Problème 1 :

Un voyageur part à 8 h , sur une bicyclette à moteur , de la ville A pour la ville B ; sa vitesse est de 30 km / h. Une automobile quitte A pour B à 10 h , à la vitesse de 50 km / h .Trouver l’heure de la encontre et la position du point de rencontre. 

 

1°) Solution algébrique :

Nous prendrons pour unité de temps l’ heure et pour unité de longueur le kilomètre.

Soient « x » le temps mis par le cycliste pour aller de A au point de rencontre et « y » la distance de A au point de rencontre.

La distance parcourue par le cycliste est  y = 30x  et la distance parcourue par l’auto est :  y = 50 ( x – 2 )

 

Résolution du système :

 

On a   30  x  = 50 ( x –2 )

20 x = 100

x =  5

 

on en tire :    y = 305 = 150

 

Conclusion : l’auto rattrape donc le cycliste 5 h après le départ du cycliste , c’est à dire , à 13 h et à 150 km de A .

 

Solution graphique .

 

Prenons , comme ci dessus , pour origine des temps , 8 h du matin , et pour origine des distances le point A.

Les mouvements des deux mobiles se traduisent , d’après la formule des distances par les équations :

 

   ou :

 

 

Représentation graphique des deux fonctions :

 

 

 

Les deux droites se coupent en un point I dont l’abscisse                « x » = 5   indique le temps au bout duquel a lieu la rencontre , 5 h après l’origine , soit

8 + 5 = 13 h

l’ordonnée y = 150  du point I donne la distance  (en km ) du point A au point de rencontre.

pbexo1

 

Remarque . la droite représentant le mouvement d’un mobile peut être  construite sans  qu’il soit nécessaire  d’ écrire l’équation de cette droite. Ainsi pour représenter graphiquement le mouvement du cycliste , on peut placer le point O de coordonnées  ( 0 ; 0 ) (au temps  0 ,cycliste est au km 0) et le point de coordonnées ( 1 ; 30  ) au temps 1 , le cycliste est au km 30 ) il suffit de joindre OP.

 

Cette méthode est appliquée au problème suivant.


Problème 2  .

Deux villes M et N sont distantes de 15 km .Un piéton par de M à 16 h et marche dans la direction de N à la vitesse  de 6 km / h . Tous les 3 km , il se repose pendant 10 min .Un cycliste part de N à 16h 10 min et roule dans la direction de M à 15 km / h ; victime d’une crevaison à 16 h 30 min , il s’arrête 15 min pour réparer . Il termine le parcours à la vitesse  de 20 km / h . Etablir les graphiques des mouvements du piéton  et du cycliste . Déterminer l’heure  de la rencontre et la distance du point de rencontre à la ville M.

(Echelle des  temps : 1 cm pour 10 min ; échelle des distances : 1 cm pour 2 km .)

 

 

 

Solution graphique :

On prend pour origine des temps  16 h (instant 0 ) et pour origine des distances la ville  M

1°) graphique du  mouvement du piéton  16 h , le piéton est en M (point 0 du graphique , x = 0 , y = 0 ) . A 16h 30 min  le piéton a parcouru 3 km (point A du graphique , x = 30 , y = 3 ) . A 16 h 40 min , le piéton ,qui s’est arrêté pendant 10 min , est toujours à 3 km de M ( point B du graphique  , x= 40 , y = 3 )

les périodes de marche se traduisent sur le graphique par des segments également inclinés sur Ox et les arrêts par des segments parallèles à cet axe .

pbex2

 

 

 

 

 

 

Rappel :   « Solutions du système » ou « racines »

 Pré requis:

Info :  Système d’équations (définition)

3D Diamond

 

Compétences :Savoir transformer l’équation a x + by + c = 0  en une équation de la forme : y = ……

Savoir tracer une droite d’équation y = a x + b  dans un repère orthonormé.

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique Rappel :   « Solutions du système » ou « racines »

  1. Objectif suivant :Sphère metallique
  2. Info plus exercices sur la  résolution de systèmes.

Info

 

Exemples d’applications  des  SYSTEMES de deux EQUATIONS du PREMIER DEGRE A DEUX INCONNUES.

 

 

 

 

 

   applications :    Activités en Interdisciplinarité   Filescrosoft Officeverte

 

                                                                                                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rappel :   « Solutions du système » ou « racines »

 Pré requis:

Info :  Système d’équations (définition)

3D Diamond

 

Compétences :Savoir transformer l’équation a x + by + c = 0  en une équation de la forme : y = ……

Savoir tracer une droite d’équation y = a x + b  dans un repère orthonormé.

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

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  2. Info plus exercices sur la  résolution de systèmes.

Info

 

 

 

RESOLUTION : il y a  plusieurs  possibilités pour résoudre ce type de système .

Info plus « cours »  ! !

 

 

1.     Résolution graphique

Boule verteChaque équation du système peut avoir une représentation graphique .

Il suffit de tracer les deux droites  et de  rechercher les coordonnées du point d’intersection des deux droites.

  1.  

 

3.   Résolution algébrique par substitution

Boule verte

 

 

4.   Résolution algébrique par combinaison

Boule verte

 

 

5.    Le calcul matriciel .