Pré requis:

Position de deux droites

Perpendicularité et orthogonalité

 

Le parallélisme

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent   :

-Représentation graphique d'une droite.

-Coefficient directeur d’une droite

 

Objectif suivant :

)Représentation graphique d’une fonction affine et linéaire.

)Résolution graphique d'un système d'équations du premier degré à deux inconnues ..

3°) recherche de l'équation d'une droite.

Info générale : domaines :

 

DOSSIER : Position de deux droites.

a) Comment reconnaître le parallélisme. ?

b) Comment reconnaître l’orthogonalité ?

c) Applications.

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 


 

 

COURS

 

 

Deux droites peuvent être : parallèles ou sécantes.

Deux droites parallèles peuvent être disjointes ou superposées (confondues).

Deux droites sécantes peuvent être perpendiculaires.

Les équations des deux droites concernées peuvent nous permettent de montrer par le calcul ou l'analyse des valeurs données "a"  et "b" quelle est la position géométrique de ces deux droites, l'une par rapport à l'autre..

I ) DROITES  PARALLELES

 

Propriété :

( voir : tracer de droites dans un repère)

Les deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur.

 

Activité 1 : pour reconnaître le parallélisme :

  Pré –requis : reconnaître deux droites sécantes ; parallèles ou confondues. E t Positions relatives de deux droites

 

Activité: Tracer les trois droites  (D1) ; (D2) ; (D3) ; suivantes données par leur équation de la forme : y = m x + p

 

(D1)

(D2)

(D3)

y = 2 x + 1

y = 3x - 4

y = 2x- 4

 

Compléter le tableau ( mettre une croix dans la case correspondante) ; quelles sont leur position relative (autrement dit : comment sont-elles l’une par rapport à l’autre ?)

 

 

Sécantes ?

Parallèles ?

Confondues ? (donc parallèles)

(D1) et  (D2)

 

 

 

(D1)  et  (D3)

 

 

 

(D2)  et  (D3)

 

 

 

Résumé :

 

Pour que deux droites soient parallèles il faut et il suffit qu'elles aient le même  coefficient directeur .

 

Deux droites y = ax + b  et  y = a'x +b' seront parallèles si elles sont parallèles à la même droite  y = ax . D'où  la condition  a = a'

 

Exemples :

 y = 3x + 2  et   y = 3x -5       , elles sont parallèles    « a = 3 »

 

  et    y = - x - 2 et  y = - x + 7 ; elles sont parallèles  « a = -1 »

 

II  ) Droites perpendiculaires

 

Deux droites perpendiculaires forment un angle droit .

A retenir :

 

Pour que deux droites soient perpendiculaires il faut et il suffit que leurs coefficients directeurs aient pour produit     -1. 

 

Exemple : Dans un repère orthonormée ,  tracer les deux droites suivantes :

 

D1 : « y1 = 3x + 5 »   et   D 2 : 

 

Avec un rapporteur, mesurer l’angle que font les deux droites.

(elles forment  un angle droit)

 

 

Les deux droites « y = a x + b » et « y = a ' x + b' » seront perpendiculaires s'il en est de même de leurs parallèles « y = a x » et « y = a' x »

 

Ces parallèles issues de O (voir figure ci - dessus) sont définies par les points  A ( 1 ; a ) et A' ( 1 ; a' ) .

 

La condition : ²    +   ² =   ²  est nécessaire et suffisante pour que le triangle O A A' soit rectangle en O (en supposant que l'unité de longueur est la même sur les deux axes.)

 

(pré requis : distance de deux points dans un repère)

 

 

Applications:

 

·        Déterminer l'équation de la parallèle et l'équation de la perpendiculaire menées du point A  ( 2 ; 1 ) à la droite  ( D ) d'équation y = 2x +1

 1°)  La parallèle D1 à D a une équation de la forme  y = 2x + b .

 

En écrivant qu'elle passe par  A ( 2 ; 1 ) , on obtient :  1 = 4 + b  , donc b = -3

 

L'équation de la droite D1  est donc :   y = 2 x - 3

 

2°) la perpendiculaire D2    à D a une équation de la forme  y = -x + b' .

 

En écrivant qu'elle passe par A , on obtient  1 =  -1 + b ' , donc  b' = 2 . D'où l'équation de la perpendiculaire D2    =  y  =  -  + 2

 

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS et  DEVOIR FORMATIF:

 

CONTROLE:

 

1°) On donne deux équations de droites , pour  quelle condition peut -on dire  que deux droites sont parallèles ?

2°) On donne deux équations de droites , pour  quelle condition peut -on dire  que deux droites sont perpendiculaires ?

 

 

EVALUATION:

 

Pré requis

1.      Dans un repère orthonormal, on considère les courbes  suivantes :

 

(C1 ) : y = -2x +1 ; (C2 ) : y = x² + 3 y² = 5 ; (C3 ) : y = 7x ; (C4 ) : y = x y + 3 x = 0 ; (C5 ) : y = 5 ; (C7) : y = 3x + 6 y - 10 = 0

 

Parmi ces courbes, quelles sont celles qui sont les représentantes d’une droite ?

 

 

2 . Dans un repère orthonormal , soit la droite (D) : y = 6 1,5 x + 2,5

 

 Dire si les points suivants appartiennent à la droite (D) :

                                   A ( 2 ; - 5) ; B ( 0,2,5 ) ; C ( -1 ; -1 ) et F (-6 ; 5 )

 

3 . Dans un repère orthonormal, on considère les droites :

 

D1 :   y = 2x + 5 ;  D2 :   y =  - 3 x + 8 ; D3 :   y = x - 7 ; D4 :   y =  - x + 1

 

Déterminer le coefficient directeur de chacune de ces droites

 

4 . Dans un repère orthonormal , tracer les droites :

 

(D 1 )  de coefficient directeur  « -1 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; 2 ) ;

(D 2 )  de coefficient directeur  « 0,5 » et passant par le point de coordonnées ( 0 ; -1 ) 

(D 3 )  de coefficient directeur  « -1,5  » et passant par le point de coordonnées ( 1 ; -3 ) 

(D 4 )  de coefficient directeur  « 2 » et passant par le point de coordonnées ( -1 ; 1 ) 

 

5 . Dans un repère orthonormal, tracer  les droites :

 

D1 :   y = 2x + 5 ;  D2 :   y =  - 3 x + 8 ; D3 :   y = x - 7 ;  D4 :   y =  - x + 1

 

Fin du pré requis.

 

1. Dans un repère orthonormal , soit la droite  ( D) dont une équation est y = 3x + 5 . Parmi les droites suivantes :

 

D1 :   y = 3x + 2 ;  D2 :   y =  3 x + 0,5  ; D3 :   y =-3 x + 0,5  ;  D4 :   y =  0,5 x + 4

 

Quelles sont celles qui sont celles qui sont parallèles à la droite ( D) ?

 

2.  Dans un repère orthonormal, soit la droite ( D) dont une équation est « y = 3x +5 »

parmi les droites suivantes :

D 1 :     ;   D2  =   ; D 3 =  ; D 4  = y = 3 x + 4

 

Quelles sont celles qui sont perpendiculaires à la droite ( D) . ?