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Racine carrée  nomenclature :

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2°) Puissance Nième

3°) Puissances des nombres relatifs.

Objectif suivant

  1. Racines d’opérations
  2. « Extraction de la racine »
  3. les irrationnels …..

Tableau     à revoir  82

Info complémentaire : 2 Puissances et racines niveau V .

Liste des cours en calcul numérique

 

 

DOSSIER: Niveau III :             LA RACINE  nième

·        La racine de certain nombre est   dit :  nombre « incommensurable »

·        L’extraction de la racine est appelée : la sixième opération en mathématique 

·        Définitions :

 a)  « Radical » .

 b ) « Radicande » .

c ) Ce qui  gravite autour de ce  signe .

d)   Les nombres dits « Irrationnels ».

·        CAS   GENERAL:  RACINE   nème  d’un nombre

·        OBTENTION DE LA RACINE N ièmè  D’UN NOMBRE

·        RACINES D' UN NOMBRE  RELATIF

·        Relations entre les écritures mathématiques  de  la "RACINE N ièmè " et la  " PUISSANCE N ièmè "  D’UN NOMBRE et d'une opération simple

·        Généralisation sur les racines…

 

 

 

 

TEST

          Ou  

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité                

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

La racine de certain nombre est   dit :  nombre « incommensurable »

 

Exemple :

 

Si l’on mesure la diagonale « d »  d’un carré en prenant comme unité de mesure le côté « a », on ne trouve aucune partie de l’unité « a » contenue un nombre exact de fois dans « d » , on dit qu’il n’y a pas de « commune » mesure  entre « d » et « a » , le résultat de la mesure est un nombre incommensurable . Dans le cas de la figure ce nombre est

Dans la pratique des opérations , on se contente d’une  mesure approchée de la grandeur donnée et l’approximation varie avec la nature de la mesure à effectuer.

 

Cas Général         :  la racine nième


COURS

 

L’extraction de la racine est appelée : la sixième opération en mathématique ;

 

 

   Définition de l’objectif : Savoir « donner » le radical d’un nombre..              (On dit aussi donner la racine « carrée  ou cubique d’un nombre »)

a)  « Radical »

                Le mot « Radical » est le nom donné au signe :                     , Ce signe  est une modification de la lettre « r » , initiale du mot latin qui signifie « radical ».

 

 

               On trace un « vé » prolongé par une barre horizontale.(recouvrant totalement un nombre ou une opération ).

 

Au  XVIème siècle encore , on se servait ,pour désigner la racine , d’un « R » majuscule , suivi d’un « q » ou d’un « c » pour indiquer respectivement la racine carrée (quadrus) ou cubique (cubus) .

Par exemple on écrivait  R.q. 1225  au lieu de la notation ,

 

 

   Exemples  : 

  ;  ;  ;

 

b ) « Radicande »

 

Le nombre (ou opération)  situé sous la barre horizontale s’appelle : radicande

 

c ) Ce qui  gravite autour de ce  signe  :

                                      la barre horizontale prolongeant le « vé » couvre la partie numérique(exemple  ; ici  25 est le radicande ).

 


 

                                                             

 

 


sur la branche la plus courte du « vé » (à gauche) est inscrit un nombre appelé « indice » ;  (il  indique

le degré de la racine carré pour le nombre (2) ;cubique  pour le nombre (3) , ou quatrième pour le nombre  (4) ;ainsi de suite.........                 

 

La pointe du vé étant sur la ligne d’écriture.

 

 

 

d) Les nombres dits « Irrationnels »

:Info plus….

 

Les nombres tels que  ;  ; ne peuvent avoir la forme d’un nombre entier , d’un nombre décimal ni la forme d’une fraction  ,ils sont appelés  « irrationnels » .

 

 

Remarques :  ;       valent respectivement 3 et      , ils  ne sont donc pas des irrationnels

 

*Les irrationnels  appartiennent à l’ensemble des nombres dits «  Réels ». (cliquez ici ++++) 

 

 

 

 

 

CAS   GENERAL:  RACINE   nème  d’un nombre

 

                     La « racine » d’un nombre « X » est l’opération inverse de la puissance qui tend à trouver le nombre « x »de départ qui à permit de calculer  X .

 

 

                        en faisant     le calcul de     xn   on obtient un nombre " X "

                   donc  inverse en  faisant le calcul  X1/n    on retrouve le nombre " x"

 

 

 

       En ayant  « X »   est « n »  ;on demande de retrouver « x » ; pour cela on utilise l écriture

   =   x =

 

 

 ( sachant que l’on a admis    que     xn =X   )

 

 

Remarque:

On écrit aussi que               =         ; ces deux écritures mathématiques ont la même signification;(écriture utilisée  dans l'objectif « dérivation » )

 

 

 

Remarques : 

 

les écritures   de la forme      ;telle que        et          sont souvent utilisées  sur les  calculatrices (pour effectuer la même opération ,cela dépend des marques ).

