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Les identités et équations

 

Les inégalités et inéquations (définitions) du premier degré

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index 

Objectif précédent   Sphère metallique

Objectif suivant :

1°) Les résolutions de système d’équations Sphère metallique

2°) les résolutions de système d’inéquations ..

1°) Voir le résumé   « basique »

 

2°) les inéquations

 

3°) Liste des cours sur les systèmes

DOSSIER (algèbre)  : « LES SYSTEMES »  définitions

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COURS

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Interdisciplinarité

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i9

Formulaire

:i

 

COURS

 

 

 

SYSTEME : lorsque plusieurs inconnues doivent satisfaire à la fois plusieurs équations , l’ensemble de ces équations forme ce que l’on appelle : un système d’équations simultanées.

 

 

Remarque : On ne peut parfois résoudre directement un système d’équations il faut donc transformer ce système en un autre système . on obtient donc un deuxième système .

 On dit que deux systèmes d’équations simultanées sont équivalents quand ils admettent les mêmes solutions.

Systèmes équivalents.

On dit  que deux systèmes  sont équivalents lorsqu’ils admettent les mêmes solutions , c’est à dire lorsque toute solution du premier est solution du second et que toute solution du second est solution du premier.

 

Remarque : la méthode suivi pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue  revient  au fond à remplacer cette équation par une équation équivalente plus simple ; de même pour résoudre un système d’équations du premier degré à plusieurs inconnues , on cherche à le remplacer par un système équivalent plus simple.

 

 

Résoudre un système d’équations simultanées

 

Résoudre un système d’équations simultanées , c’est trouver toutes les valeurs qui , mises à la place des inconnues dans toutes les équations du système , transformes ces équations en identités.

 

Remarque : Eliminer une lettre entre plusieurs équations , c’est former un nouveau système d’équations équivalent au premier et dans lequel toutes les équations , sauf une , ne contient plus cette lettre.

 

Les deux principes  démontés pour les équations à une inconnue , s’appliquent aux équations à plusieurs inconnues , de la même manière , il faut maintenant en établir un autre .

 

Rappels :

1°) Si aux deux membres d’une équation on ajoute une même quantité , on forme une équation équivalente  à la première. Dans le cas d’une résolution toute solution de la nouvelle équation est solution de l’équation de départ.

)Si on multiplie les deux membres d’une équation par une  équation par une quantité qui n’est pas nulle et qui ne contient pas l’inconnue , on forme une nouvelle équation équivalente à la première.

Voir SOS cours sur les égalités « théorèmes »

 

 

Représentation  mathématique d’un système :

 

On écrit les équations l’une en dessous de l’autre on les réunis par une accolade à gauche des équations.

 

exemple

Application :

 

Principe relatif à la transformation d’un système d’équations en un autre système équivalent.

 

Etant donné  un système d’équation simultanées du premier degré , si on prend dans l’une des équations la valeur de l’une des inconnues , de « x » , par exemple , en faisant les calculs comme si les autres étaient connues , et si on remplace « x » par cette expression  obtenue , dans toutes les autres équations , on forme un nouveau système équivalent au système proposé.

 

 

 

Exemple :

 

Prenons , par exemple un système de deux équations simultanées du premier degré.

I )    

de la première équation , on déduit, en considérant « y » comme un nombre connu.

 

7x = 4 + 2y  ou  x =

 

on remplace « x » par l’expression ainsi obtenue dans la deuxième équation et on a :

3( ) + 8 y   = 46

 

Le système des deux équations ( II ):

I I )        

 

Est équivalent au système  I

 

Commentaires :

 

1°) Toute solution du système I est solution du système II

 

Supposons  que deux nombres mis à la place de « x » , et l’autre à la place de « y » , dans l’équation première et deuxième du premier système , vérifie ces équations (ici les nombres sont x= 2 et y = 5 ) cela veut dire que le nombre "« x-2y est égal au nombre 4 , ou le nombre 7x est égal au nombre 2y +4 , ou enfin  x = ; donc l’équation première du second système est vérifiée.

Les nombres « x »x et « y » vérifie par hypothèse la deuxième équation du premier système ; mais dans cette équation le nombre « x » est identique au nombre  ; donc cette équation , dans laquelle on remplace x  par , doit être vérifiée , c’est précisément la deuxième équation du second système .

Donc les deux équations du deuxième système sont vérifiées.

 

2°) Toute solution du système II est solution d système I.

Supposons que deux nombres mis l’un à la place se « x » , l’autre à la place de « y » dans la première et la seconde équations du second système vérifient ces équations ; cela veut dire que le nombre « x » est identique au nombre  ou 7x est identique à 2y +4 , ou enfin 7x-2y est identique à 4  , donc la première équation du premier système est  vérifiée pour ces valeurs de « x » et de « y ».Le nombre « x » étant identique à  par le nombre « x » , dans la  deuxième équation du second système , qui , par hypothèse , est vérifiée pour les valeurs de « x » et de « y » ; on a alors l’équation 3x+8y = 46 , qui est vérifiée , mais c’est la deuxième équation du premier système ; donc les deux équations du  premier système sont vérifiées pour ces valeurs de »x » et de « y » et le principe est établi.

 

 

La démonstration  se ferait de la même  manière si on avait un système de plus de deux équations simultanées.

 

Solution du système ou « racines » :

On appelle « solution du système »  les nombres qui vérifient à la fois toutes les  équations du système.

 

Par exemple , le système :

admet la solution  x = 2 ; y =1

il suffit de vérifier ! ! ! !  que 2 + 1 = 3 ; et que   2 + 3 fois1 =5

 

 


 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

CONTROLE :

1°) Qu’est ce qu’un système  de deux équations simultanées.

2°) Montrer un modèle mathématique.

EVALUATION

 

A partir du système suivant , trouver un second système équivalent.

 

 

INTERDISCIPLINARITE