DEFINITIONS 

        1°)     ON appelle "mesure" l'évaluation d'une quantité en la comparant à une quantité déterminée. : On compte le nombre de graduations à partir d’une graduation prise pour unité « 1 »

      2°)       On appelle "longueur" la dimension d'un objet linéaire de l'une à l'autre de ses extrémités. ( 24 mm  est égale à 24 graduation de 1mm de longueur , dans le système  métrique :  soit   24 mm =   24 1 mm )

       (l'unité principale de longueur est le mètre)

      3°)   On appelle "distance" ,l'intervalle (ou les intervalles )qui existe entre deux points ,ou deux objets.

        (L'intervalle est généralement noté "u" associé à un segment de droite d'unité   "UN ") ; c’est le nombre de graduation qui compté entre deux points ;  indépendamment du sens de lecture )

A quoi ça sert ?

  La MESURE ALGEBRIQUE d ’ un bipoint. (sur un axe gradué) est utilisée en physique  pour  connaître le sens et la  norme d ' un vecteur :  Sur une ligne ; dans un plan ; dans l ' espace .

 la mesure algébrique d ‘ un bipoint   est un nombre relatif , l’analyse du nombre permet de connaître la norme  (pour la  valeur  absolue) et le sens ( pour le signe + ou - ) d’un vecteur  sur un axe ; ou de sa  composante  sur l ’ axe « x’ x » ou « y’ y »  .

    Le nombre relatif  n ‘ a  pas d’unité de mesure .

La distance entre deux points   s’obtient par le calcul ; c’est la valeur absolue du nombre relatif  calculée ci - dessus .    Elle se détermine aussi graphiquement , il suffit de compter le nombre de graduations qui sépare les deux points.  (la distance est un nombre décimal qui n ’ a pas  d’unité de longueur.

La longueur  entre deux points   se mesure avec une règle graduée.

Elle se calcule aussi , à condition de connaître le nombre de graduations qui sépare les deux points et la longueur « réelle en cm ,m, ....)d’une graduation.

Rappel : « bipoint »  un bipoint est un couple de points ordonnés

On dit  « bipoint A et B »    , on note (A,B)

Soit une droite :

O

I

A

B

*  Tout couple de points A et B (noté  (A,B))   ou B et A (noté (B,A))  d’ un axe  est appelé « bipoint » de cet axe .   On dit aussi « couple de points ordonnés ».

* L ‘ ordre des points est important :

·     Le  bipoint  (A,B)  a comme origine  le point « A »  et le point « B » pour extrémité .

·     Le bipoint (B,A) a comme origine le point « B »  et pour extrémité le point « A ».

Remarques :

 Le  bipoint  (O,A)  a comme origine  le point « O »  et le point « A » pour extrémité

Le  bipoint  (A,O)  a comme origine  le point « A »  et le point « O » pour extrémité

Il en est de même pour (O,B)  et (B ,O)

Définition de la « mesure algébrique d ‘ un bipoint »  et notation .

Soit une droite graduée , un  point « O » d ‘ abscisse « 0 »  , un point « I »  d ‘abscisse « 1 » , un point « A » d ‘abscisse « x_A »  et un point « B » d ‘«  abscisse « x_B »

*Le bipoint (O,I) est appelé « bipoint unité » d’unité « 1 »

Considérons le bipoint :  (A,B).

     le calcul   x_A - x_B =     est appelé  « mesure algébrique du bipoint A et B »  noté       

La « mesure algébrique »  d ‘un bipoint ( d ’ origine O et d ’extrémité E ) est égale  à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité ( x_E  )  moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint (x_O).

Ce qui se traduit :                                    x_E  - x_O =

L' écriture symbolique pour désigner que l’on veut obtenir la mesure algébrique d’un bipoint d’origine O et d’extrémité E  est :   soit  deux lettres majuscules "ordonnées" surmontées d'un trait horizontal

Exemple :  

A et B étant deux points d'une droite graduée ( x ' x ) ,

est l'abscisse du point B lorsque l'origine de  la graduation est placée en A  .(voir axe ci dessous )

Ainsi  si on écrit :  = + 5

On lira  : la mesure algébrique de ( A , B ) est égale à + 5 .