 

 

A savoir :

-S i   x y  = X   , alors  x   =  

 

 

               (traduction : si le nombre petit « ixe »  à la puissance y  a pour résultat ( est égal ) le nombre grand   « ixe » ,alors le nombre petit « ixe » est égal à la racine hi grec ième  du nombre grand « ixe ». )

 

 

 

 

 

 

Exercices les plus exécutés:

 

 

 

Soit une valeur de x

on pose  x y

le résultat de x y est   X

on fait le calcul de   =

(lire :racine nième )

le résultat de  est   x

soit

si      x  =

x y

calculons   X

   =

=  x

5

52

25

 =

= 5

3

33

27

 ==

=  3

7

74

2401

 ==

= 7

 

Commentaire:

il n’y a pas de difficulté à calculer  la puissance d’un nombre (x y );il n’en est pas de même pour calculer la racine nième d’un nombre :

 

 

Comment obtenir la valeur d’une racine  d’un nombre ?

 

 

·        OBTENTION DE LA RACINE N ièmè  D’UN NOMBRE

 

Pour obtenir la racine nième d’ un nombre ( exemple :  ) il y a plusieurs possibilités:

  a)  soit par le calcul:

                         il est possible de calculer la racine carré d’un nombre; cela fait l’objet d’une leçon particulière.(c’est le seul cas de calcul qui peut être accessible à un élève).

    b)  Soit par identification: il faut connaître et donc reconnaître les carrés parfaits.

 

     c)      Pour tous les autres cas il vous faut consulter une table numérique (recensant tous les calculs faits à l’avance )

   d)    ou alors il vous faut apprendre à utiliser la calculatrice.

 

 

 

Autres écritures  utilisées par les calculatrices:     signifiant que l’on calcule le radical d’un nombre.

 

 

 

a)            est  =   à       .  (que l’on traduit par « racine » y ième de X )

 

 

 b)          est  =  à          .  (que l’on traduit par « racine » x ième de  y )

 

·        RACINES D' UN NOMBRE  RELATIF

 

Deux cas renfermant deux cas  :

   "y" est paire

  "y" est impaire

"x" est positif

"x" est négatif

"x" est positif

"x" est négatif

Exemple:

Résultat = (+5)

Exemple:

Résultat  impossible; le carré d'un nombre est toujours positif

Exemple :

Résultat : (+3)

Exemple :

Résultat : (-3)

Calcul  possible

Calcul  impossible

Calcul  possible

Calcul  possible

 

 

Cas  d'un calcul courant d'algèbre  à maîtriser :

 

 On donne  x 2 = (+25) ; quelle est la valeur de "x" ?

 

Réponse : "x"  vaut (+5) ou (-5)

Raison :

 (+5)(+5) =(+25)  ; (-5)(-5) = (+25)

Réponse: on fait la racine carrée de "25" ; on trouve  "5"

"5" est la valeur absolue de "x" ;

conclusion ;on peut donner deux valeurs à "x":

x= (+5)

x= (-5)

 

  de calcul  :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·        Relations entre les écritures mathématiques  de  la "RACINE N ièmè " et la  " PUISSANCE N ièmè "  D’UN NOMBRE et d'une opération simple

 

EN RESUME  : 

 

 

 

Rappel  

                      xn

Peut s'écrire =

 

 

Ecriture avec le radical :

Ecriture équivalente

Sans radical 

Développement ou simplification :

résultat

  =

x

 

 

() n  =

 

(x ) n

x   = x = x

x1   = x

() n  =

 

 ((x n ))n

((x  )) = x

= x n

 =

 

(x  y )

 x  y

 

  =

x  y

 

 

   =

 ()      

 

 

=

 

()

 

 

      =

 

 = = x

 

 

 =

 

 

 

= 

 

Aucune transformation possible

(x + y)  

 

+  =

 

Aucune transformation possible

x + y  =

 

 

=

 

Aucune transformation possible

(x - y)

 

-=

 

Aucune transformation possible

x - y

 

 

 

 

 

 

·        Généralisation sur les racines

 C d :Info +++

 

· Ecritures équivalentes :      =     =  

· Si  a  ³ 0   , alors       désigne le seul nombre qui a pour  carré « a ».

 

Exemples 

 

« 16 »   est un nombre positif , le nombre positif qui a pour « carré »  « 16 »  est   « 4 ».  

