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Expression et somme algébrique (calcul numérique) niveau 1

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2°) Suite.

Liste     Sphère metallique 303

 

 

 

 

DOSSIER : N°4 : ALGEBRE  (Généralités) Les   "EQUATIONS" et "INEQUATIONS " du premier degré .

 

 

I )     l’ EGALITE

Définition  et résolution.

II )    les  EQUATIONS:

Définition  et résolution.

III )    LES  INEGALITES:

Définition  et résolution.

IV )    L’  INEQUATION

Définition  et résolution.

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir Boule verteniveau I  évaluation

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

COURS.

 

Vocabulaire : déjà vu:

« Binôme » :

Boule verte

« Expressions algébriques  équivalentes. »

Boule verte

« Expression algébrique rationnelle: »

Boule verte

« Expression algébrique irrationnelle: »

Boule verte

« Expression algébrique rationnelle entière : »

Boule verte

« Expression algébrique rationnelle fractionnaire : »

Boule verte

« Identité »

Boule verte

« Monôme : »

Boule verte

« Polynôme : »

Boule verte

« Termes semblables: »

Boule verte

« Trinôme : »

Boule verte

« Polynôme entier  ou rationnel : »

Boule verte

« Valeur numérique d'un terme : »

Boule verte

« Valeur numérique d'un polynôme : »                          

Boule verte

« Calcul algébrique. »

Boule verte

 

 

Info  plus !!!!

I )      LES EGALITES : 

 


 


 

 

IDENTITE :

 

L'expression  de l' égalité de deux expressions  équivalentes constitue une  identité .

Pour la  distinguer d'une égalité algébrique on emploie quelque fois le signe º qui veut dire  "identique à …."

 

Exemple :  ( a + b ) 2  º  a2 + 2ab + b2

 

  On appelle identité une égalité évidente  (ou une égalité satisfaite) quelles que soient les valeurs numériques des lettres qui y entrent

 

Ainsi  :      3 8    = 46               est une identité

                        8  =  8                    est une identité

 

            (a - b )2     =   a2 - 2ab + b2   est une identité.

 

 

Mais , considérons l'égalité  5 x = 40

 

Ce n'est pas une identité , car si je remplace  "x" par 3 , par exemple , le membre de gauche est égal à 5  3 ou 15 , le membre de droite est égal à 40 et 15 n'est pas égal à 40.    Si je remplace "x" par 8 , le membre de gauche  est égal à 40 , et par conséquent l'égalité se transforme  en identité  : 40 = 40

 

 

L'égalité  5x = 40 ne se "réduit donc à une identité" que si on remplace par une valeur convenablement choisie , c'est une équation.

 

Vers  "Identités remarquables"

Boule verte

 

 

II )  EQUATIONS:

 

On appelle  " équation" une égalité qui ne se réduit  à une identité que pour des valeurs particulières des lettres qui y entrent.

 

Une équation est donc une égalité qui renferme au moins une inconnue  et qui ne peut être vérifié que lorsque certaines valeurs numériques  , qu'il s'agit de trouver ,sont mises à la place des inconnues.

 

Inconnues:

 

 Les  lettres  qu'il faut remplacer par des valeurs particulières pour obtenir une identité sont les inconnues de  l'équation ; on les désigne généralement par les lettres  "x" , "y" , "z" , "t" , "u"

 

 

Solutions ou racines de l'équation :

 

 

Les valeurs particulières  qu'il faut  donner aux inconnues pour avoir  une identité sont les "solutions" ou "racines" de l'équation.

Dans la résolution d’une équation du second degré  les racines sont les valeurs de « x »  pour la valeur de « y=0 »  (voir le tracé d’une équation du second)

 

Equation est satisfaite ou vérifiée

 

On dit qu'une équation est satisfaite ou vérifiée pour les valeurs des inconnues qui sont les racines .

 

 

Résolution des équations :

  

 

Résoudre une équation, c'est trouver les valeurs particulières qui , mises à la place des inconnues , donnent une égalité évidente .(on dit aussi  "égalité vraies")

 

 

On dit aussi : Résoudre une équation c'est rechercher et trouver ses racines .

 

Une équation peut contenir une ou plusieurs  inconnues.

 

Equation entière:

 

  Une équation est dite "entière" quand elle ne contient aucune  inconnue en dénominateur.

 

Equation rationnelle :

 

Une équation est dite "rationnelle" quand elle ne contient aucune  inconnue sous un radical.

