Pré requis:  

Définition "identité"

Les égalités   EG1             

 revoir : définitions de « facteur » et « terme »

Les égalités   EG2              

 

 

Développer : k ( a + b)

 

Développer : k ( a – b)

 

Développer : ordonner et réduire  

Factoriser

 

« développer et réduire »

 

Les éléments et ensembles 

Environnement du cours :

INDEX        

Objectif précédent  

Objectif suivant

Retour  vers le sommaire.

Ou  autre :

 

DOSSIER : algèbre.

Cours :  LES IDENTITES REMARQUABLES  ( I.R.)

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

COURS

 

Cet   objectif  aborde les égalités remarquables , appelé aussi  « identités remarquables »

 

Cet objectif à pour but  d’apprendre à reconnaître identifier et  utiliser des types particuliers d’égalités  en vue de traiter rapidement l’analyse sur les polynômes du second degré.

 

Les  Identités Remarquables ,du second degré, sont au nombre de trois:

 

Elles traitent les formes  :

 

 ( a + b ) (a + b)   qui s’écrit   aussi  ( a + b )2 ;       (( a + b ) 2   = a2  + 2ab + b2  

Info :

 

Exemples :   ( x +1 ) ( x + 1 )  qui s’écrit   ( x + 1 ) 2 ;       ( 3x + 2 ) ( 3x + 2 ) qui s’écrit   ( 3x + 2 ) 2  

 

 

 ( a - b ) ( a - b ) qui s’écrit   aussi   ( a - b) 2   ;  (( a - b) 2   = a2  2ab +  b2  

Info :

 

Exemples :   ( x -1 ) ( x - 1 )  qui s’écrit   ( x - 1 ) 2 ;  ( 3x - 2 ) ( 3x - 2 ) qui s’écrit   ( 3x - 2 ) 2  

 

 la forme   ( a + b ) ( a - b )  qui s’écrit  ( a - b ) ( a +b )   ;    ( a - b ) ( a +b )    = a2 – b2   

Info

 

Exemples :  ( x +1 ) ( x - 1 )  qui s’écrit    aussi ( x -1 ) ( x + 1 ) ;    ( 3x + 2 ) ( 3x - 2 ) qui s’écrit aussi  ( 3x - 2 ) ( 3x + 2 )

 

Intérêt de cet  objectif:  Quantité ou expression conjuguée :

 

 

    I  )   Pour  "Factoriser /  Développer ":

 

 Après avoir reconnu une « forme du second degré », il est possible de  passer rapidement  d’une forme  factoriser à une forme développer  ou inversement .

 

II)    La forme fondamentale : ( a + b ) ( a - b )  =  a2 - b2   est  utilisée pour rendre rationnel les dénominateurs de fractions contenant des radicaux tel que :

 

  ou   ;  ou   ou bien   encore    ;ou alors

 

 

Quantité ou expression conjuguée :

 

 

nous conviendrons d’appeler  l’expression ( a + b ) ( a - b ) ; « expression conjuguée » :

 

    Une expression conjuguée est un produit de deux facteurs chacun contenant deux termes leur premier terme étant identique( a),leur second terme étant opposé  ( « +b » et « -b » ).

 

Exemples :

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

par définition nous dirons que  les expressions : et   sont dites « conjugués »

il suffit  de faire le produit de ces expressions  conjuguées ,le résultat sera  entier ou décimal (les radicaux auront disparus ........)

nous savons par  ailleurs qu’une fraction reste « équivalente »  si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur par un même nombre (ou expression même conjuguée) ,si nous voulons faire disparaître au dénominateur d’une fraction une expression contenant un radical il suffira de multiplier le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée du dénominateur !

