ré requis:

La translation

 

Inégalité triangulaire

Soustraction de deux nombres relatifs

Composantes d'un vecteur

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent :

IMPORTANT : si vous avez des problèmes , il faut reprendre à ce niveau :    voir la définition d’un BIPOINT     suivi du «  bipoint équipollent »

2°) Les coordonnées d’un vecteur

Objectif suivant :

Distance d’un bipoint

   Info générales :

1°) Le repérage.

2°) Vecteur : présentation des objectifs.

Objectif suivant

Somme de vecteurs "colinéaires"

Addition géométrique de plusieurs vecteurs (2012-2013).

Module : LES  VECTEURS

DOSSIER  LA  SOMME DE DEUX VECTEURS  "non colinéaires"

1°) Somme graphique

2°) Somme par le calcul

3°) Propriétés

4°)Somme de 3 vecteurs 

5°)Opposé d’un vecteur

 

 

Quel que soit le vecteur    ( du plan « P » ) , on a : (  +) = (   +)  = ;     on dit  que  le vecteur  nul  est   « élément neutre ».

 

TEST

           

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                       

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation  

 

                                                       COURS

 

1°)LA SOMME  GRAPHIQUE de  deux  VECTEURS :

 

 

Construction du vecteur somme :+

Le vecteur AD  « vecteur somme »

Est obtenu avec

  + =

Tel que  le quadrilatère

( A,B,C,D) soit un parallélogramme.

 

Dans le cas précédent on aurait pu écrire que : =    +  

Cas particulier :

 On peut écrire que    + =

Ce genre d’égalité est connue sous le nom de « relation de Châles ».

Cette relation  permet de résoudre  des exercices du type :

Ecrire plus simplement  - +

 - +=

 + +=

 ++ =             ( +=)

    +  = 

 

 

 

Remarque : Sciences , en statique , le vecteur somme est appelé « résultante » des forces.

Ainsi  est la résultante des forces +

 

 

 

 

 

Activités : 

Tracer le bipoint noté ( A,B) représentant de   puis le bipoint (B,C) représentant de     .

Tracer le bipoint noté (A’,B’) représentant de  ., puis le bipoint ( B’,C’) représentant de  .

 

 

A

 

A’

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Que peut - on dire des bipoints  (A,C)  et (A’,C’ ) ?  r réponse : ces bipoints sont des représentants du vecteur  ,noté :    .somme des vecteurs     et  .

 

La somme       de deux  vecteurs     et .   Ayant pour  représentants respectifs les bipoints ( A , B )   et   ( D , C )   ; ce vecteur « somme » a pour représentant le bipoint ( A , C )

 

Nous pouvons écrire sous forme mathématique :

 

 

Traduction :

                             =   +    appliqué  aux vecteurs   =   +

 


CAS GENERAL :     (vecteurs  non colinéaires  ou colinéaires)

Représentation graphique  du vecteur « somme » ; nommé :

 


 
 

              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 Procédure :

-  fixer (sur le plan feuille ) la position du premier point  (A’)origine du premier bipoint.

 

 -  tracer le vecteur AB ; (( A’,B’ )bipoint équipollent AB) , on peut dire «  faire glisser par translation le vecteur AB en A’ » 

 

-    translater  le vecteur DC , (L’extrémité du premier vecteur  coïncide avec l ‘origine du deuxième vecteur)

 

-    Joindre  l’origine du premier vecteur avec l  extrémité du second vecteur ;

 


                 le vecteur « somme »               noté           à pour origine  l’origine du premier vecteur et pour extrémité , l’extrémité du second vecteur.

 

 

Remarque :   le vecteur   ne dépend pas du point « A »   choisi pour origine :

 

Somme de deux vecteurs

Et la translation   @ ( INFO Plus)

 

 

 

 

CAS PARTICULIER: somme de deux vecteurs perpendiculairesL,             Vx   et    Vy

 

 

V   ,   Vx   et    Vy          forment un triangle   « rectangle » @  si le repère est orthonormé

 

C

 
 

 

 


                                         

                                                                    V

                                                                                                                          V y

 

B

 

A

 

Vx

 
 

 

 

 

 


 

 

       

                                                                   V          =        Vx   +     Vy

 

 

D' après la relation de CHASLES  nous pouvons écrire que

B'

 
 

 


C'

 
   A’C’  =      A’B’  +    B’C’ ;

 

 


A'

 
(A’,C’ ) est aussi un représentant de

 

 

La construction de la somme est toujours possible.