 

Equation irrationnelle :

 

Une équation est dite "irrationnelle" quand elle contient  un radical.  Exemples :    ;  ; 

 

 

Degré d'une équation :

 

On appelle "degré d'une équation" entière ou rationnelle  la somme des exposants des inconnues dans le terme où cette somme est la plus grande .

 

 

Exemples :

 

L'équation       2x -8 = x +14        est du premier degré.

 

L'équation       5 x2 - 8x = 0         est du  2ème degré

 

L'équation        xy +x -y + 1 = 0     est du deuxième degré en "x" et "y"  ( la somme des exposants dans le terme "xy" est 2 ).

 

Les principales équations sont:

 

 

Forme de l'équation :

 

Du premier degré à une inconnue

ax   = b

 

Du premier degré à deux inconnues

y =  ax   , y = ax +b

 

Du second degré à une inconnue

 ax2     = b

 

Du second degré à deux inconnues

y = ax2   ;     y = ax2  + b

 

 

A titre d’information : l’équation  2x3 -8 = x² +14  est du troisième degré  , il en est de même  de l’équation  . x² y + 1 = 0

 

 

 

 

 

 

III )    LES  INEGALITES: ( info ++)

 

Définitions :

 

1° )  Un nombre algébrique "a" est plus grand qu'un autre nombre algébrique  "b" , lorsque la différence : ( a- b ) est positive

 

Voir différence de deux nombres algébriques (de décimaux relatifs )

 

Exemple: soient les nombres  : "a" = (+3 ) et "b" = (-4)

La différence de ces deux nombres est   (+3) - (-5) = (+8)

 

On écrira que le nombre (+3) est plus grand que le nombre (-4)

Ce qui se traduit par l'écriture :  (+3) > (-4)  on a ainsi   "une inégalité"

 

 

2°) Un nombre algébrique "a" est plus petit qu'un autre  nombre algébrique "b" , lorsque la différence ( a- b ) est négative

 

Exemple :      soient les nombres  "a" = (-11) et "b" = (-5)

 

 

La différence de ces deux nombres est:     (-11) - ( -5 )  =  (- 11 ) + ( + 5 ) =  ( - 6 )

 

On écrira  que le nombre ( -11 ) est plus petit que le nombre ( -5)

 

Ce qui se traduit par l'écriture :   (- 11 ) <  (- 5 )  ; on a ainsi   "une inégalité"

 

 

Les principes  ( ou théorèmes ) applicables  aux équations  sont applicables aux inégalités .

 

Théorème 1 et 2 :

 

On peut ajouter ou retrancher un même nombre algébrique aux deux membres d'une inégalité , sans changer cette inégalité.

 

 

Exemple : soit l'inégalité : (+4) > (-3)

 

Ajoutons le nombre algébrique ( -3 ) aux deux membres , on a :

       (+4) + ( - 3 ) > (-3) + ( - 3 )

 

ainsi :  (+1) > (-6)  , ce qui est encore vrai.

 

On démontrerait de même ce principe  , si on diminuait d'une même quantité les deux membres d'une égalité.

 

Théorème 3 et 4:

 

 Si on multiplie les deux termes d'une inégalité , ou si l'on divise  ces deux termes  par un même nombre , on obtient  encore une  inégalité.

 

Attention : cette inégalité ne changera pas de sens , si on a multiplié ou si l'on a divisé par un nombre  positif .  mais  cette  inégalité changera  de sens , si on a multiplié ou divisé par un nombre négatif.

 

Exemple :  soit l'égalité   (+7 ) > (-5)

 

Multiplions les deux termes par (+4) , on a , d'après la règle des signes :

(+7 ) (+4)  > (-5) (+4)

 ou   (+ 28 )   > ( -20 )   ce qui est vrai.

 

 

Multiplions les deux termes de la même inégalité par (-3) on a , d' après la règle des signes :          (+7 ) > (-5)

 

a) (+7 ) ( -3 )    donne  ( -21 )

b ) (- 5 ) ( -3 )    donne  ( + 15 )

 

On ne peut  pas  écrire  que   ( -21 ) > (+15 ) , il faut obligatoirement changer le sens du signe >   et écrire que       ( -21 ) < (+15 )

            ou   si   (+7 ) > (-5)  ;  changer le sens du signe de l'inégalité si l'on multiplie par un nombre négatif  :     (+7 ) ( -3 )  <  (-5) ( -3 )

 

  On démontrerait que ce principe  est applicable  si l'on divisait les deux termes d'une inégalité par un nombre positif  ou un nombre négatif.

 

 

IV ) L’  INEQUATION  ( info +)

 

Une "inéquation" est une inégalité  dans laquelle entre une quantité inconnue.