Le point A est appelé  l' origine .

Le point B est appelé l' extrémité.

Ainsi : sur la figure     = 5    ;  5 graduations avec un déplacement vers la droite (sens +)  et    =  -7    ; 7 graduations , en se déplaçant de A vers C , ( sens - ) .

Application N°1:

Enoncé :

          calculer    ( lire :...mesure algébrique...)avec A (+3)  et B (+5)

Réponses :

A  )   Solution graphique :

   Analyse :  il y a deux graduations entre A et B , le sens va  de A vers B  sens conventionnel «  plus » : on écrira  =  ( + 2 )

B   )   Solution par le calcul :

Procédure :

1 ° )  On pose l'égalité :                             x_E  - x_O =

on remplace :  par  ; on repère l’origine et l’extrémité du bipoint

2°)   on transforme l'égalité et on l'adapte en fonction des caractéristiques du bipoint

                         on obtient :       x_B  - x_A =

on peut écrire  l’ égalité de cette façon :      = x_B  - x_A

3° ) on remplace par les valeurs numériques données :

                           = (+5)  - (+3)

4°)  Calcul :  (voir :  soustraction de deux nombres relatifs )

                 (+5)  - (+3)  =  (+5)  ₊  (-3)

                 (+5)  - (+3)  =  (  +  (5 - 3 ) )

                  (+5)  - (+3)  =  ( + 2 )

5°) rendre compte : =  ( + 2 )

Application N°2:

Enoncé :

          calculer     ( lire :...mesure algébrique...)avec A (+3)  et B (+5)

Réponses :

Analyse :  il y a deux graduations entre A et B , le sens va  de A vers B  sens conventionnel «  plus »

Donc le sens de B vers A est le sens « moins » , on écrira que  =  -2

B   )   Solution par le calcul :

Procédure :

1 ° )  On pose l'égalité :                             x_E  - x_O =

on remplace :  par  ; on repère l’origine et l’extrémité du bipoint

2°)   on transforme l'égalité et on l'adapte en fonction des caractéristiques du bipoint

                         on obtient :       x_A  - x_B = 

on peut écrire  l’ égalité de cette façon :  = x_A  - x_B

3° ) on remplace par les valeurs numériques données :

                             = (+3)  - (+5)

4°)  Calcul :  (voir : @  soustraction de deux nombres relatifs )

                 (+3)  - (+5) =  (+3)  + (-5)

                                         =  (  -  (5 - 3 ) )

                  (+3)  - (+5)  =  ( - 2 )

5°) rendre compte :  =  ( -2 )

COMMENTAIRE : on remarque si  =  ( + 2 )    alors     =  ( -2 )

Travaux auto-formatifs .

CONTROLE

Qu'appelle t on  "mesure"

Qu'appelle t on  "longueur "

Qu'appelle t on  "distance"

Pour quoi est utilisée la  mesure algébrique ?

Compléter les  phrases suivantes :

la mesure algébrique d ‘ un bipoint   est ……………… ,

La distance entre deux points   …………………………………

La longueur  entre deux points   …………………………………..

On dit que la mesure algébrique est une valeur relative : quelle est le rôle des  éléments qui composent cette valeur relative ?

Traduire en langage  littéral :   x_E  - x_O =

Traduire en langage mathématique :

La mesure algébrique  d ‘un bipoint ( d ’ origine B et d ’extrémité A ) est égale  à la différence de l ’ abscisse de l’extrémité A   moins l ‘ abscisse de l ’ origine du bipoint B.

Donnez la procédure pour calculer la mesure algébrique d' un bipoint :

EVALUATION

Exercice n° 1:

Enoncé : Calculer     ( lire :...mesure algébrique...)avec A (+3)  et B (+5)

Donner les deux solutions :graphiques  et par le calcul.

Deuxième exercice:

Enoncé : Calculer       ( lire :...mesure algébrique...)avec A (+3)  et B (-5)

Donner les deux solutions :graphiques  et par le calcul.