; - ( x - 2 ) = - x +2 ; - ( - x - 3) = + x + 3 ;

 

Simplifications d’écritures :

Départ

Simplification et on regroupe (réduit)

Commentaire :

A = ( x + 3 ) + ( x - 5)

A =  x + 3  +  x - 5   =  2x - 2

On supprime les parenthèses

C = ( x + 3 ) - ( x - 5)

C =  x + 3  -  x + 5   = 0x + 8 = C =  8

On supprime les parenthèses

D = ( x - 1) - ( 2x - 3)

D =  x - 1  -  2x + 3  = - x +2

On supprime les parenthèses

E = 2 ( 3 +x ) - ( 2x +1)

E = 6 + 2x   -  2x - 1

E = 0x + 5  = 5

On développe le premier terme , on supprime les parenthèses.

F = - 5 ( 4x - 1) + 3 ( 2x -1)

F = - 20x + 5 + 6x -3

F = - 14 x +2

On développe le premier terme , on supprime les parenthèses.

G= ( 3x +1)- (5x +2) + ( 2x -3)

G=  3x +1 - 5x -2 +  2x -3

G = 0x - 4  = -4

on supprime les parenthèses.

H = ( x² + x +1) - (2x²- x)

H =  x² + x +1  - 2x² + x

H = - x² +2x +1

on supprime les parenthèses.

K = ( 5x² - x) - ( 2x² +3x - 1) +2

K = 5x² - x - 2x²-3x+1 +2

K= 3x²  - 4x +3

on supprime les parenthèses.

Nous avons vu pour simplifier il faut parfois développer  puis  ensuite « réduire ( qui est une sorte de factorisation)  » pour « simplifier ». 

Niveau + : on demande de simplifier l’écriture proposée.(on est parfois obligé de développer , pour n’avoir qu’ une suite de termes) 

Exercices.

Résultat :

Commentaire :

A = 3 ( x -5) - x ( x -2)

A = 3  x -15 - x² + 2x

A= -x² + 5x - 15

On développe les deux termes , on supprime les parenthèses.

B= x² - 3 - (x - 1) ( x +1)

B= x² - 3 - (x - 1) ( x +1)

B = x² - 3 - ( x² -1)

B = x² - 3 - x² +1

B = 0 x² -2  = -2

On développe le troisième terme, on supprime les parenthèses.

C = - ( x +2) x + 3 ( x - 5)

C = - ( x +2) x + 3 ( x - 5)

C =- x - 2 + 3x - 15

C = 2x - 17

On développe le deuxième terme, on supprime les parenthèses.

D =

 

D = ( x + 1 ) ( 2 - x ) - 2 - x

D =  2x - x² +2 - x - 2 -x

D = x²  +0x +0

D = x²

On développe les deux termes,

 

 

 

 


 

 

COURS

 

 

Le  mot  « factoriser » doit être associer au mot  « facteur »   (voir objectif  sur l’égalité)

 

 

 

Par définition : « Factoriser » est une activité mathématique   qui consiste à  transformer  une somme  ( ou expression) algébrique  pour la mettre sous la forme « d’un "produit"  de facteurs ».

 

On dit aussi que  « factoriser » c’est écrire une somme ou une différence sous la forme d’un produit. On dit encore : écrire sous la forme d’un produit de facteurs du premier degré.

 

Le facteur commun peut être :

Cas :

Exemple

Commentaire.

1 -  un nombre

 

T = 10a +25

T = 5 fois 2a + 5 fois 5

T = 5 ( 2a + 5)

On applique la formule :

a b + a c = a ( b + c)

On met « 5 » en facteur.

 

R = 15 a - 20

R = 5 fois 3a + 5 fois 4

R = 5 ( 3a +4)

 

Remarque : on a aussi :

 a b - a c =  a ( b - c )

2 -  Un nombre et  une lettre.

T = 14 a² - 21 a

T = 2 fois 7 fois « a » fois « a » - 3 fois 7 fois « a »

T =   2a ( 7a)  - 3 ( 7a)  

T = (7 a)  ( 2 a - 3)

 

On recherche si  le produit de facteurs communs  existe :ici c’est « 7a »

3 -  Une expression du type « ax+b)

T = 5 ( x + 3) ( 3x - 4) + ( 7x -5) ( x +3 )

 

T = ( x + 3) [ 5 ( 3x -4) + (7x - 5) ]

 

T = ( x + 3) [ 15 x - 20 + 7x - 5 ]

 

T = ( x + 3 ) ( 22 x  - 25 )

On recherche le facteur commun : ( x+3)

On met (x +3) en facteur .

On utilise la forme  ab +ac = a ( b + c )

On développe l’intérieur des crochets .

On réduit le deuxième facteur.

 

La factorisation n’est possible que si l’on identifie un « facteur commun » .

Ce facteur  est  soit "évident" ou on le découvre après avoir fait la décomposition de chaque terme de l’expression algébrique.

