Pour l’étude du chapitre « 2 »

 

 

  Rappel : Système d’équations  (définition)

 

1°)  Résoudre un système d'équation par substitution.

 

2°) Résoudre un système d'équation par combinaison .

 

Pré requis:

La fonction affine.

3D Diamond

1°) La fonction linéaire.

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index « warmaths »

Objectif précédent :

Pré requis :

 1°) Equations de droites : représentation graphique

)Position relative de deux droites.

 

3°) Fiches de travail de 3ème collège sur les droites et calculs

Objectif suivant:

1°) Equations d’une droite (résumé).

2°) Calcul de coordonnées

3°) Le nombre dérivé.

4°) Statistique : étude d’une série à deux variables

5°) Système d’équations du premier degré à deux inconnues.

 

6°) Ajustement linéaire et affine (statistique)

    Info générales :

 

  1. Liste des cours d’algèbre.
  2. Liste des cours de statistique

 

 

 

 

Objectif: Détermination de l’équation d’une droite de la forme « y = a x +b ».

 

 

1° ) Connaissant le coefficient directeur et passant par un point.

 

 

 

2 °) Passant par deux points.

 

 

 

3°) Ajustement linéaire : passant par un ensemble de points sensiblement alignés. (méthode qui intéresse les Statistiques)

Niveau vers +++++

 

 

4°) Equation générale d’une droite du plan.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ici corrigé  des travaux auto formatifs.

TEST

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COURS

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Interdisciplinarité

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Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 


TITRE de l’objectif:    Détermination de l’équation d’une droite de la forme « y = a x +b » .

 

 

COURS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1°)  Recherche de l'équation d'une droite dont on connaît le coefficient directeur et un point de la droite.

Procédure :

L’équation cherchée est de la forme «  y = a x + b ».

On connaît « a », il suffit de déterminer « b »

Si la droite passe par le point  A ( x1 ; y1) ; on a   y1 = a x1 + b

On en déduit la valeur de « b » :       b =   y1 - a x1

(le calcul terminé , il suffit de remplacer « b » dans l’équation de départ par  la valeur trouvée)  

 

 

Exemple résolu :

Déterminer l’équation de la droite de coefficient directeur « -0,5 » et passant par le point  A ( 4 ; -1)

 

L’équation est de la forme  y = a x + b ,

Puisque                                               « a » =  -0,5.

Soit                                      y =  - 0,5 x + b             (1)

Nous avons les coordonnées de   A  « x » = 4   ;     y = -1

On remplace dans l’équation (1) :

-1  = 0,5 fois 4 + b

  soit                                 -1   = -2 + b 

  d’où  après transformation :       « b » = 1

 

en conclusion :    l’équation cherchée est     y = - 0,5 x + 1

( à vérifier par la résolution graphique)

 

 

2°)  Recherche de l'équation d'une droite dont on connaît deux couples de nombres

 

Procédure :

On connaît deux points de la droite :

Soit   A ( x1 ; y1)  et B( x2 ; y2) les points donnés.

 

1°) On calcule « a » :     tel que    

2°) on se fixe (choisi) un point « A » ou « B » , on prend ses coordonnées et l’on termine par la procédure vue  précédemment.

 

Exemple résolu n°2

Déterminer l ’ équation de la droite passant par les points A ( -2 ;1) et B ( 3 ; 3)

 

1°) on calcule « a » : 

 

2°) L’équation est de la forme   y = a x + b

                                      y = 0,4 x + b

 

3°)  d’après l’ énoncé ,en « A »   pour  x = - 2   nous devons  avoir  y = 1

 

                                 1  =   0,4 fois (-2) + b

                                 1   = - 0,8  + b

                                 1 + 0,8 = b

                     d’ où   b = 1,8 

4°) L’équation cherchée est       y = 0,4 x + 1,8

Nota : on aurait pu prendre les coordonnées du  point « B », nous serions parvenu au même résultat. (à vérifier par le graphique)

 

Autre méthode :

 Exemple résolu n°3

INFO plus !!!!!!

 

Applications : déterminer l'équation de la droite définie par deux points  A ( 1 ; 2 ) et B ( 3 ;1 ) .

 

équa1

On sait que       l'équation est de la forme y =  a x + b  .

 

Ecrivons que     les coordonnées de A ;puis celles de B , vérifient cette équation .

