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 Les nombres relatifs

 

Expression et somme algébrique (calcul numérique)

3D Diamond

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1°) Le nombre algébrique….

1°) les conventions Sphère metallique

 

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Suite des définitions Sphère metallique

Tableau       Sphère metallique 8  / 84

Liste des cours >>>>>  d’algèbre

 

DOSSIER : N°2 : ALGEBRE  (Généralités) définitions :

 

 

1°) Nombre algébrique : définition ; nombres algébriques égaux, nombres algébrique opposés.

 

 

2°) Expression algébrique : 

 

Info ++

a) Monômes entiers.

 

 

b) Polynômes entiers en « x ». (appelés aussi : sommes algébriques de monômes)

 

 

c )  Somme algébrique de polynômes entiers  en « x ».

 

 

d )Expressions algébriques équivalentes. 

 

 

3°) Calcul algébrique.

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir Boule verteniveau I  évaluation

Interdisciplinarité

                        Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

Evaluation niveau II   

3D Diamond                           corrigé: Galet

Evaluation niveau III

3D Diamond                          corrigé : Galet

 

 

COURS

 

 

1°)  Nombre algébrique :

a) Définition

 

Nombre algébrique (dit aussi : nombre relatif)  :

 

                            Un nombre algébrique est un nombre arithmétique  précédé du signe plus ou moins . Voir "nombre relatif"

 

 Un nombre algébrique est formé de deux parties

 

1°) Un nombre arithmétique , qui constitue sa valeur absolue (ce nombre arithmétique  peut être  entier , décimal  ou fractionnaire.

 

)Un signe , qui indique  le sens  de la grandeur mesurée ,

   Précédé du signe + , le nombre est dit  positif :  + 5 ; +2,8 ; +

   Précédé du signe - , le nombre est dit  négatif  :  - 5 ; - 2,8 ; -

 

le nombre arithmétique qui figure dans un nombre algébrique s’appelle sa « valeur absolue »

 

b)  Nombres algébriques égaux :

 

Deux nombres algébriques sont égaux s'ils ont même valeur absolue et le même signe .

 

 

Exemples : + 0,25 et  +

 

 

c) Nombres algébriques opposés:

 

Deux nombres algébriques  sont opposés s'ils ont la même valeur absolue et sont de signes contraires .  +7  ; -7

 

 

Ce sont des nombres relatifs de signes contraires

 

 Voir  "somme de nombres algébriques"

 

 

Commentaire :      La forme simplifiée d’une  somme algébrique est une expression  algébrique.

 

  En algèbre ,il  n’est donné à traiter que des expressions algébriques.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

               

 

2°)   Les expressions algébriques.

 

 

 

Une expression algébrique est un « assemblage » de lettres et de nombres par l’indication des symboles d’opérations.

Les expression algébriques se présentent souvent sous une forme extrêmement compliquée. On doit , avant  toute chose , opérer des modifications d’écriture, ayant pour but de donner à l’expression sa forme la plus simple.

 

 

 

a)   Définition d’une expression algébrique:

 

               Une expression algébrique est un ensemble de nombres relatifs et de variables sur lesquels sont indiquées des opérations à effectuer.

 

Commentaire :      La forme simplifiée d’une  somme algébrique est une expression  algébrique.

 

  En algèbre, il  n’est donné à traiter que des expressions algébriques.

 

Plus précisément :

               Une expression algébrique est un ensemble de lettres et de nombres reliés entre eux par les signes  des opérations arithmétiques élémentaires, de telle manière que, si l’on remplace chaque lettre  par un nombre , les règles de l’arithmétique permettent  d’effectuer les opérations indiquées . Le résultat final du calcul est dit  la valeur numérique de l’expression pour les valeurs particulières données aux lettres .

 

  On dit aussi :  Une expression algébrique est un ensemble de nombres (donnés explicitement ou représentés par des lettres ) reliés par les signes des six opérations.