 (La factorisation n’est pas toujours possible ou toujours évidente si l'expression algébrique n'est pas transformée en somme algébrique)

 

   Procédure permettant de factoriser   « une somme »:

 

Exemple :   factoriser   3x+15

 

 

a ) Décomposer sous forme de produit chaque terme de l’expression:

 

3x = 3 fois x

15 = 3 fois 5

 

b ) Identifier dans les termes quel est le chaque facteur commun  ou le produit de facteurs communs (on dit aussi de même indice).

Facteur commun =  3

c  )  Sortir le facteur commun : Ecrire le facteur ou le produit de facteurs commun ; ouvrir une parenthèse, réécrire l’expression donnée en remplaçant dans la décomposition de chaque terme , le ou les facteurs communs,  par l’élément neutre « 1 » puis fermer la parenthèse .

  

 3 ( 1 x  + 15)

 

Pour chaque terme (se trouvant dans les parenthèses ) remplacer la décomposition par un nouveau produit.

puisque :    1 x = x   et   15  = 5

on remplace   ( 1 x  + 15)  par   (x + 5)

 

d ) Rendre compte :sous forme d’une égalité :

 

  3x + 15 = 3 ( x + 5 )

 

où le   premier membre : l’expression à factoriser :        3x + 15

le deuxième membre est  la factorisation terminée.:     3 ( x + 5 )

 

Conclusion      3x + 15 = 3 ( x + 5 )

 

Modèle  mathématique(à retenir)

 

                                 Puisque           ab + ac  =   a ( 1    b + 1  c )

  On retiendra que   la forme :            ab  + ac   =  a ( b + c )

 

 

Remarque :  Avant de procéder à la factorisation il faut  d’identifier un facteur commun:

 

Activité  : RECHERCHE du FACTEUR COMMUN

 

(Pour chaque cas , il faut appliquer la procédure vue précédemment)

 

a) le facteur commun peut être un nombre:

                        5 x + 15  =   donne  «  5 ( x + 3 ) »

 

b) le facteur commun peut être  une lettre

 

                       3x 2 +x    =   donne  «  x ( 3 x + 1 ) »

 

c ) les produits de facteurs sont communs :

 

1° )   deux  termes de signe « + »

 

« ab + ab »  =  « 2 ab »

ab + ab est égal à 2ab

= ab ( 1 + 1 )

= ab (2 )   lire «  a b fois 2 » qui s’écrira par convention (on place le nombre en tête, dit aussi  « le coefficient » d’abord  )

« ab + ab »  a pour forme factorisée  « 2 ab »

 

2 °  ) Et deux  termes de signe « - »

 

« -ab -  ab » = « -2 ab »

-ab -  ab  = ?  que l ‘on peut  écrire

=   1 fois (-ab) +  1 fois ( - ab)

=   1 (-ab) +  1 ( - ab)

-ab -  ab est égal à -2ab

commentaire : on a pris comme facteurs communs le produit « ab »  avec le signe «-  » 

ce qui ne sera pas possible dans le cas suivant…

=   1 (-ab) +  1 ( - ab)

= -ab ( 1 + 1 )

= - ab (2 )   lire «  - a b fois 2 » qui s’écrira par convention (on place le nombre en tête, dit aussi  « le coefficient » d’abord  )

« -ab -  ab » a pour forme factorisée « -2 ab »

 

3 ° ) Deux  termes de signe « contraire »

 

         « ab -  ab » = « 0 »

ab -  ab   que l ‘on peut  écrire

=  ( +1 fois (ab)) + (- 1 fois (  ab))

=   (+1 (ab)) + (- 1 (  ab))

ab -  ab est égal 0

commentaire : on prend « ab » comme facteurs communs , remarquez que dans le cas précédent on a pris «  - ab » comme  facteurs communs parce que les deux termes étaient négatifs. 

=   ( +1 (ab) )+ ( - 1 (  ab))

=    -ab ( 1 + 1 )

= - ab (2 )   lire «  - a b fois 2 » qui s’écrira par convention (on place le nombre en tête, dit aussi  « le coefficient » d’abord  )

« ab -  ab »  a pour forme factorisée  « 0 »

 

d) Ce peut être un produit de facteurs:

 

                          9x2 -3x =    ; 3 x   est le facteur commun   ;   =    3 x ( 3 x -1)

 

e )le facteur commun peut être   «le groupe de termes  entre parenthèse »

 

                  ( x-1) 2  - (x- 1) =   (x-1 ) [ (x-1) - 1 ]  ; (x-1 ) est le facteur commun

 

                 ( 2 x + 1 )2 + (2 x + 1) (x + 3)  =    ; (2 x + 1)  est le facteur commun

               

                 ( x+1) ( x +2) – 5( x +2)    =           ; ( x +2)    est le facteur commun

 

f ) Grouper des termes semblables  :

pour cette somme algébrique, il est nécessaire de grouper les monômes semblables :

 

             =3 ax2  - 1 + 6x + 5 – 3x – a x2

 

a) on groupe les termes en « x2 » :

     3 ax2   – a x2   ; a x2  (  3  - 1 )   = a x2  (  2 ) =  2 ax2

b) on groupe termes en « x » :

 6x – 3x  =  x ( 6 –3)  =  x (3)  = 3x

 

 

3 ax2  - 1 + 6x + 5 – 3x – a x2   devient   =   2 ax2  + 3x + 4

 

FACTORISATION  d ’ un polynôme ( trinôme)  du second degré:        (forme :     ax2 +bx +c   )

   (contenant au plus trois termes dont un terme est  du second degré )

 

                             Exemple :x2 + 2x -3  

 

   Nous remarquerons   qu’ il n’y a pas de  facteur commun dans les trois termes ;;

 

            La factorisation de cette forme n’est pas possible directement. On fera appelle à d’ autres connaissances .

