Pré requis

1.           Bipoints équipollentsBoule verte

2.        Le parallélogramme

3.        « direction » et « sens »ne pas confondre …

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index   : warmaths 

Objectif précédent

  1°)  le bipoint équipollent et notion de vecteur .Sphère metallique

2°) la translation

Objectif suivant :

1°) Les composantes d’un vecteur

2°) les coordonnées d’un vecteur dans une base.

3°)  Somme de vecteurs ( addition vectorielle)

4° )  Calculs de  coordonnées

     Sphère metallique

2°) liste des objectifs sur le vecteur

 

Sciences : la statique graphique

LE VECTEUR

1°)   Définition 

2° ) NORME   d'un vecteur

3°)  CARACTERISTIQUES D ‘UN VECTEUR 

4°)   EGALITE DE DEUX VECTEURS 

 

TEST

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COURS

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Interdisciplinarité :SCIENCES 

La force.:

 

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COURS :

 

 

Rappel : un bipoint est un couple de points ordonnés

BIPOINT et VECTEUR :

 

Exercice :  Un bipoint (A , B)   étant donné ;

On appelle « vecteur »   l’ensemble de tous les bipoints (D, C) du plan  tels que  un bipoint  et le bipoint AB  forme soit un parallélogramme .

 

Graphiquement : un vecteur est représenté par un segment de droite « orienté » , c’est à dire « fléché »

En conclusion :  le vecteur  ci contre est le représentant de tous les bipoints équipollents : (D, C) ; (D’, C’) ; (D’’, C’’) ; (D’’’, C’’’)

 

 

Remarque : le bipoint (D1, C1)    n’est pas équipollent au bipoint (A , B)   , il n’est donc pas le représentant du vecteur AB.

vec11

Remarques :

 

1°) il y a une infinité de bipoints ( C,D) formant avec le bipoint  AB un parallélogramme (A,B,C,D)

 

2°) Si les points A ,B , C , D sont alignés , le parallélogramme ( A,B,C,D) est un parallélogramme aplati.

3°)  le vecteur  n’est pas égal  au vecteur  ; le vecteur  est le  vecteur  sont dit « opposés » : on écrit   = -

 

 

 

 

 

ACTIVITE :

 

Consignes :

 

Dans le plan « P » tracer :

- Le bipoint (C,D) équipollent à (A,B)

- Le bipoint (E,F) équipollent à (A,B).

- Combien peut - on tracer de bipoints équipollents à (A,B) dans le plan « P » ?

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Réponse :   Une infinité

 

Définition : On appelle « VECTEUR »  l’ensemble des bipoints, du plan , équipollents à un bipoint donné.

 

Remarques :

Un vecteur se représente par l’un de ses bipoints.

 

Et on  le note     de représentant  (A,B)

   On  le  note également :   = 

 

 

On peut aussi désigner un vecteur par une lettre minuscule empruntée à la fin de l' alphabet.:  ; ; ; etc.

 

vec9

Sur une figure géométrique ou sur un  schéma , on dessine une flèche pour représenter un vecteur.

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Par définition : on peut dire aussi que :

·       Un vecteur est un segment de droite orienté.

·       Le symbole    représente le vecteur AB . ( noté aussi )

 Ce vecteur est décrit par un point  mobile parcourant le segment AB dans le sens de A vers B .

166

- Le point A est l’origine du vecteur AB et le point B l’extrémité de ce vecteur .

-  La droite AB est appelé « support » du bi point représentant ce vecteur .

-  La longueur  AB est appelée « norme » du vecteur AB.

 

Vecteur nul : 

Un vecteur est nul lorsque sa norme  est nulle .    = 0    si  A et B sont confondus.

 

Si un point A et B sont confondus , le Bipoint  noté ( A ,B ) est « nul » , il représente le vecteur « nul » noté : .

 

Il  en est de même pour tous les vecteurs du type   =     

 

( pour en savoir plus : coordonnées du vecteur nul)

 

 

 

se souvenir que : (voir : mesure algébrique d ' un bipoint )

 

        1°)     ON appelle "mesure" l'évaluation d'une quantité en la comparant à une quantité déterminée.

   

        2°)       On appelle "longueur" la dimension d'un objet linéaire de l'une à l'autre de ses extrémités.

       (l'unité de longueur est le mètre)

 

         3°)     On appelle "distance" ,l'intervalle (ou les intervalles )qui existe entre deux points ,ou deux objets.

 

        (L'intervalle est généralement noté "u" associé à un segment de droite d'unité   "UN ")

 

 

 

 

2° ) NORME   d'un vecteur :

 

Une unité de distance étant choisie , la distance du point A au point B , ou du point B au point A  est appelée « NORME » du vecteur .

 

On sait que le vecteur noté :  à pour représentant   ( A ,B ) .(lire : bipoint A et B)

 

On notera:

 

 

lire :    « norme (ou module) du vecteur  « V »

lire :      « norme du vecteur (noté : ) »

 

Se souvenir que

 

 

d ( A,B)

lire :       « distance du bipoint A à B »

 

mes. [AB]

lire :       «  mesure du segment AB »

            On  peut écrire que        

 

II  II   = II  II  = d ( A,B)  = mes. [AB]

 

 

 

On peut conclure que :

d ( A,B) = 4  , donc II II = 4

 

Traduit en écriture littérale :

la distance entre les deux points Aet B est de 4 unités ou la norme du vecteur AB est de 4

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


            

 

NORME d’un vecteur :  A retenir :

Info +++

     La NORME d’un vecteur (noté II  II  )   est égale à  la distance entre deux points qui  est égale à la valeur absolue de la mesure algébrique du bipoint. (noté    )

 

                    Soit                  II  II = 

 

 Voir objectif repérage sur une droite.