 

Nous obtenons :

Pour A ( x = 1 et y = 2 ) ;  nous obtenons :       2 = a  1 + b    ;soit   (1)              a + b = 2

Pour B ( x = 3  et  y = 1 )  : nous obtenons :    1 = a  3 + b     ; soit ( 2)            3a + b = 1

 

Les relations ( 1) et  (2)  représentent  la même équation ; elles permettent de calculer "a" et "b"

 

Commentaire : Nous sommes en présence d’un système de deux équations que l’on décide de résoudre par la méthode de l’addition.( voir résoudre le système   de (1) et (2) )

 

soit le système  :         ;

pour  résoudre ce système on décide de  multiplier     «  a + b = 2 »   par - 1 , on peut  ainsi  remplacer dans le système  «  a + b = 2 »   par  « - a - b = - 2 »  

 

  nous avons le nouveau système  :

 

on additionne terme  à  terme dans les deux membres :

                         3a - a = 2a  ;  b - b = 0  ; 1 - 2 = -1 ;

Le résultat de l’addition des deux équations terme à terme  nous donne donc   2a +0 = -1 

 on en déduit que   « a »  =    ou   a = - 0,5

 

on en déduit  b =   = 2,5;

L équation de la droite AB  est donc :      ou     y = - 0,5 x + 2,5  

 

 

 

3°) Ajustement linéaire : passant par un ensemble de points sensiblement alignés. (méthode qui intéresse les séries Statistiques à deux variables)

Info+

 

Exemple  d’application : on chauffe l’eau contenu dans un bécher à l’aide d’un thermoplongeur. On note la température de l’eau toutes les minutes.

Durée t  en min.

1

2

3

4

5

6

7

q en °C

20,5

24,3

27,6

30,5

33,7

36,8

39,5

 

 

Sur un graphique, nous portons en abscisse les durées « t » et en ordonnée la température correspondante « q ».

faf5

 

Observation : nous constatons que les points sont « sensiblement » alignés : les températures semblent  varier en fonction de la durée de chauffage à prés comme une fonction affine. On décide alors « d’ajuster » une droite à cet ensemble de points. Pour cela, on utilise dans la pratique  « la méthode Mayer » .

(en statistique nous verrons « la méthode des moindres carrées ».)

 

 

Méthode de  Mayer ou « ajustement linéaire ».

 

¨ Nous créons deux groupes de points.  Les valeurs de « t » étant ordonnées, on partage l’ensemble de points en deux groupes  d’égales importance ( à une unité près). Nous obtenons :

 

Premier  groupe

( 1 ; 20,5)

(2 ; 24,3)

( 3 ; 27,6)

( 4 ; 30,5)

Deuxième groupe.

( 5 ; 33,7)

( 6 ; 36,8)

( 7 ; 39,5 )

 

( on aurait pu prendre trois points pour le premier groupe et quatre pour le second)

 

¨Pour chaque groupe, on calcule les coordonnées du point moyen  ;

Remarques :ces points sont aussi appelés : barycentres et la droite qui passe par ces deux points est appelée : droite de Mayer.

 

-   Coordonnée du point moyen du  premier groupe :

 

       ; 

 

-    Coordonnée du point moyen du  second groupe :

 

       ; 

 

¨ On trace la droite passant par les deux points moyens : ( 2,5 ; 25,725) et ( 6 ; 36,66)

 

¨Cherchons l’équation de cette droite :

 

Le coefficient directeur  est :  

 

 

D’ où la droite                 q  =  3,12 t + b

 

Si « t = 2,5 »   , alors   « q  =  25,725 » ; d’où    25 , 725  =  3,12  fois 2,5 +  b

 

Et    25,725 -  7,8       =  b     ; soit   « b =  17,925 »

 

L’équation cherchée est :  q  =  3,12 t + 17,925

 

Commentaires :

Par la méthode de calcul, la courbe d’ajustement est forcément une droite et non plus une ligne brisée -la droite de Mayeur. (de la forme y = ax+b)

Cette méthode , évidemment simple , à l’inconvénient d’être approximative, surtout quand le nombre des points  composant le nuage est élevé et que leurs valeurs  sont très disparates.

 

 

Info +++

4°) Equation générale d’une droite du plan.

Info ++++

Soit trois nombres réels « a » , « b » , « c » donnés.

 

Considérons la relation « a x + b y + C = 0 »

 

Dans laquelle « x » et « y » sont deux nombres représentant  respectivement l’abscisse et l’ordonnée d’un point « M »

 

1er cas : « a » = 0 et   « b »   0

 

 

On a :    by +  c = 0

Soit   :          

 

L’ensemble des points « M » tels que      est une droite parallèle à l’axe « O x ».

fgene3

 

2ème cas : « a » ≠ 0 et « b » = 0

 

 

On a :    a x  + c = 0  soit  

 

L’ensemble des points « M » tels que            est une droite parallèle à l’axe « O y ».

fgene2

 

3éme cas : « a » 0 et « b » 0

 

 

De  « a x + by + c = 0 »

 

On tire  by = - a x - c 

 

Soit     

 

On reconnaît l’équation d’une droite.

fgene1

 

 

D’une manière générale :

 

L’ensemble des points « M » dont les coordonnées vérifient la relation «  a x + b y + c = 0 » est une droite.

 

On démontre que , réciproquement, toute droite du plan a une équation du type :

                                                            a x  + b y + c = 0

 


 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

Travaux auto formatifs.

