Pré requis:

 

 

Détermination d’un point et les lieux géométriques

 

Quadrillage

 

Détermination d’un point

Graduation d'une axe

Droites sécantes

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

INDEX  « warmaths »

Objectif précédent :

1°) graduation et règle graduée ;…  

2°) les graphiques

 

Objectif suivant :

les repères ; exemples de repérages d’un point dans un plan .

 

Tableau       Sphère metallique2°) Liste des cours sur le repérage

 

 

 

 

DOSSIER: LES REPERES CARTESIENS

 

 

 

 

Cas Général .

 

 

 

 

 

Cas particulier : les droites sont perpendiculaires, (on dit « orthogonale » )

 

 

 

 

 

Caractéristiques    :   Les repères  cartésiens peuvent être : normé s, non normés , orthonormés , non orthonormés .Le repère orthogonal.

 

 

 

 

 

Première définition de "repère cartésien" .

 

 

 

Deuxième définition : « repère cartésien »  et « base » .

 

 

 

Norme des  vecteurs unitaires . 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cas Général :

 

Le repère « cartésien » est constitué par l’intersection de deux droites orientées et  graduées appelées « axe »

(« axe » : voir repérage sur une droite) ; mettre en relation « droite orientée et nombres classés par ordre croissant  de la gauche vers la droite »

Le  point d ‘intersection des deux « axes »est appelé  «O »  (origine ,et départ des graduations)

 

 

 

 

 

 

 

Cas général :

Cas particulier : les droites sont perpendiculaires, (on dit « orthogonales » )

 

 

repere_non_ortho

repere_ortho

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 repères cartésiens se distinguent  par la position des deux droites (perpendiculaires ou pas) et par la valeur des longueurs des graduations(identique ou différente) .

« Position des droites » :  le repère est dit :

 - « orthogonal »  (droites sécantes perpendiculairement ,  angle de 90°)

-  « non orthogonal »  ( les  droites sont sécantes « oblique »   ,angle ¹ 90°)

Ces droites  sont ensuite « graduées » pour former des « axes gradués »,

«longueur des segments unitaires de  graduation » : il est dit

- « normé » :   on dit « normé » si la longueur des deux segments unitaires  est de la même mesure sur les deux droites sécantes, on qui que le repère est « normé» ; si  d(O,I) = d (O,J) ; repère normé, (parfois on dit « ortho normal »)

 - « non  normé » :   On dit « non normé » si la longueur des deux segments unitaires n ‘ a pas la même mesure sur les deux droites sécantes ,on qui que le repère est «non  normé» ;  si  d(O,I) ¹d (O,J)  repère non normé.

 

 

 

Info   : « NORME d’un vecteur  ? »

 

 

 

 

Les différents repères

NORME

NON NORME

ORTHO (orthogonal)

repère Orthonor

L  fig. 3)

repere_ortho_norrme

 

repère ortho non normé

L  fig. 4)

repere_ortho_non_norrme

NON ORTHO

repère non ortho normé

L  fig. 1)

repere_non_ortho_norme

repère non ortho non normé

L  fig. 2)

repere_non_ortho_non_norme

 

 

 

 

 

Première définition de "repère cartésien" :

 

 

 

On appelle « repère cartésien » : du plan  , tout triplet :  ( O, I , J )

 

                    Avec       « O » est  un point ; appelé « point d’origine »

                  et :    [ OI ]  et   [ O J ]    sont les segments unitaires (norme), servant de « base » ,et de « référent  pour  graduer » les droites sécantes  (axes) .

  Valeur des segments unitaires : « 1 ;  unité de mesure »     (la valeur du segment unitaire est indépendante de sa longueur .(un segment unitaire vaut « 1 », il peut mesurer une longueur de 1,5 cm) 

Appartenance des segments unitaires :      

             

                le segment          [ OI ]      appartenant à la droite « horizontale »  ( droite des « x » )

                 le segment         [ O J ]      appartenant à la droite « oblique ou verticale  »  ( droite des «y » )

 

voir : ligne horizontale, verticale, oblique.

 


 

 

 

 

 

 

Deuxième définition : « repère cartésien »  et « base » :

 

 

 

(voir leçon : vecteurs  et ses coordonnées)

 

 

 

 

 

 

On appelle « repère cartésien » du plan  tout  triplet   ( O ,  ,  ) :

Où:

                   « O » est un point   ( d ‘ intersection des droites sécantes )

        et      (  ,  )  est appelé  « base »  ,(formé par le vecteur «       » et le vecteur  «     »)

 

                   Précision :  le point « I » étant l ‘ extrémité du  vecteur  «       »

                                  et le point  « J » étant l ‘ extrémité du  vecteur  «     »

Représentation graphique d'une base:

 

 

 

 

 

 

Représentation graphique d'une base:

d'une  non  base

 

 

Par définition : une base est un couple de vecteurs non colinéaires

 

(donc non portés par des droites parallèles.

 

Exemple : la base (  ,  ) 

 

Si les deux vecteurs sont  portés par des droites parallèles ils ne peuvent pas former une base dans le repère cartésien..