 

La distance de 2 points étant un nombre « en valeur absolue » ou nul , la norme d’un vecteur est donc un nombre « sans signe » ou nul .

 

 

·       La  norme du vecteur  nul est égale à zéro . noté : II  II =  0

 

·       Pour un vecteur donné , les bipoints équipollents qui le représentent ,  ont des supports parallèles. L’ensemble de ces supports forment une direction.  (direction d’un vecteur)

 

 

 

 

Sens 2

 
 

 


·      

Sens 1

 
SENS

 

Pour une direction  donnée , on peut définir 2 sens .

 

 

 

3°)CARACTERISTIQUES D ‘UN VECTEUR 

Dans un plan  (P) , un vecteur   noté : est défini par :

n sa direction

n son sens

n sa norme

 

 

Autre façon de l’écrire :

 =   vecteur

 

+

 

+

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Quelques affirmations :

 

·       Si deux vecteurs sont représentés par le même bipoint , ils sont égaux.

·       Si deux vecteurs ont la même norme ils ne sont pas égaux (sauf cas : ils ont alors même direction et sens ).

 

La norme d’un vecteur « nul » est positive ou nulle.

                                                              

 

4°) EGALITE DE DEUX VECTEURS :

A savoir :   

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont 

-        même direction

-        même sens ,

-        même longueur

 

 

vec4

Cas 1 :   ils sont parallèles ; ils ont le même sens ; la même direction ; la même longueur :  ils égaux

 

vec5

Cas 2 :  ils sont parallèles ; ils ont le même sens ; la même direction ; la même longueur :  ils égaux

 ATTENTION ! ! ! ! ! !Les vecteurs du cas 1 ne sont pas égaux au cas 2 ; ils n’ont pas la même direction.

 

 

Comparaisons de vecteurs :

 

Les vecteurs sont égaux .

=

vec4

Les deux vecteurs n’ont pas le même sens                  ¹

vec7

Les deux vecteurs sont de longueur différentes :

  ¹ 

vec6

Les deux vecteurs n’ont pas la même direction .

¹

vec8

Conditions d’égalités :

 

 Soit deux vecteurs   et  :

 ( x , y )   et  ( x’ , y ‘ ) ; 

 

  =     si  x = x’   et y = y’

 

Ces formules  peuvent être utiles pour montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme .

Activité : Placer les points  A ( 1 ; 2 ) ;  B (  3 ; 3 ) ; C ( 4 ;0) ; D ( 2 ; - 1 )  dans un repère  ( O ;  ;  ) . Montrer que ABCD est un parallélogramme .

 

Vec1

1re méthode :   SOS : calculs

 

 

               ( 2 ; 1  ) ;     ( 2 ; 1 )

 

          donc    =  Conclusion :  ( A , B , C , D ) ayant deux côtés opposés parallèles et égaux est un parallélogramme.

 

 

 

2e méthode :

·       « M » milieu de  ( A , C ) ; M (, 1 )

 

·       « N » milieu  de  ( B , D ) ; N (, 1 )

 

                                                          Les diagonales se coupent en leur milieu.        C.Q.F.D.

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE:  

 

 

VOCABULAIRE: (prendre le dictionnaire éventuellement)

 

1°)°)qu'est ce qu'une mesure?

 

2°) Qu'est ce qu'une longueur?

 

3°)Qu'est ce qu'une distance ?

 

 

4°) Dans un bipoint ,si les deux points sont confondus ,il représente le vecteur ..........   .

  

 

 

   Il est noté : ............

 

 

5°) Comment appelle-t-on la distance comprise entre l'origine et l'extrémité  du bipoint ?

 

 

6°)Quelles sont les caractéristiques d'un vecteur ?

 

)Traduire      

 

8°)Traduire en langage littéral :

   a) 

  b)       "Si          est le représentant du (A,B), on peut écrire que :

                                =      =  d(A,B )  = mes. [AB]"

 

 

EVALUATION :

1°) Comparer les groupes de deux vecteurs : sont-ils égaux ? pourquoi ?

 

 

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2°) Placer les points  A ( 1 ; 2 ) ;  B (  3 ; 3 ) ; C ( 4 ;0) ; D ( 2 ; - 1 )  dans un repère  ( O ;  ;  ) . Montrer que ABCD est un parallélogramme .

Suivant deux méthodes :  « les vecteurs égaux » ou « les milieux des diagonales »

 

 

1re méthode :   SOS : calculs

 

 

( 2 ; 1  ) ;   ( 2 ; 1 )

 

donc    =   

 Conclusion :  ( A , B , C , D ) ayant deux côtés opposés parallèles et égaux est un parallélogramme.

 

2e méthode :

M milieu de  ( A , C ) ; M (, 1 )

 

N milieu  de  ( B , D ) ; N (, 1 )

 

Les diagonales se coupent en leur milieu.

C.Q.F.D.

 

 

Soit un vecteur donnez sa norme :