( Voir Objectif :sur  les fractions contenants des radicaux   ( ?)  à ce jour il n’existe pas encore

 

en s’appuyant sur les trois modèles suivants :


 Développement de    ( a +b ) (a + b)       soit la forme factorisée  (a + b ) 2   ;

 

Recherche de la forme développée:

          ( a +b ) (a + b),    on met un indice à « a » et « b »

 

Ce qui donne :   ( a1+b1 ) ( a2 + b2)  =  ?          se souvenir que   (a1  = a2   et     b1  = b2  )

 

a1 a2  + a1 b2 + b1 a2 + b1 b2    =    a 2 + ab +ab +b2    (comme ab + ab est égal à 2ab )

 

on peut conclure que :

                                           

(a + b ) 2   =  a2 +2ab +b2

Traduction en langage littéral : Le carré de la somme  de deux nombres est égal à la somme des carrées de ces nombres augmentés de leur double produit.

 

 

EXERCICES TYPES :

 

A  )  Développer :  ( x +1 ) ( x + 1 )  qui s’écrit   ( x + 1 ) 2

       

on applique : (a + b ) 2   =  a2 +2ab +b2

 

on pose a = x  et b = 1  ;

 

                                 (x + 1 ) 2   =  x2 +2 fois x fois 1 +12

On calcule pour chaque terme

2 fois x fois 1 = 2 x

12 = 1

 

conclusion :  (x + 1 ) 2   =  x2 +2 x +1

 

 

 

B)  Développer : ( 3x + 2 ) ( 3x + 2 ) qui s’écrit   ( 3x + 2 ) 2  

 

On applique : (a + b ) 2   =  a2 + 2ab +b2

On pose a  = 3x  et b = 2

 

: (3x + 2 ) 2   =  (3x)2 +2 fois 3x fois 2  +22

 

On calcule pour chaque terme:

                 (3x)2  = 9 x2

              2 fois 3x fois 2 = 12 x

                                 22  = 4

    Conclusion: (3x + 2 ) 2   = 9 x2 + 12 x + 4

 

Factoriser : a2 +2ab +b2

Nous savons que la forme a2 +2ab +b2 est la forme développer de   (a + b ) 2  ; nous pouvons conclure que la forme factoriser de   a2 +2ab +b2   est   (a + b ) 2  .

 

Exercice type :       Factoriser:           9 x2 + 12 x + 4

 

Procédure: (de factorisation)

 

a ) On reconnaît un polynôme du second degré   (grâce au «  x2 » )

 

b)  Ce polynôme  contient trois termes positifs  il pourrait  être de la forme   a2 +2ab +b2

 

c) Nous allons comparer terme à terme ,pour vérifier si ce polynôme  peut se mettre sous la forme (a +b)2  ;    dont la  forme développée est   a2 +2ab +b2

 

 1 )   Est ce que   9 x2  est de la forme a2  ?

 

    9 est le carrée parfait de 3   on peut écrire  9x2 = 32 fois x2  ,

               ( se souvenir que le carré d’un produit est égale au produit des carrés (et inversement  le produit d’un carré est égal au carré des produits : 32x2  =( 3x )2    )

   

 on peut conclure que  9x2  est de la forme  a2  ;  soit ( 3x )2

 

2)   Est ce que  12x est de la forme  2 a b ?

 

      on décompose 12 en produit de facteurs premiers : 12 = 2 fois 2 fois 3 ;   donc  12x s’écrit « 2 » fois « 2 » fois « 3 » fois « x »

   

     on en déduit que « ab »  vaut   « 2 » fois « 3 » fois « x »

 

     on sait que « a » vaudrait  3x    ;   reste  la valeur  « 2 »  pour « b »

 

3) Est ce que  « 2 » convient  pour « b »?

 

                          On sait que  b2 est égale à 4 ,que racine carrée de 4 vaut 2 , 

                « b » à pour valeur  « 2 »

d) Inventaire des calculs:

   puisque a2  = ( 3x )2

  que  b  = 2  ;donc que b2 =4

  que  2ab  = 2 fois 3x fois 2 = 12x

e) Conclusion:

        9 x2 + 12 x + 4  est de la forme a2 +2ab +b2  ; avec a=3x et b=2

donc  la forme factorisée de  9x2 +12x +4  =  ( a + b ) 2

 

Réponse : la factorisation de   9x2 +12x +4   est  (  3x  + 2 ) 2

 

Certains polynômes du second degré ne peuvent se factoriser avec cette méthode tel :

x2 + x + 1   ; x2+18x+77   ;  2x2+13x+21  ;........................