 

Dans ce cas on dit que ces vecteurs sont  colinéaires ,

 

ils ne peuvent former une base.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Les vecteurs formant une base servent à graduer les axes d'un  repère

 

 

 

 

 

Représentation graphique d'une base:

 

 

 

 

Dans un repère :  ortho ;  non- normé.

Dans un repère :  non -ortho ;  non- normé.

 

reper_base_onn

reper_base_nonn

Dans un repère :  ortho- normé.

Dans un repère :  non – ortho ; normé.

reper_base_on

reper_base_no_n

 

 

 

 

 

Norme des  vecteurs unitaires  : 

                    

   La norme des vecteurs unitaires   vaut « 1 » ; ce qui se note :     = 1    ;     = 1 

 

 

 

vecteur_base002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Exemple de construction d'un repère avec du papier millimétré

 

 

 

L’axe horizontal s’appelle :     Axe des abscisses :     

 

 

 

L’axe vertical  s’appelle :     Axe des ordonnées ( y , y’ )

 

repcadri

 

 

 

 

 

 

 

 


Représentation  graphique du : repère cartésien « orthonormé » Ldit aussi « orthogonal »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


    D ( O ; I  )  =    d  ( O ; J  )

 

 

 

 

 

les  4   repères   cartésiens sont   :    

 

 « orthogonal » ou « orthonormal »  et   « non  orthonormal».

 

 

 

Caractéristiques    :   Les repères  cartésiens peuvent être :

 

 

En résumé :

 

 

repère orthonormé :   un repère  orthonormé (orthonormal) est constitué de deux axes gradués perpendiculaires, la norme des vecteurs de la base , servant à graduer les axes ont la  même norme sur les deux axes.

On dit aussi :Les segments unitaires [OI]  [OJ ]servant à graduer les deux axes ont la même longueur)

 

 

 

 

 

 

repère ortho non normé :

ortho  : un repère  ortho non normé est constitué de deux axes gradués perpendiculaires  ,

non normé : les  graduations  n ' ont  pas la même norme sur les deux axes (les segments unitaires servant à graduer les deux axes  n ' ont pas  la même longueur)

 

 

 

repère non ortho normé : L  fig.2)

non ortho :  un repère  non ortho normé est constitué de deux axes gradués non perpendiculaires 

normé  : , les graduations  ont  la même norme sur les deux axes (les segments unitaires servant à graduer les deux axes ont la même longueur)

 

 

 

repère non ortho non normé : L  fig. 1)

Non ortho :      un repère  non ortho non normé est constitué de deux axes gradués non perpendiculaires  ,

Non normé :   les  graduations  n ' ont  pas la même norme sur les deux axes (les segments unitaires servant à graduer les deux axes  n ' ont pas  la même longueur)

 

 

 

 

 

 

 

Application: les cartes géographiques

 

 

 

r8

 

 

 

 

 

Exemples d'applications :

-         représentation  d'un nombre de personnes en fonction de l'âge.

 

-         Les abaques.

 

-         Toutes les représentations graphiques des applications des fonctions linéaires

 

 

 

 

:

Distance parcourue en fonction du temps.

 

mu1

 

 

 

 

 

 

Applications : pour le plaisir de faire des problèmes.

 

 

 

 

Application: pour le plaisir de faire des problèmes mathématiques.

 

 

re5

 

 

Exemples de repères cartésiens couramment utilisés:

 

 

 

N°1

 

 

grap1

 

 

 

 

 

Exemple N°2 : dans ce repère est tracé une courbe .

 

 

rep19

 

 

 

 

 



 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

 

CONTROLE :

Que signifie les mots :

« orthogonal » 

« non orthogonal » 

« non  normé » :

« normé » :

 

Traduire en langage littéral : 

 

( si  d(O,I) = d (O,J) ; repère normé  )

 

 ( si  d(O,I) ¹d (O,J)  repère non normé)

 

 

Donner une définition de « repère cartésien » :

 

 

Construire un repère cartésien  orthonormé : d(O,I) = d (O,J)   = « 1, 5 cm )

dans un cadre de    15  cm par  15 cm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION :   DEVOIR : Compléter les repères suivants (mots et graduation):(terminer la graduation!)

 

 

 

 

 

 

 

vecteur_base003

 

 

 

vecteur_base004

 

 

 

 

 

 

 

Repérage d’un point dans un repère cartésien.

 

 

Evaluation (suite ) :

 

 

Série 1 :

 

 

Donnez les coordonnées du point « A » .

 

 

 

 

 

 

A ( ….. ; ……)

reper_ortho_non_norme_coord_1pt

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

A ( ….. ; ……)

reper_ortonorme_1pt_coord

 

 

 

 

 

 

A ( ….. ; ……)

reper_non_ortho_non_norme_coord_1pt

 

 

 

 

 

 

A ( ….. ; ……)

reper_nonortononnorme_1pt_coord

 

 

 

 

 

 

Série 2 :

 

 

 

1°) Graduez   les repères cartésiens .

2°) Donnez les coordonnées du point « A »

 

 

 

 

 

 

 

A ( ….. ; ……)

reper_nonortononnorme_coord_1pt

 

 

 

 

 

 

A ( ….. ; ……)

repe_nonorho_norme_coord_1pt

 

 

 

 

 

 

A ( ….. ; ……)

reper_ortonorme_coord_1pt