Pré requis:

1°) Lecture d’énoncé .

 

2°) Vers la liste des cours sur CALCUL NUM 

 

)Cours : valeur numérique d’une expression algébrique

 

4°) Algèbre 1 :Informations sur les conventions d’écritures

5°) Les transformations d’équations  : les théorèmes

Environnement du dossier :

Index 

)niveau V : le premier degré: exercices types et problèmes (intro .)

2°) Résoudre une équation du premier degré « simple ».

 

3°) Résoudre les équations du premiers degré : rationnelles et irrationnelles

Objectif suivant:

)degré (exercices résolus)

 2°) premier degré à deux inconnues

3°) Inéquations du premier degré.

. 4°) comment traiter un problème du premier degré.

 

Tableau        Présentation des cours et travaux du premier degré

)programme  Bac prof

 

DOSSIER  Résolution d'une Equation IRRATIONNELLE :

Cours n°1

Identification, Procédure à appliquer pour résoudre une équation irrationnelle ;…..

 

 

Cours n°1 ( suite) : CAS :  Définition ; …..RESOUDRE UNE EQUATION POSSEDANT UN SEUL RADICAL.

 

 

 

 

 

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité                         Problèmes du premier degré

 

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation  

 

 

 

 

 

COURS 1

 

1°)  Définition :  Une équation est dite « irrationnelle » quand l’inconnue se trouve sous le radical. .

 

Exemple :   3 x + 5  = 138

Supposons une équation                   A = B                  (1)

Elevons au carré  les deux membres  de cette équation , on a    :      = B²        (2)

Ces deux équations ne sont pas équivalentes .En effet , prenons la racine carrée des deux termes de l’équation (2)  , on aura   :      ±  A   =  ± B

On a donc les solutions suivantes :

 + A = + B                     (3)   ; qui répond à l’équation (1)

Puis on a aussi :          + A =  - B         (4)   qui ne correspond plus à l’équation (1)

On aurait encore :   - A = - B            qui correspond à la solution (3)

Et enfin   - A = + B             qui correspond à la solution  (4)

Pour s’assurer qu ‘ une des solutions trouvées est la bonne , on remplace l’inconnue par les valeurs trouvées, et on voit celle qui satisfait à l’équation proposée .    

 

Exemple : soit à résoudre :   3 x + 5  = 22

 

On s’arrange de manière à isoler l’expression «  5  » dans un membre de l’équation , et on élève au carré les deux membres  de l’équation.

On a :      

 

 

 

 

5  = 22  - 3 x

 

        ( 2)

 

 

 

25 x   = 484  + 9 x² - 132 x

 

 

 

 

 

9 x² - 157 x + 484  + 0

 

 

 

En appliquant la formule des résolutions des équations du second degré , on obtient :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nous devons vérifier si ces valeurs satisfont  à l’équation (2)

 

 

   Pour la valeur « 4 » , on a :

 5  = 22  - 3 fois   4

10  =  10

 

 

 

Pour la valeur «  » , on a :

 5  = 22  -

ou                                            =  -    

Conclusion :  

Cette deuxième valeur n’est donc pas admissible.

La seule valeur de « x » est « 4 » .

 

 

Procédure à appliquer pour résoudre une équation irrationnelle :

 

Pour résoudre une équation irrationnelle :

-         on isole  d’abord le radical dans un membre .

-         on élève ensuite les deux membres de l’équation au carré.

-         On résout ensuite .

-         On vérifie si les valeurs trouvées peuvent être admises.

 

 

 

 

 

 

COURS 1 (suite)


 

 

LES  EQUATIONS   IRRATIONNELLES  

 

Définition : une équation irrationnelle est une équation qui renferme un ou plusieurs radicaux portant sur des expressions contenant l’inconnue.

 

Dans le cas contraire, l’équation est dite « rationnelle ».

 

Nous allons voir que la résolution de certaines équations irrationnelles se ramène à celle d’équations du premier degré.

 

Exemple 1 : résoudre l’équation  (1)   

 

S’il existe une valeur de « x » pour laquelle les deux membres de cette équation sont égaux, pour cette valeur les carrés des deux membres sont aussi égaux.

 

Donc toute racine de l’équation (1) est racine de l’équation :   x² - 3 = ( x - 1)²

 

Cette équation s’écrit :            x  ² - 3   = x² - 2x +1

 

                                                             2 x = 4

                                                               x  =  2

  x = 2 est donc la seule solution possible de l’équation (1)

Pour voir si cette valeur est effectivement racine de l’équation (1), il suffit de vérifier.

Pour   x = 2 , on a :

 

 

                  x = 2 est donc bien racine de l’équation (1)

 

Exemple 2 : Résoudre l’équation    (1)     

 

 

S’il existe une valeur de « x » pour laquelle les deux membres de cette équation sont égaux, cette valeur satisfait aux équations suivantes :

 

                                                

                                               4 x² +9 = (2x -9 )²

                                          4 x² +9 = 4x² - 36 x + 81

                                             36 x = 72

                                                   x = 2

 

x = 2 est donc la seule solution possible de l’équation(1) . Vérifions :

 

Pour  x = 2 , on a :

 

 

 

  x = 2 n’est donc par racine de l’équation (1) et celle-ci n’admet aucune solution.