 

Nous trouverons une solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous aborderons  l’objectif traitant de l’équation du second degré. « EQUA2° »

 

APPLICATION

Données du problème :

Un rectangle a pour aire :  ........................

Sa longueur est de : x +

Sa largeur est de   x  +  ...

Questions  :

Calculer   « x »

Calculer sa longueur et sa largeur:

Voir livre : mathématique; M.Monge et A.Faurel CAP .2 Sections industrielles 1973;page216

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

Donner la forme mathématique du développer du carré d’une somme de deux nombres.

Qu’appelle-t-on  « quantité ou expression conjuguée » ?

Comment reconnaît-on une expression conjuguée ?

 

EVALUATION.

 

I )Développer:

 

(3x+1) 2 =

( x +1 ) 2 =

(x +3 )2

(x +)2=

(x +1) =

 

 

II ) Factoriser:      x2 +12x +36    ;    16x2 + 4x + 9 ;

 

III )      Que faut-il ajouter aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une somme ?:

 

a2 + b 2 ; 9a2 + b2  ;a2 +2ab ; 4a2 +4ab ;  10ab +b2  ;  a2 +9b2

 

III)  Donner trois exemples d’expression conjuguée.(dont une  ,au moins, contient au deuxième terme une racine carrée)

IV)   Développement de    ( a - b ) (a - b)

soit la forme factorisée  (a - b ) 2   

        (voir page 7 objectif : FACDEVE)

 

        soit la forme factorisée  (a + b ) 2   ;

 

                                                 Recherche de la forme développée:   ( a -b ) (a -b)   ,    on met un indice à « a » et « b »

ce qui donne :

         ( a1 - b1 ) ( a2 - b2)  =  ?          se souvenir que   (a1  = a2   et     b1  = b2  )

on  transforme les soustractions en additions .

               (se souvenir qu une soustraction  se transforme en addition à condition de respecter la régle : on ajoute au premier nombre l’opposé du second )

 

                                  ( a - b ) ( a  - b )   =  ( a1 + (-b1 ))  ( a2 + (- b2))

Développement :

( a - b ) ( a  - b )    =     a1 a2 + a1 (-b2)  + (- b1) a2 + (- b1)(- b2  )

 

On effectue le calcul pour chaque terme  (avant de regrouper )

(voir objectif sur les décimaux relatifs:  Obj:  D....)

 

a1 a2    =   a a =  a2

a1 (-b2) =  ( - ab )

(- b1) a2  = - ba  =   (-ab ) 

(- b1)(- b2  ) = + b b  =  =  (+ b2 )

 

on réécrit l’égalité:     ( a - b ) ( a - b )     =   a2 +  (- ab ) +  (-ab)  + (+ b2)

 

comme : (- ab ) +  (-ab) donne   2 (- ab )  soit – 2ab

 

 

( a - b ) ( a  - b )     = a2 + 2 (- ab )  + (+ b2)

 

ON  RETIENDRA  :

 

( a - b ) (a -b)   =    a2  - 2  ab  + b2

 

  Traduction en langage littéral :

Le carré de la différence de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces nombres  diminuée de  leur double produit.

                                       

( a - b ) (a - b)   =    a2 + b2- 2  ab

 


 

EXERCICES TYPES :

Pour chaque exercice ,il y a deux solutions:

Première  solution

on applique directement : (a - b ) 2   =  a2 -2ab +b2 ;         on pose a = x  et b = 1  ;

Deuxième solution:

On transforme  (a - b ) 2  en  (a + (- b) ) 2 ; Dans ce cas on pose a = x et   (- b) =  (-1 )                       

         et  l’on développe ................