 

On sait que :  ( 4²  =  4  ´ 4   = 16 ) ;

 

On dit que « 4 » est la racine carrée de « 16 »  et  on écrit :      =  4

 

21  est un nombre positif , sa racine carrée n’est ni un nombre entier ni un nombre décimal , ni une fraction , on l’écrit  :

 

iCe nombre qui n’est  ni un nombre entier , ni un nombre décimal , ni une fraction est appelé : nombre « irrationnel ».

 

· Si a  ³ 0    , alors  () ² = a

 

· Si a  ³ 0   , alors    est la solution positive  de l’équation   x² = a

 

Conséquences :

· Si   k  ³ 0   , alors   = k  et  , si  k  £ 0  , alors       = - k

 

Exemple :  ( + 4 ) ² = (+16 )  et   ( - 4 )² = ( + 16 )  aussi   si l’on fait la racine carré du nombre  relatif ( +16) : on trouve deux solutions possibles :

 =  ( + 4 ) ou ( - 4)

 

· Si   a ³ 0  et  b  > 0   alors

- Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée des produits

 ´  =    ( = )

 

Exemple :´  =   =      =  (  3 ´ 10 = 30)


 

· Si   a ³ 0  et  b  > 0   alors

La racine carrée d’un quotient est égale au quotient des racines carrées

 

Exemple 

 

· L’équation  x² = a

                                   - Si a < 0, elle n’a pas de solution.

                                   - Si a = 0, elle  a pour seul solution « 0 » .

                                   - Si a > 0,  elle a deux solutions   +    et  -.

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE

 

Que signifie: calculer le radical d’un nombre ?

La « racine » d’un nombre « X » est l’opération inverse de la puissance qui tend à trouver le nombre « x »de départ qui à permit de calculer  X .

 

Donner l’écriture utilisée sur les calculatrices  pour effectuer la recherche d’un radical d’un nombre.

 

   =   x =      ;telle que        et      

 

Quelles sont les possibilités d’obtenir la valeur numérique  de la racine n ième d’un nombre ?

 

Ecrire différemment  les expressions  suivantes :  (forme d'écriture : puissance )

 

 

 

 

 

Rappel  

                      xn

 

 

 

Ecriture avec le radical :

 

 

 

  =

 

 

 

() n  =

 

 

 

 

() n  =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

  =

 

 

 

   =

 

 

 

=

 

 

 

 

      =

 

 

 

 

 =

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

+  =

 

 

 

 

=

 

 

 

 

-=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rappel  

                      xn

Peut s'écrire =

 

 

Ecriture avec le radical :

Ecriture équivalente

Sans radical 

Développement ou simplification :

résultat

  =

x

 

 

() n  =

 

(x ) n

x   = x = x

x1   = x

() n  =

 

 ((x n ))n

((x  )) = x

= x n

 =

 

(x  y )

 x  y

 

  =

x  y

 

 

   =

 ()      

 

 

=

 

()

 

 

      =

 

 = = x

 

 

 =

 

 

 

= 

 

Aucune transformation possible

(x + y)  

 

+  =

 

Aucune transformation possible

x + y  =

 

 

=

 

Aucune transformation possible

(x - y)

 

-=

 

Aucune transformation possible

x - y

 

 

 

 

 

 

EVALUATION:

 

 

Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dix:

de 100  à 10 8

si elles existent ! pour  100  ;101 ; 102 ;  103 ;  104  ; 105 ; 106  ;10 7 ; 10 8;

 

Première série d ’exercices :

 

soit  un nombre « x » ; trouver la racine carrée du nombre :

 

x =0.25  ;  =

 

x = 7,29  ;  =

 

x = 33,64   ;  =

 

x = 81    ;  =

 

x = 291 600   ;  =

 

x = 2 744 000    ;  =

 

x = 1,5746108    ;  =

 

II  )Deuxième série d’exercices en relation avec la racine carrée  d’un produit:

 

=

 =

 =

 =

 =

 =

 

donc :  ==

 

III ) Troisième série d’exercices en relation avec  la racine d’un quotient:

Ces exercices utilisent des carrés parfaits

 

 =

 =

 

 =

 

Se ramener aux carrés parfaits; en se souvenant que tout nombre « à virgule » peut se mettre sous forme de fraction de dénominateur égal a ...........