 

Exemples : 

 

 

 

2ax2 -8bx

a -

a2  - b

 

 

b  ) Les expressions algébriques rationnelles.

 

 

 

Lorsque l’expression est rationnelle , c'est-à-dire ne comporte pas l’indication d’extraction de racines , de racines carrées ,par exemple, le but de simplification d’écriture est acquis par l’application méthodique des méthodes à voir dans le module  «  calcul algébrique »                  

     Une expression algébrique est dite "rationnelle" quand elle ne contient pas de lettres sous un radical.

Dit autrement: une expression algébrique est dite rationnelle lorsque , parmi les opérations à effectuer sur les  nombres représentés par des lettres , il n'y a aucune extraction de racine.

Une expression rationnelle ne comporte que des additions, soustractions, multiplications et divisions.

 

Ainsi :

 

 

 

c )  Expression algébrique irrationnelle:

 

Une expression algébrique est dite "irrationnelle" quand elle  contient  une ou des lettres sous un radical.

 

(parmi les opérations à effectuer sur les nombres représentés par des lettres , il y a une extraction de racine.)

 

Exemples :     ;   x -  ; …..

 

 

 

d ) Expression algébrique rationnelle entière :

 

  Une expression algébrique rationnelle  est dite "entière" lorsque , parmi les opérations à effectuer sur les nombres représentées par des lettres , il n'y a pas de division.

Exemple :  ( a 2 + b 2 ) (c 2 + d 2 ) 

 

 

 

 e ) Expression algébrique rationnelle fractionnaire :

 

Une expression algébrique rationnelle  est dite "fractionnaire" lorsque , parmi les opérations à effectuer sur les nombres représentées par des lettres , il  a une division.

Exemple : 

 

 


 

Pré requis.

3°) Monômes entiers.

 

 

 

 

       Le monôme est la plus simple des expressions algébriques. Un monôme entier est constitué par un produit dont les facteurs sont des puissances de la lettre (ou des lettres) sur laquelle on décide de fixer son attention.

D’autres facteurs numériques ou littéraux interviennent aussi et constituent le « coefficient » , lorsqu’on les a ressemblés en un seul facteur.

  «  - 3 a ² b ² x 5 »     ; «   »  sont des monômes.

Dans le second   , le coefficient est  ; dans le premier le coefficient est   «  - 3 a ² b ²  »  si l’on a décidé de fixer son attention sur la terre « x » seule. Mais ce sera « -3 » si l’on envisage à la fois les lettres « a » , « b » et « x ».

Le « degré » d’un monôme entier par rapport à un lettre déterminée , est l’exposant de cette lettre.

Ainsi : «  - 3 a ² b ² x 5 » est de degré « 5 » par rapport à « x ».

Le « degré » d’un monôme entier par rapport à l’ensemble des lettres , est la somme des exposants de ces lettres.

Ainsi : «  - 3 a ² b ² x 5 » est de degré global : «  2 +2+ 5 = 9 »

Si une lettre n’a pas d’exposant, c’est comme si cet exposant était égal à un.

On appelle « mon^mes semblables », des monômes qui ne différent que par leurs coefficients.

                 Exemple   «  - 3 a ² b ² x 5 » et « a ² b ² x 5 » sont des monômes semblables……

 

La somme (algébrique) de deux ou plusieurs mon^mes sembles est un monôme dont le coefficient est la somme des coefficients des monômes donnés :

 Exemples 1 : «   17 x ²  - 13 x² + 11 x² =  ( 17 – 13 + 11 ) x²  =  15 x² »

Exemple 2 :   «  - 3 a ² b ² x 5 + a ² b ² x 5 =   ( - 3  ) a ² b ² x 5»

 

·       La multiplication de deux ou plusieurs monômes entiers est tributaire de la règle de l’addition des exposants. ( voir @ cours …)

«  - 3 a ² b ² x 5 . 4 a b 3 x 9 = - 12 a 3 b 5 x 14 »

·       Le quotient de deux monômes s’opère par la règle de la soustraction des exposants. ( voir @ cours …)

   ; ce résultat n’est pas un monôme entier en « x ».