 

Ces connaissances sont abordées dans les deux objectifs suivants :

           

Objectif : ( factorisation à partir des  identités remarquables. Dit aussi « égalités » remarquables)

Objectif :   ( factorisation des polynômes du second degré)

 

Remarque : on peut factoriser l’équation dit  « incomplète » du second degré de la forme :

Dans ce cas on dit que le facteur commun est « littéral ».

 

Soit le modèle               a x² + b x    qui devient    x ( ax + b)

 

Exemples :    factoriser   4x² + 3x :

    Le facteur commun est « x » :     4x² + 3x    devient       x ( 4 x + 3)

                     factoriser  2x² + 8x  

      Le facteur commun est « 2 x » :  2x² + 8x   devient      2x ( x + 4)   

 

( pour vérifier il suffit de développer la forme factoriser)

 

INFORMATION :

Ces factorisations sont utilisées lorsque l’on veut « résoudre une équation »  

 

TRAVAUX AUTO _ FORMATIFS

 

CONTROLE:

 

1°) Quel  est le signe opératoire qui n’apparaît pas dans une expression algébrique ?

 

 

 

2°) Comment reconnaît - on un facteur ?

 

 

3 °)Que peut-être « un facteur commun » ?

 

 

4°)  Traduire en langage littéral:

 

 

3

 

 

3x

 

 

Ab

 

 

x2y

 

 

3(2x+1)

 

 

2(x-3)

 

 

x(x+1)

 

 

(a+b)2  = (a+b) (a+b)

 

 

(a-b)(a-b) = (a-b)2

 

 

(a+b)(a-b) = a2 -  b2

 

 

5°) Donner la procédure qui  permet d’opérer une factorisation :

 

 

 

 

EVALUATION:

SIMPLIFICATION : 

 

1°) Simplifier : (supprimer les parenthèses)

    ( x + 5 )  = ……….  + ( x +3)  = …….. ; + ( x - 2 ) = ……… ; + ( - x - 3) = …….. ;

  - ( x + 5 )  = ………   ; -( x +3)  = ……… ; - ( x - 2 ) = …….. ; - ( - x - 3) = ……….. ;

 

2°) Simplifications d’écritures :

Départ

Simplification et on regroupe (réduit)

 

 

A = ( x + 3 ) + ( x - 5)

 

 

 

C = ( x + 3 ) - ( x - 5)

 

 

 

D = ( x - 1) - ( 2x - 3)

 

 

 

E = 2 ( 3 +x ) - ( 2x +1)

 

 

 

F = - 5 ( 4x - 1) + 3 ( 2x -1)

 

 

 

G = ( 3x +1)- (5x +2) + ( 2x -3)

 

 

 

H = ( x² + x +1) - (2x²- x)

 

 

 

K = ( 5x² - x) - ( 2x² +3x - 1) +2

 

 

 

3°)  Niveau + : on demande de simplifier l’écriture proposée.

 

Exercices.

Résultat :

 

 

A = 3 ( x -5) - x ( x -2)

 

 

 

B= x² - 3 - (x - 1) ( x +1)

 

 

 

C = - ( x +2) x + 3 ( x - 5)

 

 

 

D =

 

 

 

 

FACTORISATION :

Série 1

Niveau 5e

Factoriser les expressions suivantes:

 

 

5 + 35   =

 

 

5 +25   =

 

 

2x + 6 =

 

 

6x + 3 =

 

 

3x +5x  =

 

 

11x -8x =

 

 

Remarque : il faut se souvenir qu ‘ une « puissance » est une écriture  « condensée » de la multiplication , dit aussi " produit de facteurs communs ".

 

Série 2

 

 

x2 + x =

 

 

x3 +x2 =

 

 

3x2 + 6=

 

 

2 x2 +22  =

 

 

 

Série 3  ( niveau 3e)

 

 

( x+1) ( x +2) – 5( x +2)   =

 

 

( 2 x + 1 )2 + (2 x + 1) (x + 3)  =

 

 

3 x (x + 2 ) + x ( x + 2 )  =

 

 

(x+1) (2x+3) + (x + 1 ) ( 5 x +7 ) =

 

 

( x - 1 ) 2  + ( x- 1 ) ( x + 3 )  =

 

 

 

Série 4

Exercices

Résultat

 

Exercices

Résultat

A = 7a+21

 

A = 27 x - 36

 

B = 14a - 35

 

B = 2x + 2

 

C = 10 a + 5

 

C = 24 x - 9