 

 

Dans les exemples qui suivent la première solution sera retenue:

 

A  )  Développer :  ( x -1 ) ( x - 1 )  qui s’écrit   ( x - 1 ) 2

       

on applique : (a - b ) 2   =  a2 -2ab +b2

 

(x - 1 ) 2   =  x2 - 2 fois x fois 1 + 12

On calcule pour chaque terme

2 fois x fois 1 = 2 x

12 = 1

 

                                   (x - 1 ) 2   =  x2 -2 x +1

 

 

 

B)  Développer : ( 3x - 2 ) ( 3x - 2 ) qui s’écrit   ( 3x - 2 ) 2  

 

on applique : (a - b ) 2   =  a2 - 2ab +b2 ;   On pose a  = 3x  et b = 2

 

donc   : ( 3x - 2 ) 2   =  ( 3x )2 - 2 fois « 3x » fois 2  +22

 

On calcule pour chaque terme:      a2 = (3x)2  = 9 x;    2ab  = 2 fois 3x fois 2 = 12 x ;   b2 =  22  = 4

   

                                        Conclusion: (3x - 2 ) 2   = 9 x2 -12 x + 4

 

Factoriser : a2 -2ab +b2   : Nous savons que la forme a2-2ab +b2 est la forme développer de   (a - b ) 2  ; nous pouvons conclure que la forme factoriser de   a2 -2ab +b2   est   (a - b ) 2  .

 

Exercice type :    Factoriser:           9 x2 - 12 x + 4

 

Procédure: (de factorisation)

 

a )On reconnaît un polynôme du second degré   (grâce au «  x2 » )

 

b) On remarque que ce polynôme  contient trois termes ,dont un terme (en « x » de degré 1 ) ,  « négatif »,  il pourrait  être de la forme   a2 -2ab +b2

 

c)  Nous allons comparer terme à terme ,pour vérifier si ce polynôme  peut se mettre sous la forme (a-b)2  ;    dont la  forme développée est   a2 -2ab +b2

 

 

 1 )   Est ce que   9 x2  est de la forme a2  ?

 

CONVENTION D’ECRITURE :

Dans l’expression  (a - b ) 2  ;   9 x2  est de la forme « a2 » est non de la forme « b2 » ; parce que « le terme en « x » de chaque facteur est « en tête » , donc suivi du signe «  - »

On utilisera  toujours cette écriture  (x - b ) 2   au lieu de  (a - x ) 2 ) 

    9 est le carrée parfait de 3   on peut écrire  9x2 = 32 fois x2  ,

               ( se souvenir que le carré d’un produit est égale au produit des carrés (et inversement  le produit d’un carré est égal au carré des produits : 32x2  =( 3x )2    )

   

 on peut conclure que  9x2  est de la forme  a2  ;  soit ( 3x )2

 

2 )   Est ce que  12x est de la forme  2 a b ?

      on décompose 12 en produit de facteurs premiers : 12 = 2 fois 2 fois 3 ; donc  12x s’écrit « 2 » fois « 2 » fois « 3 » fois « x »

   

     on en déduit que « ab »  vaut   « 2 » fois « 3 » fois « x »

 

     on sait que « a » vaudrait  3x    ;  il  reste  la valeur  « 2 »  pour « b »

 

3 ) Est ce que  « 2 » convient  pour « b »?

   On sait que  b2 est égale à 4 ,que racine carrée de 4 vaut 2 , donc   « b » à pour valeur  « 2 »

d) Inventaire des calculs:

   puisque a2  = ( 3x );     que  b  = 2  ;donc que b2 =4   ;   que  2ab  = 2 fois 3x fois 2 = 12x

e) Conclusion:

        9 x2- 12 x + 4  est de la forme    a2 -2ab +b2  ; avec a = 3x et b = 2 ; donc  la forme factorisée de  9x2 -12x +4  =  ( a -b )2

 

           Réponse la factorisation de   9x2 -12x +4   est  (  3 x  - 2 ) 2

 

Certains polynômes du second degré ne peuvent se factoriser de façon « directe » tel :

x2 - x + 1   ; x2-18x+77   ;  2x2-13x+21  ;........................