 

 

 

Polynômes entiers en « x ».

 

 

On désigne sous ce nom les sommes algébriques de monômes dans lesquels on a précisé que l’on veut les envisager par rapport à la lettre « x » :

 

 

 

P( x ) = 3 x 7- 8 x5  + 11 x 4  -  x² + 18    ( lire : « P de x »)

P( x ) = - 5 a x 3 +  x² + 4 x +  2 ab

 

 

 

 

 

 

L’ordonnation du polynôme est l’écriture de ses différents termes par ordre d’exposants croissants ( ou décroissants) de la lettre « x », après groupement des mêmes puissances de « x » , ou « réduction ».

C’est le cas des polynômes ordonnés suivant les puissances décroissantes de la lettre « x », qui est le cas habituel.

Le degré du polynôme est la valeur de l’exposant le plus élevé de la lettre « x ».

Le polynôme :    P (x) = 3 x 7 – 8 x 5 + 9 a x + b.    est du  7ème degré.

 

 

 

 

 

                           On notera que dans d’autres théories , un polynôme  est seulement représenté par la suite classé de ses cœfficients :  P = ( 3 ; - 8 ; 9 a ; b)  pour l’exemple ci-dessus . Dans un polynôme en « x » , la lettre « x » qui peut prendre telle valeur numérique que l’on voudra , s’appelle « inconnue » , ou « la variable » . Le terme qui ne contient pas « x » ( s’il y en a un ) s’appelle le terme « constant » : il est de degré zéro.

 

 

 

 

 

d)  Somme algébrique de polynômes entiers  en « x ». (simplification ; ordonnation ; …)

 

 

 

 

 

Les polynômes donnés sont écrits entre parenthèses , à la suite les uns des autres, les parenthèses étant précédées du signe de l’opération ( addition ou soustraction) à effectuer.

 

 

 

 

 

Procédure :

1°) supprimer les parenthèses.

2°) Réduire les monômes semblables , en même temps on réalise l’ordonnation.

 

 

Exemple :On donne 3 polynômes : P ; P ‘ ; P ’ ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nombres irrationnels ?

SOS info

 

Rappel :   « Variable »  :

 

 

 

Définition d’une variable:

 

Une variable  est une lettre, elle représente ,   généralement ,en sciences physique ,une quantité qui peut prendre diverses valeurs.

 

 

 

Voir : @  Expression et somme algébrique.

 

 

Expressions algébriques  équivalentes.

                            On dit  que deux expressions algébriques  sont  "équivalentes" (ou identiques ) lorsque , en remplaçant dans les deux expressions chaque lettre par un même nombre arbitraire , et en effectuant tous les calculs indiqués , on obtient toujours deux résultats égaux.

 

Ainsi, considérons  les deux expressions 

 

     a 3 - b3      et       ( a - b ) ( a2 -2ab + b2 )

 

                         Elles sont équivalentes  parce que si l'on remplace "a" par un nombre quelconque  et "b" par un nombre quelconque et si , dans ces conditions , on calcule la valeur numérique de a3 - b3   et la valeur numérique de ( a - b ) ( a2 -2ab + b2 )

 

On trouve deux nombres égaux

 

Exemple :

 

  Remplaçons  "a" par  « 5 »    et "b" par « 2 »     dans  les expressions    a 3 - b3      et       ( a - b ) ( a2 -2ab + b2 )

 

  a3 - b3   =    53 - 23  =   125 - 8 = 117

 

 ( a - b ) ( a2 -2ab + b2 ) = ( 5 -2 ) ( 52-2 5  2 + 22 )= 3  39 = 117

 

si nous remplaçons  "a" par 10  , "b" par 1 :

 

     a3 - b3=  999

  ( a - b ) ( a2 -2ab + b2 ) = 9 111 = 999

 

On trouve  une nouvelle fois le même nombre .