 

=

  =

 

 

 

IV ) Quatrième série  d’exercices en relation avec la racine carrée d’une  addition ou d’une soustraction , et les transformations

 

  a)    =

 

   b )  =

 

    c ) =

    d  ) =

e ) =

f ) =

g ) =

h ) =

k ) =

 

 

V  ) Cinquième série d’exercices: Donner une valeur approchée d’une racine d’un nombre

 

1 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  dixième

 

 =

 =

 =

 

2 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  centième

 =

 =

 =

 

3 °) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du millième

 =

 =

 = =

 =

 =

 

 

 

 

I  )  remplacer dans les lettres par les nombres suivants et faire le calcul :

  avec  x= 16   et  y  = 9  (remarque : 16 et 9 sont des carrés parfaits; nous connaissons la racine carrée de 16 (4) et de 9 (3) , ces valeurs sont choisies pour faciliter la compréhension) 

 

 

 

 

() 2  =

 

() 2  = 16

 

 

() 2  =

 

() 2 =162 = 256

 

 

 

 =

 

==12

 

 

  =

=

                =  4 3

                =  12

 

 

   =

   »1,33333333

 

 

=

 

=»1,33333333

 

 

 

   =

 

=   =  0,25

 

 

 =

 

=   =0,25

 

 

= 

 

=   = 5

 

 

 

+  =

 

+  = 4+3  = 7

 

 

 

=

 

= = 2,6457513

 

 

 

=

 

== "Erreur"

 

 

Le calcul est impossible

On ne peut faire la racine carré d'un nombre négatif !

-=

 

-= 4 -3 = 1

 

 

 

-=

 

- = 3 - 4  =  -1

 

 

 

II ) Transformer  en vue de simplifier  les calculs :

 

 

 

 

  =

 =  =5 =

 

 

 

5

 :

 

  =    =  2

2

  = 

 

  =  =

2x

 = 

 

 =  

 

 =

 

= 5

 

   =

 =

 

+=

 

3 + 4 = 7

 

-

 

  =  3-4

 

() 2 

= 81

 

 

 

III) Résoudre :

 

 

:        7 =

 

7 2 = ()2

 

: 7 2 = 30+x

49 = 30+x

49 - 30  = x     ;  19 = x  ;  conclusion    « x »   vaut 19

 

50 =

50 2 = ()2

 

50 2 =1600+x2

2500 - 1600 = x2

 =

 = 30

30  = x

 

 

CALCULS:

 

A ) Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dixLmettre une croix dans la case correspondante

 

 

 

100

 

 

101

 

 

102

x

 

103

 

 

104

x

 

105

 

 

106

 

 

10 7

 

 

10 8

x

 

 

 

B ) soit  un nombre « x » ; trouver la racine carrée du nombre :

 

 =

 

 

x =0,25

 

0,5

x = 7,29

 

2,7

x = 33,64

 

5,8

x = 81

 

9

x = 291 600

 

540

x = 2 744 000

 

1656,502339

x = 1,5746108

 

39681,22982

 

 

 

C )Deuxième série d’exercices en relation avec la racine carrée  d’un produit:

 

 

 

  =

 

4 fois 5 =20

      =

 

 

=20

     =

 

 

=56

     =

 

=630

  =

 

 

=1600

             =

 

 

=600

 

 

 

 

D ) Troisième série d’exercices en relation avec avec la racine d’un quotient:

Ces exercices utilisent des carrés parfaits

 

 

 

 =

 

 

1,6

 =

 

1,5

 =

 

7

 

 

 

 

 

E ) Se ramener aux carrés parfaits; en se souvenant que tout nombre « à virgule » peut se mettre sous forme de fraction de dénominateur égal a ...........

=

 

9,3

  =

 

0,86

 

 

 

 

 

F  ) Quatrième série  d’exercices en relation avec la racine carrée d’une  addition ou d’une soustraction , et les transformations

 

 

 

=

 

 

6,32455532

=

 

 

37,74917218

=

 

 

5,385164807

=

 

9,219544457

=

 

 

44,82186966

=

 

 

8,136952747

=

 

 

65

=

 

 

57

=

 

 

55

 

 

 

G  ) Cinquième série d’exercices: Donner une valeur approchée d’une racine d’un nombre

 

1 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  dixième

 

 

 

 =

 

 

2,2

 =

 

 

4,1

 =

 

 

69,0

 

 

2 ° ) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du  centième

 

 

 

 =

 

4,80

 =

 

94,00

 =

 

9,15

 

 

3 °) Calculer les expressions  suivantes avec la précision du millième

 

 

 

 =

 

 

9,434

 =

 

9,7417

 =

 

9,149

 =

 

 

10,247

 =

 

 

4,376

 =

 

 

impossible =

 

 

 

 

H )   ENCADREMENT  D’UN RESULTAT  :

On donne   le résultat des exercices suivants :

                         =4,4647451

 =21,111276

 =4,3742992

 =4,717694

 =2,6754054

 = -3

   Donner le résultat sous la forme:            n <         < n +1

ou n est un entier naturel et X un nombre (entier ou décimal )

:            n

<

<

n +1

 

4

 

 

5

21

 

 

22

4

 

 

5

4

 

 

5

2

 

 

3

-4

 

 

-3

 

 

 

 

 

 

 

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