 

Exemple 3 : Résoudre l’équation : (1)

 

S’il existe une valeur de « x » pour laquelle les deux membres de cette équation sont égaux, cette valeur satisfait aux équations :

                                           x + 2     =  9 - 6  +5 +x

 

                  6  = 12

                          

                                           =  2

                                             5 + x =   4

                                                   x =   -1      

 

Donc l’équation (1) a une seule racine « possible » :  x = -1

 

Pour voir si cette valeur est effectivement racine de l’équation (1), vérifions.

Pour « x » = -1 , on a

 

 

    donc             x = -1 est bien racine de l’équation (1)

 

 

CONCLUSION :

 

Les exemples précédents nous montrent  que les racines d’une équation sont racines de l’équation obtenue en élevant ses deux membres au carré.

 

D’une façon générale, soit l’équation    (1)    A  =  B

Et l’équation (2)     = B ²  obtenue en élevant ses deux membres au carré.

 

Toute solution de l’équation (1) donne à A et à B la même valeur ; elle donne donc la même valeur à A² et à B² , c’est à dire que toute racine de l’équation (1) et racine de l’équation (2) .

Mais réciproquement, nous ne savons pas si toute racine de l’équation (2) est racine de l’équation (1).

 

L’équation (2) est appelée « résolvante » de l’équation (1). Si on sait la résoudre, ses racines seront les seules solutions possibles de l’équation (1) .Il faudra alors choisir celles de ces racines qui conviennent effectivement. Pour cela, il suffira de vérifier.

 

 

REMARQUE I : Dans l’exemple II , avant d’élever  au carré nous avons isoler le radical , c’est à dire mis ce radical seul dans un membre.

Si on avait en effet élevé au carré les deux membres de l’équation donnée il serait resté un radical et le but cherché n’aurait pas été atteint.

 

REMARQUE II :    Lorsqu’une équation irrationnelle renferme plusieurs radicaux, pour obtenir une résolvante rationnelle, il est en général nécessaire de faire plusieurs élévations au carré.(voir l’exemple III)

 

REMARQUE  III : L’équation obtenue en élevant les deux membres d’une équation au carré est plus générale que « l’équation primitive », c’est à dire qu’elle admet toutes les racines de cette équation mais « elle peut en admettre d’autres ».

 

Celles de ces racines qui ne conviennent pas à l’équation primitive sont dites « étrangères » ou « introduites par l’élévation au carré.

 

 

 

CAS :  RESOUDRE UNE EQUATION POSSEDANT UN SEUL RADICAL.

 

Si une équation irrationnelle ne renferme qu’un seul radical, après avoir isolé celui-ci , l’équation est mise sous la forme :

 

 (1)           

 

 

P et Q étant deux polynômes.

Nous avons vu que toutes racine de l’équation (1) est racine de l’équation 

 (2)            P = Q²

 

obtenue en élevant les deux membres au carré. Mais nous n’avons pas examiné si , réciproquement, toute racine de l’équation (2) et racine de l’équation (1).

 

  C’est pourquoi pour résoudre (1) nous avons dû « choisir » celles des racines (2) qui conviennent à (1) en vérifiant.

 

Nous allons voir s’il n’est pas possible de trouver un « critérium » qui nous dispense de faire cette vérification.

 

Soit « x » = a   (lire : alpha) une racine de l’équation (2). Pour  x =  a , P et  Q prennent des valeurs numériques   P’ et  Q’ telles que       P’ = Q’²

 

Le nombre   P’, égal à un carré, est donc positif. Il a donc deux racines carrées, l’une positive  l’autre négative    -

 

L’égalité précédente, nous prouve que Q’ est égal à l’une de ces racines carrés, donc :

   Si  Q’ "e  0   on a      = Q’

 

Et si     Q’ "d  0 on a    -  = Q’

 

 

 

Il revient au même de dire que :

Si              Q’ "e  0     a   est   racine de l’équation            = Q’

 

Et si            Q’ "d  0    a   est   racine de l’équation    -  = Q’

 

On voit donc que pour  que « a »  soit racine de l’équation (1) il faut et il suffit que pour  x =   a  , Q prenne une valeur positive ou nulle.

 

Remarquons qu’il est inutile de vérifier que pour   x = a  la quantité sous le radical  P

Prend une valeur positive ou nulle car cette condition est toujours réalisée d’après ce qu’il a été dit précédemment ( P ‘ = Q’² )

 

 

 

Exemple :

 Résoudre l’équation  (1)

 

Elevons les deux membres de l’équation au carré ; on obtient la résolution :

 

(2)        1 - 8 x       =   (x +1) ²

            1 - 8 x       =     +  2x  +1

            x² +  10 x  =     0

         x ( x +10)     =     0

 

Donc :     x = 0       et x = -10

 

Pour  qu’une racine convienne à l’équation proposée il faut et il suffit que pour cette valeur on ait :

 

     x + 1   "e  0    c’est à dire  x "e - 1 

 

Donc seule la racine  x= 0 convient.

 

 

Le raisonnement fait précédemment prouve que la « racine étrangère »  - 10

 Convient à l’équation    -

Obtenue en changeant le signe qui est devant le radical.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE :

- Donner la procédure à appliquer pour résoudre une équation irrationnelle du premier degré .

 

 

 

EVALUATION:

 

N° 1     résoudre :                                3 x + 5  = 22

 

N° 2 : résoudre l’équation                                  

 

N°3   Résoudre l’équation                     

 

 

N° 4       Résoudre l’équation :                

 

N° 5     Résoudre l’équation :

 

 

(les corrigés sont  dans le cours)

 

 

 

Série  2   :   résoudre les équations irrationnelles suivantes :

 

 

1°)

 

2°)

 

 

3°)

 

 

4°)