CONTROLE

 

1°) Donner la procédure qui permet de déterminer l'équation d'une droite dont on connaît le coefficient directeur et un point de la droite.

 

2°)  Donner une procédure  qui permet de déterminer l'équation d'une droite dont on connaît deux couples de nombres.

 

3°) Donner l’équation générale de la droite.

 

4°) dans l’équation générale de la droite :

 Quelle conclusion faut-il tirer  sur la représentation graphique ?

      a) « a » = 0 et   « b »   0

      b)   « a » ≠ 0 et « b » = 0

      c)    « a » 0 et « b » 0

 

 

 

EVALUATION

 

N°1 : Déterminer l’équation de la droite de coefficient directeur « -0,5 » et passant par le point  A ( 4 ; -1) ; à vérifier par le tracé.

 

N °2 :Déterminer l ’équation de la droite passant par les points A ( -2 ;1) et B ( 3 ; 3) ; à vérifier par le tracé.

N° 3 Déterminer l'équation de la droite définie par deux points  A ( 1 ; 2 ) et B ( 3 ;1 ) ; à vérifier par le tracé. .

N°4 : soit le tableau suivant :

Température « x » moyenne extérieure :  ( °C)

- 5

-3

0

5

10

Consommation « y » de fuel / 24 h  ( l )

38

36

32

25

18

Représenter le nuage des points  M ( x ; y )

Ajuster une droite . Donner son équation.

En déduire la consommation à prévoir si la température se maintient à - 10 °C pendant 5 jours.

 

 

 

 

 

SERIE2 :

 

1.     Dans un repère orthonormal, on considère les courbes  suivantes :

 

(C1 ) : y = -2x +1 ; (C2 ) : y = x² + 3 y² = 5 ; (C3 ) : y = 7x ; (C4 ) : y = x y + 3 x = 0 ; (C5 ) : y = 5 ; (C7) : y = 3x + 6 y - 10 = 0

 

Parmi ces courbes, quelles sont celles qui sont les représentantes d’une droite ?

 

 

2 . Dans un repère orthonormal , soit la droite (D) : y = 6 1,5 x + 2,5

 

 Dire si les points suivants appartiennent à la droite (D) :

                                    A ( 2 ; - 5) ; B ( 0,2,5 ) ; C ( -1 ; -1 ) et F (-6 ; 5 )

 

3 . Dans un repère orthonormal, on considère les droites :

 

D1 :   y = 2x + 5 ;  D2 :   y =  - 3 x + 8 ; D3 :   y = x - 7 ; D4 :   y =  - x + 1

 

Déterminer le coefficient directeur de chacune de ces droites

 

: .

 

4. Dans un repère orthonormal , soit la droite ( D) :  y = -0,5 x + 2

 a) déterminer les ordonnées des points A ; B ; C et D d’abscisses respectives : 1 ; 4 ; -7 et -2

 

b) Déterminer les abscisses des points E ; F ;G et H d’ordonnées respectives : 1 ; 4 ; -7 et -2

 

5 . Dans un repère orthonormal , tracer les droites :

 

(D 1 )  de coefficient directeur  « -1 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; 2 ) ;

(D 2 )  de coefficient directeur  « 0,5 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; -1 ) 

(D 3 )  de coefficient directeur  « -1,5  » et passant par le point de coordonnées ( 1 ; -3 ) 

(D 4 )  de coefficient directeur  « 2 » et passant par le point de coordonnées ( -1 ; 1 ) 

 

6. . Dans un repère orthonormal, tracer  les droites :

 

D1 :   y = 2x + 5 ;  D2 :   y =  - 3 x + 8 ; D3 :   y = x - 7 ;  D4 :   y =  - x + 1

 

7. Dans un repère orthonormal , déterminer une équation de la droite ( D) passant par le point A ( 0 ; 5 ) et  B ( -2 ; 3 )

 

8 . Dans un repère orthonormal , déterminer  une équation de la droite ( D) passant par le point A ( - 1 ; 4 ) et dont le coefficient directeur est  «  m = -4 ».

 

 

 

 

9. Déterminer une équation de chacune des droites ( D 1 ) ; ( D 2 ) et ( D 3 ) données dans le repère orthonormal ci contre.

 

10. Dans un repère orthonormal , soit la droite  ( D) dont une équation est y = 3x + 5 . Parmi les droites suivantes :

 

D1 :   y = 3x + 2 ;  D2 :   y =  3 x + 0,5  ; D3 :   y =-3 x + 0,5  ;  D4 :   y =  0,5 x + 4

 

Quelles sont celles qui sont celles qui sont parallèles à la droite ( D) ?

 

11. Dans un repère orthonormal, soit la droite ( D) dont une équation est « y = 3x +5 »

parmi les droites suivantes :

 

D 1 :     ;   D2  =   ; D 3 =  ; D 4  = y = 3 x + 4

 

Quelles sont celles qui sont perpendiculaires à la droite ( D) . ?