 

Nous trouverons une solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous aborderons  l’objectif traitant de l’équation du second degré. « EQUA2° »

 

APPLICATION

Données du problème :

Un retangle a pour aire :  ........................

Sa longueur est de : x +

Sa largeur est de   x  +  ...

Questions  :

Calculer   « x »

Calculer sa longueur et sa largeur:

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

 

Donner la forme mathématique du développer du carré d’une différence  de deux nombres.

 

 

EVALUATION.

 

I ) Développer:

 

(3x-1) 2 =

( x-1 ) 2 =

(x -3 )2  = 

(x -)2=

(x -1) =

 

 

II ) Factoriser:

 

x2 - 12x +36    ;    16x2 - 4x + 9 ;

 

III )  Que faut-il ajouter aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?:

 

a2 + b 2 ; 9a2 + b2  ;a2 - 2ab ; 4a2 - 4ab ;  -10ab +b2  ;  a2 +9b2
 

        

 

 Développement de    ( a + b ) (a - b)

soit la forme factorisée    a2 - b 2

        (voir page 7 objectif : FACDEVE)

 

 

Recherche de la forme développée:

          ( a + b ) (a - b)   ,    on met un indice à « a » et « b »

ce qui donne :

         ( a1 + b1 ) ( a2 - b2)  =  ?          se souvenir que   (a1  = a2   et     b1  = b2  )

on  transforme les soustractions en additions .

               (se souvenir qu une soustraction  se transforme en addition à condition de respecter la régle : on ajoute au premier nombre l’opposé du second )

 

                                  ( a + b ) ( a  - b )   =  ( a1 + b1 )  ( a2 + (- b2))

Développement :

( a1 + b1 )  ( a2 + (- b2))     =     a1 a2 + a1 (-b2)  +  b1 a2 +  b1(- b2  )

 

On effectue le calcul pour chaque terme  (avant de regrouper )

(voir objectif sur les décimaux relatifs:  Obj:  D....)

 

se souvenir que   (a1  = a2   et     b1  = b2  )

 

a1 a2      =   a a =  a2

a1 (-b2)  =  ( - a1b2 ) =  - ab

b1 a2   =  ba  =  ab

b1 (- b2  ) = - b1 b2  =  - b b   =- b2

 

on réécrit l’égalité:

   ( a + b ) ( a - b )     =   a2 +  (- ab ) + ab  + (- b2)

comme   -ab +ab donne  0

( a+ b ) ( a  - b )     = a2 + 0+ (- b2)

( a+ b ) ( a  - b )     = a2 - b2

 

ON  RETIENDRA  :

 

( a +b ) (a -b)   =    a2  -  b2

 

  Traduction en langage littéral :

Le produit de la somme de deux nombres par la différence  de ces deux nombres est égal à la différence des carrés de ces nombres .

                                       

 


 

EXERCICES TYPES :

 

Pour chaque exercice ,il y a deux solutions :

 

 

Première  solution :  on applique directement : ( a +b ) (a -b)   =    a2  -  b2 ;         on pose a = x  et b = 1  ;

Deuxième solution :  On transforme   ( a + b ) ( a  - b )   en  ( a1 + b1 )  ( a2 + (- b2))

 

          Dans ce cas on pose a = x et   (- b) =  (-1 )    et  l’on développe ................

 

 

Dans les exemples qui suivent la première solution sera retenue:

 

A  )  Développer :  ( x +1 ) ( x - 1 )

       

on applique : ( a +b ) (a -b)   =    a2  -  b2

                                Exemple :    (x +1 ) (x - 1 )       =  x2 - 12

On calcule pour chaque terme :    a 2 =x fois x =  x2      et    b 2 =12 = 1

 

                               Donc :      (x - 1 ) 2   =  x2 -1

 

 

 

B)  Développer : ( 3x + 2 ) ( 3x - 2 )   ;    on applique : ( a +b ) (a -b)   =    a2  -  b2

 

On pose a  = 3x  et b = 2   ;    : ( 3x + 2 )  ( 3x - 2 ) =  ( 3x )2 - 22

 

On calcule pour chaque terme:   a2 = (3x)2  = 9 x2     et    b2 =  22  = 4

 

   Conclusion:          ( 3x + 2 )  ( 3x - 2 ) = 9 x2 -4

 

Factoriser : a2 - b2

Nous savons que la forme a2-b2 est la forme développer de  (a + b )  (a - b ) ; nous pouvons conclure que la forme factoriser de   a2 -b2   est  (a + b ) (a - b ).

