Pré requis:

Algèbre ( rappel)

 

Système d’équations (définition)

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

1°) les systèmes d’équations     

Objectif suivant :

Info 1 :   

Info 2 : résumé

Info  résoudre un système

 

DOSSIER : Résolution d’un SYSTEME de deux EQUATIONS du PREMIER DEGRE A DEUX INCONNUES par SUBSTITUTION.

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

:i

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

Exemples….

 

 

 

 

 

COURS

 

SYSTEME DE DEUX EQUATIONS A DEUX INCONNUES.

 

Première méthode :  Méthode de substitution.

 

Première étape :  Simplification  des équations

Etant donné un système d’équations du premier degré , on commence par simplifier chacune des équations  en opérant comme nous avons fait dans le cas d’une inconnue , c’est à dire en réunissant les termes inconnus dans les premiers membres et les termes connus dans les seconds.

 

Premier cas : le système à une solution possible

 

Soient par exemple les équations

On pourra écrire :

 

Deuxième étape : la substitution

 

Il s’agit de déterminer des valeurs de « x »  et de « y » qui vérifie ces deux équations.

Si l’on connaissait la valeur de « x » , la première équation donnerait la valeur de « y » par la formule :

   =

 

dans laquelle « x » aurait une valeur déterminée.

 

Cette valeur de « y » doit vérifier la seconde équation , dans  laquelle la lettre « x » a le même valeur , d’après la définition du système ; si l’on substitue cette valeur de « y » dans cette seconde équation , on obtient :

 

3x – 2() = 4

C’est une équation du premier degré à une seule inconnue « x » ; elle donnera  pour « x » une valeur numérique unique  et déterminée et , connaissant cette valeur de « x » , on obtiendra la valeur de « y » par la formule déjà écrite :

y =

 

 

 

 

 

Calcul de « x » :

3x – 2() = 4

3x – () = 4

3x –  = 4

3x   = 4 +

 =

à ce niveau on peut supprimer le dénominateur « 5 »

19 x = 22

x =

 

 

Et l’on a ensuite : y =

On remplace x par =    

 

y =   ; y = ; y = ; y = ;

y =

 

 

La solution du système proposé  est donc : x =  et y =

 

Voir solution graphique.

Procédure pour résoudre un système de eux équations à deux inconnues « x » et « y » par la méthode de substitution.

1°) on résout l’une des équations par rapport à l’une des inconnues , « y » par exemple, comme si l’autre inconnue « x » était connue.

2°)on substitue l’expression obtenue à « y » dans l’autre équation qui devient ainsi une équation à une inconnue que l’on sait résoudre

3 °)la valeur de « x »  ayant été obtenue par la résolution de cette équation , on obtient « y » en remplaçant « x » par cette valeur dans l’expression de « y ».

 

 

 

CAS D’IMPOSSIBILITE et CAS D’INDETERMINATION.    (ici : info plus)

 

 

Nous avons ramené la résolution d’un système à la résolution d’une équation du premier degré à une inconnue ; suivant que cette équation sera déterminée , impossible ou indéterminée ; le système lui-même sera déterminé , impossible ou indéterminé.

Nous avons déjà donné un exemple du cas déterminé , c’est à dire  du cas où la solution existe ,et est unique.

Ce qui suit sont des cas d’impossibilité et d’indétermination.

 

Cas d’ impossibilité

Résoudre le système :

la première  équation donne :

en remplaçant « y » par cette valeur dans la seconde  , on a :

6x + 9 () =  18

 (6-6)x = 18 -=

 0 x =

 

Le coefficient de « x » est égal à zéro et le terme indépendant de « x » n’est pas nul : l’équation est impossible ; le système proposé est donc impossible , c’est  à dire qu’il n’y a pas de valeurs de « x » et de « y » qui le vérifient.

Voir « solution graphique »

 

Cas  d’ indétermination

Résoudre le système :

 

on tire de la première équation :

y =   =

 

et la seconde équation devient :

6x +  9() =27

 

(6 – 6 ) x = 27 –27

 

0 x = 0

  L’équation se réduit à une identité : le coefficient de « x » et le terme constant sont tous deux nuls , « x » est indéterminé , c’est à dire qu’une valeur quelconque de « x » vérifie cette  équation. On pourra donc choisir « x » arbitrairement ; « y » sera alors donné par  la formule que nous avons obtenue : y =

           Par exemple , on pourra prendre x = 3 et l’on aura y = 1 ; ou bien x = -3 et l’on aura y = 5 etc.

 

L’indétermination est ici simple , on entend par là qu’une inconnue et une seule peut être prise arbitrairement , et que l’autre  est alors déterminé , sa valeur dépendant d’ailleurs généralement de la valeur  choisie pour la première .

On pourrait remarquer que l’indétermination provient ici de ce que , en réalité, les deux équations du système ne sont pas distinctes , mais identiques ; simplifiées , elles se réduisent toutes les deux à l’équation : 2x + 3y = 9

 

 

Voir « solution graphique »

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE :

 

1°) Donner la procédure permettant de  résoudre un système de eux équations à deux inconnues « x » et « y » par la méthode de substitution.

2°) Dans quel cas y  a-t-il impossibilité ?

3°) dans quel cas y a – t – il  indétermination ?

 

EVALUATION

 

Résoudre le système

 

 

Résoudre le système

Soit le système :

rechercher la solution par représentation graphique. !

 

 

Résoudre le système

 

Résoudre le système

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE