Info pédagogique : cours niveau V

Ce cours est à maîtriser entièrement par les élèves Bac prof. :

1°) il faut savoir  tracer une droite à partir d’un point  donné et connaissant la  pente de cette droite.

2°) savoir  tracer  la droite  tangente  en un point d’une courbe  et connaissant sa dérivée en ce point.

Pré requis:

Droites et repérage

 

Les repère cartésiens

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :

Equation de droite .

2°) « Pente »

COURS

APRES :

1°)  Les droites croissante ; décroissante,..

)le parallélisme et la perpendicularité

3°) recherche de l'équation d'une droite .

Complément d’Info :

 

 

 

 

 

 

TITRE : LE  COEFFICIENT DIRECTEUR « m » d’une  DROITE d’équation « y = m x + p »

-          Activités : Tracés de droites

-          Le coefficient directeur et « tangente »

-          Tracer une droite connaissant un point et son coefficient directeur.

-          Calcul du coefficient directeur d’une droite.

-          Relation :entre « coefficient directeur » et « tangente » 

-           

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

COURS

 

Activités : Tracés de droites

 

Dans tout ce qui suit le plan est muni d’un repère  ( O, I, J) ou  ( O , ,  )

 

Première série de tracés :

On a tracé  les quatre droites  (D1) ; (D2) ; (D3) ; (D4) suivantes données par leur équation de la forme : y = m x + p

 

D1) ; y = 2 x + 3

 

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(D2) ; y = -3x +3

 

(D3) ; y =  x+3

 

 

(D4 ; y = x +3

 

-  Que  constate-t-on ?

   on constate que les droites  ont un point commun  ;

-  Quelles sont les coordonnées du point « commun » ?

les coordonnées du point A est ( 0 ;+3)


 

Deuxième  série de tracés :

On a  tracé  les trois droites  (D1) ; (D2) ; (D3) ; suivantes données par leur équation de la forme : y = mx + p

(D1)

(D2)

(D3)

 

y = 3 x + 2

y = x + 2

y = x+2

 

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Imaginons que ces droites représentent le profil d’une route  en montagne.

Classer dans l’ordre croissant  de celle qui monte le moins à celle qui monte le plus  :                       (D3  ; (D2) ; (D1

Que est la relation ( valeur ) dans l’équation qui lie l’inclinaison ; la  « pente » et le tracé :                        ; 1 ; 3

Comparer les valeurs numériques et ces inclinaisons de droites :  plus le nombre est grand plus la pente ( l’inclinaison) est grande .

 

On obtient deux classements identiques , le coefficient « m » de l’équation   y = mx + p renseigne sur la direction de la droite .

 

Définition du coefficient directeur :

 

Si une droite a pour équation  y = m x + p , le nombre « m » est appelé « coefficient directeur de la droite »

Remarque : le coefficient directeur peut être positif ou négatif.

 

 

 

 

troisième  série de tracés :On a tracé les trois droites  (D1) ; (D2) ; (D3) ; suivantes données par leur équation de la forme : y = m x + p

 

(D1)

(D2)

(D3)

 

 

 y = -3 x + 2

 

 y = - x + 2

 y = -x+2

 

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Imaginons que ces droites représentent le profil d’une route  en montagne.

Classer dans l’ordre de celle qui descend  le moins à celle qui monte le plus .

Que est la relation ( valeur  ) qui lie la « pente » et le tracé.

Remarque : le coefficient directeur peut être positif ou négatif.

Que l’on note :          m  >   0  et m   <    0

Cas    m  <   0

Cas    m  >   0

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En conclusion :

 

Le coefficient directeur indique comment varie l’ordonnée d’un point de la droite ( D) si l’abscisse augmente d’une unité .

 

Soit  ( D ) une droite de coefficient directeur « m » : si l’abscisse  « x »  augmente de « 1 » , alors « y » augmente de la valeur de « m ».

II)Tracer une droite dont on connaît un point (ses coordonnées) et le coefficient directeur de cette droite.

Procédure pour :

« Construire une droite  sans chercher son équation » :Dont on connaît le coefficient directeur et les coordonnées d’un point appartenant à la droite ( D )

 

Procédure :      Equation de la forme

    « y = m x +p »

Application :

On connaît « m » et A ( xA; y A)

Soit  m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

On place le point A

Placer A ;

 coordonnées  x A = -1 ; y A= +2

On place un point B dont les coordonnées sont

(xA + 1) ; (y A + m )

On place un point B dont les coordonnées sont :

( x A + 1) ; (y A + m )  soit

(-1 + 1) ; (2 + 3 ) ;

soit les coordonnées de  B ( 0 ; 5)

On trace  la droite ( D) qui passe par les deux points

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Remarque :  ( D) est une droite de coefficient directeur « m ».

 

Si l’abscisse augmente de « 1 » , l’ordonnée augmente de « m ».

Si l’abscisse augmente de « 3 » , l’ordonnée augmente de « 3m ».

Si l’abscisse augmente de « a » , l’ordonnée augmente de « am ».

 

 

 

 

 

II ) Relation :entre « coefficient directeur » et « tangente » 

Info plus : « tangente d’un angle aigu »

 

Activité :

Le repère ( O ; I ; J ) est orthonormal .

1°) Construire une droite d’équation : y = 2x –1

2°) si x= 0  alors y = -1  :

        la droite (D) coupe l’axe ( OJ) en « A » de coordonnées ( 0 ;-1).

 

3°) tracer la parallèle  à ( O I )  menée par « A »

4°) tracer la parallèle à (O J )  menée par I ( 1 ; 0 )

 

suite de questions :

5°) Trouver les coordonnées du point « B »

( la droite ( I B ) coupe  ( D ) en « C » )

6°) trouver les coordonnées du point « C »

 

7°)  Pourquoi le triangle  ABC est « rectangle » en B ?

8°) calculer AB ; puis BC ; puis   tan

 

Réponses :

 

1°) Les droites sont parallèles aux axes ; le repère est orthonormal ,cela signifie que  les  axes sont perpendiculaires   et que OI = OJ = 1 unité.

 

2°) Tan a  =   =  m

)on trouve : tan  = 2 ; qui est égal au « m » de l’équation y = 2x -1

 

d’où la propriété suivante :

                                                                           Si ( D) est une droite de coefficient directeur « m » positif et si l’angle a mesure l’angle aigu formé par ( D ) et l’axe des abscisses  alors : Tan a  = m

 

III)  Calcul du coefficient directeur d’une droite :

 

 

Problème :on veut calculer le coefficient angulaire de la droite (non parallèle à l’axe Oy) passant par deux points M0 et M1 .(on dit aussi : « droite définie par deux points »)

M0 à pour coordonnées ( x0 ; y0)   et M1 a pour coordonnées ( x1 ; y1) .

L’équation de la droite passant par M0 et M1 est de l a forme « y = mx +b »

Cette droite passe par M0 :

                         donc y0 = mx0 +b

Cette droite passe par M1 :

                         donc y1 = mx1 +b

 

pent3

Calcul : on obtient un système :

Attention !!!:   On calculera (2)  moins (1)   parce que l ‘abscisse  le plus éloigné du point « Origine » appartient à « M1 »   :

Aussi                       y1 - y 0  = mx1 +b -  ( mx0 +b)

 

                                y1 - y 0  = mx1 +b -   mx0 - b

                                y1 - y 0  = mx1 -   mx0

                                y1 - y 0  = m ( x1 - x0 )

 

puisque ( x1 - x0 ) ≠  0   on peut écrire que    

 

On obtient le théorème suivant : Le coefficient angulaire de la droite passant par deux points est égal au quotient de la différence des ordonnées des deux points par la différence correspondante de leurs abscisses.

 

Activité :

 

Exercice 1 : chercher le coefficient angulaire  de la droite AB définie par les points A ( x= - 2 ; y = +3) et B ( x = +  2 ; y = +1)

 

►cette équation est de la forme y = mx +b , Les inconnues du problème sont « m » et « b »

On obtient deux équations en « m »  et « b » en remplaçant « x » et « y » par les coordonnées de « A » , puis par les coordonnées de « B ».

On remarque que « x B  > x A »  on écrira que    m  =

Recherche de « m » :

Première méthode :

Pour A :     +3  =  -2 m  + b     ( 1)   ; pour    B :     +1 =   +2 m + b     (2) 

 

On pose (2) - (1)

              ( +1) - ( + 3 ) = ( 2 m + b )  - (- 2m + b )

              (+ 1) + (- 3)   =  2 m + b  + 2m - b

                     - 2    =   4 m

                        m   = ( - 2 / 4 )

                        m =  - 0,5

 

Deuxième méthode : on utilise le théorème ,on sait  que :  ; on adapte au point « A » et « B » ; on obtient : m  =

 

 

on remplace les lettres par les valeurs et l’on calcule :        

                          

 

 

par la suite on demandera de rechercher l’équation de la droite passant par « AB ».

pour cela on remplacera la valeur de « m » dans une des équations ( 1) ou ( 2) pour trouver par calcul la valeur de « b » .

exemple :

(1) :   +3  =  -2 m  + b    ; +3  =  -2 ( -0,5)  + b ;  + 3 = 1 + b ;  b = 3 - 1 ; b = 2  

 

(2)     +1 =   +2 m + b     ; +1 =  + 2 ( - 0,5) + b ;  +1 = -1 + b ; b = 1 + 1 ; b = 2

 

on  remarque que l’on trouve la même valeur pour « b » ( ce qui est normal).

 

Conclusion : l’équation de la droite passant  par « AB » est   y = - 0,5 x  + 2

 

Fin du cours :

Pour en savoir +++Info : voir « résumé »

 

 


 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

 

- Donner la procédure  permettant de tracer une droite à partir d’un coefficient directeur et un point appartenant à la droite .

 

EVALUATION:

 

Tracer une droite : dont on connaît   m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

 

 

 

 

 

 


 


 

corrigé CONTROLE:

 

Donner la procédure  permettant de tracer une droite à partir d’un coefficient directeur et un point appartenant à la droite .

Procédure :

Equation de la forme « y = m x +p »

On connaît « m » et A ( xA; y A)

On place le point A

On place un point B dont les coordonnées sont

(xA + 1) ; (y A + m )

On trace  la droite ( D) qui passe par les deux points

 

 

corrigé  EVALUATION:

 

Tracer une droite : dont on connaît   m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

Soit  m = 3 ; et  A ( -1 ; +2 )

Placer A ;

 coordonnées  x A= -1 ; y A=+2

On place un point B dont les coordonnées sont :

( xA + 1) ; (y A + m )  soit

(-1 + 1) ; (2 + 3 ) ;

soit les coordonnées de  B ( 0 ; 5)

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