 

Exercice type :                                    Factoriser       9 x2 - 4

 

Procédure: (de factorisation)

 

a ) On reconnaît un polynôme du second degré   (grâce au «  x2 » )

 

b) On remarque que ce polynôme  contient deux  termes ,dont  pas de  terme « x » de degré 1  mais un terme  « négatif »,  il pourrait  être de la forme   a2 -b2

 

c) Nous allons comparer terme à terme ,pour vérifier si ce polynôme  peut se mettre sous la forme ( a+b)(a-b);    dont la  forme développée est   a2 -b2

 

 

 1 )   Est ce que   9 x2  est de la forme a2  ?

 

CONVENTION D’ECRITURE :

Dans l’expression  (a - b ) 2  ;   9 x2  est de la forme « a2 » est non de la forme « b2 » ; parce que « le terme en « x » de chaque facteur est « en tête » , donc suivi du signe «  - »

 

On utilisera  toujours cette écriture                (x+ b ) ( x - b )               au lieu de  (a + x ) ( a -x ) 

 

    9 est le carrée parfait de 3   on peut écrire  9x2 = 32 fois x2  ,

 

( se souvenir que le carré d’un produit est égale au produit des carrés (et inversement  le produit d’un carré est égal au carré des produits : 32x2  =( 3x )2    )

   

 on peut conclure que  9x2  est de la forme  a2  ;  soit ( 3x )2

 

3)  Est ce que  « 2 » convient  pour « b »  ?

 

 On sait que  b2 est égale à 4 ,que racine carrée de 4 vaut 2 , donc   « b » à pour valeur  « 2 »

 

d) Inventaire des calculs:    puisque a2  = ( 3x );   que  b  = 2  ;donc que b2 =4

 

e)   Conclusion:

        9 x2 - 4  est de la forme a2 -b2  ; avec a=3x et b=2 ;  donc  la forme factorisée de  9x2 -4  =  ( 3x+ 2) ( 3x- 2)

 

 

           Réponse :   la factorisation de     9x2 -4  est  ( 3x+ 2) ( 3x- 2)

 

 

Certains polynômes du second degré ne peuvent se factoriser de façon « directe » tel :

x2 + 1   ; x2-77   ;  2x2-21  ;........................

 

Nous trouverons une solution ,quand elle existe , d’opérer une factorisation lorsque nous aborderons  l’objectif traitant de l’équation du second degré. « EQUA2° »

 

APPLICATION :

 

Données du problème :

 

Un rectangle a pour aire :  ........................

Sa longueur est de : x +

Sa largeur est de   x  +  ...

Questions  :

Calculer   « x »

Calculer sa longueur et sa largeur:

 

CONTROLE:

 

Donner la forme mathématique du développer d ‘une somme de deux nombres par la différence de ces deux nombres.

 

 

EVALUATION.

 

I ) Développer:

 

(3x+1)(3x-1) =

( x+1 )( x-1 )  =

(x +3 )(x -3 ) =

(x +)(x - ) =

(x +1) (x -1) =

 

 

II ) Factoriser:

 

x2-36    ;    16x2 -9 ;

 

III ) Que faut-il ajouter aux expressions suivantes pour les transformer en carré d’une différence ?:

 

a2 + b 2 ; 9a2 - b2  ; 4a2 - 4b2 ;; a2 - b 2 ; a2 -9b2

 


DEVOIR BILAN:

 

Factoriser les expressions suivantes:

 

(il est nullement question ici de chercher à résoudre une équation ,ni même d’étudier une fonction ;il est simplement demandé de trouver une nouvelle forme d’écriture mathématique)