Niveau V

DOSSIER : REPERAGE        /  Objectif cours 36

 

Pré requis:

 

Calcul algébrique :

Boule verte

Les égalités (les  théorèmes)

Boule verte

Premier degré à 1 inconnue

Boule verte

 

Environnement du dossier :

Index  warmaths.

Objectif précédent :

Présentation : le premier degré à une inconnue  Sphère metallique

 

 

Voir : fiches de travail en 3ème collège.

 

Objectifs suivants:

 1°)  la fonction linéaire et   2°) la fonction affine.

Tableau       

Résolution d’équations

 

 

 

3°)Résolution de Systèmes d’équations3D Diamond

4°): représentation graphique d’une droite

5°) Equation d’une droite

6°) Résolution du trinôme du second degré

 DOSSIER : ALGEBRE:

 

-       Cours 1 –

Equation du premier degré à deux inconnues : dite « équation de droite » de la forme :

ax + b y = c

et recherche de couples de points vérifiant l'égalité vraie .

-       Cours 2 –

 Transformation de l’équation , pour la mettre sous la forme : telle que  y =……. ; en fonction de « x » ; [ notée : f(x) ]

 

 

TEST

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COURS

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Interdisciplinarité                         Filescrosoft Officeverte

 

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Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 


COURS

 

INFORMATIONS :

Il existe une égalité   avec "" dans le premier membre et un terme en "" dans le second membre ,cette égalité est appelée "équation de droite" ; elle est de la forme :

Où « » et  «  » sont des nombres

«  » est appelé « coefficient »

«  » n’a pas de nom particulier : parfois on dit « que le nombre «  »que le nombre «  »constante »

si «  » alors l’équation aura la forme   «  »

si «  » est égal à  , alors l’équation  aura la forme «   »

 

Exemples d’équations :

       

 

Les 2 formes d'équation d'une droite :

Exemples d'équations

Equation de la forme:

   «   »

 

   ;    ;    ;

 

 

Equation de la forme :

  «  »

 

 

 

 

On fait varier les valeurs de «  » et de «  » pour obtenir une infinité d’exemples d’équations ;*   «  » et «  »  peuvent être n’importe quel nombre .

Info plus ++++ : représentation graphique d’une droite

 

Recherche du couple de points solution de l'équation :

Une équation du premier à deux ou plusieurs inconnues  admet une « infinité » de solutions.

 

Activité  : soit l’équation 2x + 4 y = 24  ;

( par transformation on obtient l'équation : y = -x +  , ou   y = - 0,5 x + 6 ) .

  

   L'égalité est vraie  si la valeur de "x" et "y" vérifie l'égalité . Une des valeurs est fausse si l'égalité n'est pas vraie .

  Donc , pour trouver l'égalité vraie on fixe arbitrairement soit "x" ou soit "y"

 

     AINSI : on donne 2x + 4 y = 24  ,trouver un couple de nombres ( x ; y ) qui vérifie l'égalité vraie .

 

 Question : si "x" = 2 , quelle sera la valeur de "y" pour que l'égalité soit vraie ?

 

On fixe ( par exemple)  "x = 2"   et l'on remplace  "2" par "x" dans 2x + 4 y = 24   ;

Alors : 2x + 4 y = 24     devient  2 2 + 4y = 21   soit  4 + 4y  = 24   ,

 

il reste à  résoudre : 4 + 4y  = 24     ;      4y = 24 -4   ; 4y = 20  ; y=  ; y = 5

 

conclusion : 2x + 4 y = 24  est vraie pour  x = 2 et y = 5 .

 

Soit le couple de nombre est la solution ( 2;5)  de l'équation :  2x + 4 y = 24

 

commentaire :  De nombreux couples de nombres sont solutions  et peuvent être mis sous forme d'un tableau .

 

2x + 4 y = 24

x

2

0

5

10

20

30

y

5

6

7 / 2

1

-1

….

 

  Commentaire : ce tableau est identique à celui "construit" pour obtenir les coordonnées de points , dans la fonction affine . 

 

Complément :

On aurait pu  fixer par avance une valeur numérique   à " y" et en déduire par calcul la valeur de "x" :

Exemple en prenant l'égalité : 2x +4y  = 21 

si l’on donne à « y » la valeur arbitraire « 1 » ,

   il s’ensuit que 2x +4 = 21  ,

    ou 2x  = 17  , ou « x » = 17/2   (ou 8,5 )

 

si l’on donne à « y » la valeur arbitraire « 5 » ,

   il s’ensuit que 2x +20 = 21  ,

    ou 2x  = 1  , ou « x » = 1/2   (ou 0,5 )

 

De même si je donne une valeur à « x » je trouverai  une valeur de « y »

 

Dans tous les cas on  ne dira pas « résolution d'une équation du premier degré à deux inconnues » .