 

 

 

Calcul algébrique.

 

 

 

  Le calcul algébrique a pour but de remplacer certaines expressions  algébriques données par des  expressions équivalentes

.

 

 

Pour cela il faudra maîtriser les connaissances  dispensées en FACTORISATION et    DEVELOPPEMENT .

 

 

 



 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

CONTROLE:

 

1°) Donnez la définition d’une expression algébrique.

 

2° ) Donner la définition de « variable »

 

3° ) Donner la définition de « somme algébrique ».

 

4° ) Quelle relation y a t - il entre « somme algébrique » et « expression algébrique »?

 

5° ) Pour faire du calcul algébrique ,que doit-on faire de l’expression algébrique ?

 

6°) Donner la procédure permettant de transformer une expression algébrique en somme algébrique.

 

EVALUATION:            

 

 NIVEAU I

 

I )  Remettre sous forme relative les nombre suivants:

 

 

Exercices :

 

Votre résultat:

corrigé

3

 

-5,6

 

II ) Transformer toutes les expressions suivantes en somme algébrique et calculer

 

 

1.     9 + 5

 

 

2.    -9 - 7

 

 

3.    5,7  - 17,4

 

 

4.    8  + 5 - 15,7

 

 

5.    + 5 + 16,3 + 34 - 78 - 142

 

 

6.    957,5

 

 

7.    8 - 45

 

 

8.    - 9 - 67

 

 

9.    - 82-93

 

 

10.                1,3 / 2 + 7 - 15 3

 

 

EVALUATION  niveau II:

 

 

Remplacer les lettres par leur valeur et effectuer le calcul si vous avez fait les opérations avec les nombres relatifs

 

SOS  nombres relatifs

Boule verte

 

1 ) Soit  B  = x - y

 

Transformer l'expression en somme; faire le calcul:

 

a) avec   x  =   3  ; y  =  6 ;

 

b)  avec  x    =  -2,5 ; y =  -5,3

 

 

2° ) idem que ci dessus:

 

Soit l'égalité C  = x + y -z

Calculer C avec  :

  

x  = -3   ;y = + 2,6  ; z = -6,3

 

 

3°) Idem:

 

A = 2x - 3y

Avec   x  = 10,5   ;  y  = -5 

 

 

4°) Idem:

 

B = -1,5x + 0,5y - 4z

avec x =  -5   ;   y   =  -3  ; z  = -2

 

5°) Idem:

   A   =    3x / 4

Avec x = (+9)

 

6°) Idem:

B = -  4x / 8 +z   ; avec a) x  =  -4     z = +5

+ z

7°) Idem:

 

C  = 9 x / 1,5 + 3 y / 2

Avec      x = - 6    y = - 10   

 

 

 

8°) Idem:

 

D  = - 5/2 + 3 x - 7/2 y - z

Avec     x  = 15     y = -12   ;   z = -30  

 

EVALUATION  III

Faire  le calcul des  sommes algébriques  suivantes:

 

      (montrer les étapes successives de transformation; l’utilisation de la calculatrice est autorisée comme moyen de vérification ,mais attention il faut bien connaître sa machine, elle peut vous donner un résultat qui n’est pas conforme)

 

 

 

Première série:

Transformation expression en somme algébrique:

a)  3,7+ 5,9 - 50,4 =

b)  -4,8 + 13,9 - 3,1 - 5,3 + 6,4 =

 

Deuxième série

 

c) 9 + 3,7+ ( 8,2 - 6,3)  =

d)  9 + 3,7 - ( 7,9 -12,2) =

e) ( 8,2 - 6,3 ) -( 7,9 -12,2) =

f)  + 3,7+ ( 8,2 - 6,3 ) -( 7,9 -12,2) =