 

Exemple 1: On veut résoudre  l'inéquation :  2x - 3 > 3 x -20

 

C'est à dire trouver pour quelles valeurs de "x" l'inéquation est vérifiée .

 

 Pour cela  , on applique   à la résolution de l'inéquation toutes les règles  qu'on applique à la résolution d'une équation. On aura donc:

 

            2x - 3 > 3 x -20

           20 - 3 > 3 x -2x 

               1 7 >  x

Ou           x  < 17

 

En conclusion :Pour que l'inéquation soit vraie , il faut qu'on donne à "x" des valeurs plus petite que 17

 

Exemple 2 :  Résoudre l'inéquation , c'est à dire trouver les valeurs qui satisfont à l' inéquation suivante :

                

8x -5  > 

 

nous chassons le dénominateur , on a :

             

2 ( 8 x -5 ) > 15x -8

 

16 x - 10 > 15x -8

 

16x - 15x  > 10 -8

 

            x > 2

 

 

Conclusion : toutes les valeurs positives , à partir de  (+2) jusqu'à  (+ l'infini ) sont les valeurs qui satisfont à l'inéquation donnée.

 

 


 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

CONTROLE:

 

1°) Donnez la définition d’une expression algébrique.

 

2° )Donner la définition de « variable »

 

3° )Donner la définition de « somme algébrique ».

 

4° )Quelle relation y a t - il entre « somme algébrique » et « expression algébrique »?

 

5° )Pour faire du calcul algébrique ,que doit-on faire de l’expression algébrique ?

 

6°) Donner la procédure permettant de transformer une expression algébrique en somme algébrique.

 

EVALUATION:              NIVEAU I

 

Résoudre les équations suivantes:

Série 1

 

 

x - 2 = 5

 

 

x - 4  = 5 - 2 x

 

 

Série 2

 

 

5 x - 18 = 3 x

 

 

3 + 2x = 1 - x

 

 

Série 3

 

 

12x - 8 = 172

 

 

5x  -4 = x - 28

 

 

 

Série 4

 

 

3x +4 = 9 -4x

 

 

5x -18 =-3x +6

 

 

Série 5

 

 

4x +3 +5 = 3x +12

 

 

5x -13 = 2x -4

 

 

Série 6

 

 

6x + 160 = 40 + 8x

 

 

2x -1 = 3x +2

 

 

Série 7

 

 

3x -4 -2 ( x - 5) = 18

 

=45

 

 

Série 8

 

 

= 11 –x

 

 

6+ +17

 

 

Série 9

 

 

- 8 =

 

 

+20= x +25

 

 

Série 10

 

 

+ 5 = 2 +x

 

 

- 5 = 3y - 85

 

 

Série 11

 

 

( y -2 ) 7 =

 

 

 =

 

 

Série 12

 

 

= 1 -         

 

 

5 ( y +3) = (y -3)

 

 

Série 13

 

 

= 7

 

 

+ 7 = + 9

 

 

Série 14

 

 

=50

 

 

= 5 x -46

 

 

Série 15

 

= x +3

 

 

2= x -2

 

 

Série 16

 

 

 

(x-7) = (x-2)

 

 

Série 17

 

 

 

 

 

Série 18

 

 

 

 

 

 

Série 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Algèbre :

 

 

 

Série 1

 

1.     

3ax = b

 

2.     

2ax - x = 3a -b

 

 

Série 2

 

3.     

4.     

 

 

Série 3

5.     

 

6.     

 

 

Série 4

 

7.     

 

8.     

 

 

Série 5

9.     

 

 

10.                    

 

 

 

Résoudre les inéquations  suivantes et vérifier :

 

Série 1

 

 

a)    X - 6 < + 3

 

 

b)   X + 5 < 5

 

 

c)   2 X > 8

 

 

d)

 < 4

 

 

 

 

Série 2

 

 

a)   2x +3 > x + 5

 

 

b)   3 x > 4 x -18

 

 

Série 3

 

a)  

  - 1 < 2 x

 

b)

+3  <  3 x -8

 

 

Série 4

 

 

a)  x + 5 >  3 -3x

 

 

b)

  >  

 

 

 

Niveau +

 

 

Entre quelles limites peut varier la valeur de "x" et satisfaire aux deux inégalités suivantes:

 

a)     2x  - 5 < x + 3

 

 

b)     5x  - 3  >  3 x + 1

 

 

Quelles sont les valeurs de "x" , positives et entières , qui satisfont simultanément aux deux inégalités suivantes ?

 

+3  > + 4

 

2x -3   < + 4