(par contre :  on cherche à résoudre un système de deux ou plusieurs équation du premier degré à deux inconnues )

 

 

 

2- Transformation d’équations de la forme « ay + bx + c = 0 » pour obtenir une équation de la forme : y = f(x)

 

Il est nécessaire de connaître les théorèmes sur les égalités pour effectuer ces transformations :

Exemples :

 

Soit l’égalité :

Par transformations successives devient l’équation de la forme :  « y =…»  exprimée en fonction de « x »  soit « f (x) = …»

On a pour habitude d’écrire que :   « y = f (x) »  pour dire que « y » est exprimé en fonction de « x ».

1°)

-12 y = -6x +6

y =  (-6/ -12) x +  ( 6 /-12)

 y = 0,5 x - 0,5           et  alors     f ( x) = 0,5 x - 0,5

2°)

4x +8 y = -40

 8 y = - 4x - 40

 y = (-4 /8 ) x - 40 /8

 y = -0,5 x - 5             et  alors     f ( x) = -0,5 x - 5               

3°)

 2x - 3y = 13,5

3y =  2x  - 13,5 

 y = 2x/ 3  - 4,5         et  alors     f ( x) = 2x/ 3  - 4,5         

4°)

-3x - 9y = 18

9y = -3x +18

y =  (-3/9) x + (18 /9)    et  alors     f ( x) =(-3/9) x + (18 /9)   

5°)

y = (2x) / 5

y = 0,4 x                       et  alors     f ( x) =      0,4 x                 

 

 

 

 

 

 

 

 

INFORMATIONS  liées aux calculs précédents :

 

           Les deux équations du premier degré à deux inconnues que nous sommes amenés à étudier  sont de la forme :

Première forme:

Deuxième forme :

     y = a x   

où « a » est un nombre et « x » la variable.

 y = a x + b

où « a » est un nombre et « x » la variable et « b » la constante.

Dite : équation de type "linéaire"

Dite : équation de type "affine "

 Voir « COURS »

Voir « COURS »

 

Les deux équations sont des modèles utilisés pour traiter des situations liées aux activités humaines .

 

A cela s’ajoute deux autres équations :

 y = k   ; quelque soit la valeur de  « x » 

Boule verte

 x = k ; quelque soit la valeur de  « y » 

Boule verte

 

 

A SAVOIR :  On ne résout  pas une équation du premier degré à  deux inconnues.

On doit  se ramener à une équation du premier degré à une inconnue , en fixant  une valeur à une des inconnues . (il faut donner (ou attribuer) une valeur numérique à « x » ou à « y »

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE:

 

Représentation graphique de l’équation d’une droite :

Exemples d’applications :

 

cou1

 

mu 2

 

mu6

 

pbexo1

 

mu 4

 

MU 5

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

 

CONTROLE :

 

1°)  Donner la forme  générale de l’équation d’une droite .

2°) donner la forme générale de l’équation de droite de la fonction linéaire.

3°) donner la forme générale de l’équation de droite de la fonction affine .

 

 

 

EVALUATION:

 

Série 1

 

On donne  l’équation     y = 3,5 x  ;     Dans  l’ exercice  on donne une valeur à « x »  calculer la valeur de « y »

si  x = 2

alors y =

si x =  -2

alors y = 

si x = 3/7

alors y =

si x = 5

alors y =

si x =  3/4

alors y =

 

Série 2

 

 

On donne  l’équation:  y = a x ; on donne « x » et  « y » calculer :  « a »

si x = 4

et  y = 6

alors     a  =

si x =-2,7

et  y = 3,2

alors      a =

 

Transformer l ’ égalité :          si   y = a x     ;   alors a =        

     (on dit :exprimer « a » en fonction de « y » et « x » ; ou autrement dit :  exprimer « a » avec « y » et « x »   ) 

 

Boule verte

Série 3  )   Calculer : trouver la valeur de « y » si l’on donne une valeur  à «a » ; « x » ; « b » 

(remplir le tableau suivant)

L’équation est   y = ax +b

Boule verte

 

Remplacer les lettres par les valeurs données et calculer

a =

x =

b  =

y = ax + b

Résultat  y =

3

+2

+2

 

 

- 3

+2

+2

 

 

0.5

-2

+2

 

 

-1.5

-2

+3

 

 

1 / 3

1

-0.5

 

 

- 2 / 3

3

1,5

 

 

Chapitre 2 :

 

Transformer les égalités suivantes

Les mettre sous la forme:  y = (f(x)

1°)

-12 y = -6x +6

 

2°)

4x +8 y = -40

 

3°)

 2x - 3y = 13,5

 

4°)

-3x - 9y = 18

 

5°)