 

En général , la norme  du vecteur somme est différente de la somme des normes des deux vecteurs :

ce qui se traduit en écriture mathématique :

 

 

 

 

Voir  dans les exercices  suivants  , le cas particulier où  :   = 


 

2°)  CALCUL Somme de vecteurs 

        

soit deux vecteurs  (x , y)  et  (x’ , y’) alors  + : ( x + x’ , y + y’  )

 

Exemple :  (2 ; -1 )  et  (- 3 ; 4)

 alors  + : ( (+2) + (-3) ;  (-1) + ( +4)  ) ;

                              + : ( - 1 ; +-3) 

 

 

 

 

 

Cas particuliers : les vecteurs colinéaires  

 

 

 ( INFO PLUS : sur la somme  graphique de vecteurs colinéaires ;cliquer ici )

        

«  colinéaires »   Les vecteurs « colinéaires » ont la même direction  ( pas forcément le même sens , la même norme .)

 


exemples

 

 

 

 

 

soit  un vecteur  ;    les autres vecteurs représentent :  k (leur norme sont différentes, peut-être même leur sens ; (« k »est un nombre qui  varie .)

le  vecteur «  »     n’est pas colinéaire aux autres vecteurs.

 

Dit autrement : Des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui ont des supports parallèles, (ou superposés)  indépendamment du sens et de la norme de ces vecteurs .

 

VECTEURS EQUIPOLLENTS

INFO plus +++

Deux vecteurs sont équipollents si il ont la même norme , le même sens , et dont les supports sont parallèles (ils donc aussi « colinéaires »)

Ils forment un parallélogramme:

 

 

 

3°) Propriétés de la somme de vecteurs

 

a) LA COMMUTATIVITE

 

 

 

 
                                 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Tracer le point (A,B)  représentant de    puis   le bipoint (B,C) représentant de    

Tracer le bipoint  (A,D) représentant de    puis le bipoint (D,E) représentant de

 

Que peut - on dire de s points C et E ?

Que peut - on dire des bipoints  ( A,C) et ( A,E) ?

 

La somme de deux vecteurs est indépendante de l’ordre dans lequel on effectue cette somme :

 

                     +      =     +       ( cette propriété s’appelle la commutativité)

 

 

b) ASSOCIATIVITE :

quels que soient les vecteurs  ;   ;

( +   ) +   =   + (    + )

 

c) Elément neutre  

 Quel que soit le vecteur    ( du plan « P » ) , on a : (  +) = (   +)  =

on dit  que  le vecteur  nul  est   « élément neutre ».

Pour tout vecteur    , il existe un vecteur    unique tel que   + =

 = -

 

 

 

4°)Somme de 3 vecteurs :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Tracer   le bipoint (A,B) représentant de   , le bipoint (B

 

 

 

 

C) représentant de , la somme  (+) est représentée par le bipoint (A,C).

 
 


 
Tracer le bipoint  (C,D) représentant  de          . quel est le représentant de la somme 

(+) +             ?

 

Que peut - on dire des points D et G ?

Que peut - on dire des bipoints ( A,D) et   ( A , G ) ?

 

 

 

Si     ,   ,   sont 3 vecteurs  (du plan  « P » ) ,on a : (  +) +  =  +(   + )

(cette propriété  s’appelle : l ’  ASSOCIATIVITE   )


 

5°)L’OPPOSE du vecteur  ( cliquer ici : information plus sur l’opposé d’un vecteur)

 

A

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 


Activité : tracer le bipoint  ( A, B) représentant de     puis le bipoint (B,C) représentant de 

      .  La somme     +  ’ est représentée par le bipoint  ( A , C ) .

 

Que peut - on dire des points  A et C ?.........................................du bipoint  ( A ,C )...............

 

 

 

Quelque soit  le vecteur     du plan « P »  ,il existe un vecteur    ’ du plan « P » tel que 

                      +  ’ =     +      =    

 

 

Travaux auto formatifs

 

CONTROLE :

 

 

1°) Traduire en langage littéral : =   +

 

2°) Traduire en langage littéral :

 

 (faire les exercices page : ............)

 

3°) Il est un cas         =

  Donner sa représentation graphique ; citer les deux conditions  nécessaires.

 

4° ) Donner la procédure  permettant de tracer la somme  de deux vecteurs (dispersés dans un plan )

 

5°) Quels sont les caractéristiques  du vecteur somme   ( noté :   ). ?

 

6°) Quels sont les trois principales propriétés  de la somme de deux vecteurs (ou trois vecteurs) ?

(donner pour chaque le modèle mathématique )

 

7 ° ) Quelles sont les caractéristiques  du « vecteur opposé » à un vecteur donné ? (donner un exemple graphique)

8°) Quand dit - on que deux  ( ou plusieurs)  vecteurs sont colinéaires ?

 

 


EVALUATION :

 

 

tracer      =     +  

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Exercice 3 :

 

 

 

 

 

 

 



 

 

 

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