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Info ++ :

Liste des cours en calcul numérique

 

Liste des cours sur les nombres relatifs.

DOSSIER :  NOTIONS sur :  LES NOMBRES    « POSITIFS » ET « NEGATIFS »

Ces nombres sont aussi appelés : « nombres algébriques. »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TEST

 

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

1°)Interdisciplinarité    

 

 

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

Liste des devoirs

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS

 

Origine et signification des nombres « positifs » et « négatifs » :

 

Il arrive fréquemment que l’on considère des grandeurs susceptibles d’être comptées dans deux sens opposés : par exemple :

    Le temps peut être compté dans le présent ou dans l’avenir

   Une longueur sur une droite peut être portée dans un sens  ou dans  l’autre à partir de l’un de ses points ;

   Les sommes qu’inscrit un commerçant sur son livre de caisse peuvent être des « recettes » ou des « dépenses » ;  etc.

 Dans ces divers cas , il est commode , au lieu d’employer un langage plus ou moins long pour indiquer quel est le sens de la grandeur qui correspond à un nombre donné , de convenir d’une « notation abrégée » ; telle est l’origine des nombres négatifs et positifs.

 

Exemples :

Au lieu d’inscrire « 50 € de recettes » , nous pourrons écrire

+ 50 €

Au lieu d’inscrire « 35 € de dépenses » , nous pouvons écrire

- 35 €

Au lieu d’écrire  que le thermomètre marque 3° au dessus de zéro , nous dirons qu’il marque

+ 3°

Au lieu d’écrire  que le thermomètre marque 7 ° au dessous de zéro , nous dirons qu’il marque

- 7°

Et ainsi de suite ……..

 

 

 

Mais cet avantage est loin d’ être le seul que présente l’introduction de ces nombres ; de plus , ce que nous venons de dire ne suffit pas à faire comprendre  pourquoi on emploie , pour les distinguer , les signes  +  et  - de l’addition et de la soustraction, plutôt que d’autres signes quelconques.

 

Nous le comprendrons mieux en résolvant le problème suivant :

 

                Problème : Un habitant de Lyon voyage fréquemment sur la ligne  Paris- Lyon – Marseille. Chaque jour il note la distance à laquelle il se trouve de Lyon . Il marque aujourd’hui 70 km . Sachant que la distance de Paris à Lyon est de  500 km , à quelle distance de  Paris  se trouve aujourd’hui ce voyageur ?

 

Commentaire :

On ne peut pas répondre à cette question , car les données sont insuffisantes.

 

Le voyageur peut être à 70 km de  Lyon entre  Lyon et Paris , ou bien  à 70 km  au delà de Lyon , entre  Lyon et Marseille .  Il est donc nécessaire de connaître dans quel sens  le voyageur  s’est déplacé sur la ligne (direction) à partir de Lyon .

Pour désigner ces deux sens , on convient de désigner l’un d’eux sous le nom de « sens positif » , soit par exemple de  Lyon vers  Marseille  , l’autre inverse , sous le nom de « sens négatif ».

Si le voyageur s’est éloigné de Lyon de 70 Km dans le sens positif , on conviendra de dire que sa distance  à Lyon est de +70 ( que l’on énoncera : plus 70 kilomètres ) . S’il s ‘est éloigné de 70 Km dans le sens négatif , on conviendra de dire que sa distance à Lyon est de – 70 Km    ( que l’on énoncera : moins  70 kilomètres )

 + 70 et – 70 sont des nombres , l’un « positif » et l’autre « négatif » .Cette notation est très avantageuse  comme « langage abrégé ».

Il est , en effet, plus court de dire ou d’écrire :le voyageur est à + 70 km de  Lyon , que de dire que le voyageur est à 80 km de Lyon dans la direction de Lyon vers Marseille .

 

Les autres avantages de cette écriture :

 

Calculons la distance qui sépare notre voyageur de Paris .

 

 

Si le voyageur est à  + 70 km de Lyon , c’est à dire à 70 km dans la direction de Marseille sa distance de Paris est évidemment :

               500 km + 70 km = 570 km

 

on pourrait écrire :   500 km + (+ 70 km)  =  570 km

 

Si ,au contraire, sa distance de Lyon est  de   70 km , c’est à dire s’il s’est éloigné de 70 km dans la direction de Paris , sa distance de Paris n’est plus que : 500 km70 km = 430 km  

 

 on pourrait écrire :   500 km + (- 70 km)  =   430 km

 

On voit que , dans les deux cas , la distance du voyageur à Paris s’obtient en écrivant à la suite de la distance de Paris à Lyon 500 km , la distance dont le voyageur  s’est éloigné de Lyon , avec son signe  , et en effectuant l’opération indiquée par ce signe « + » ou « - »  . si l’on dit que sa distance de Lyon est –70 km , cela revient à dire que sa distance de Paris est moins grande de 70 km que la distance qui sépare Lyon de Paris . La notation abrégée se trouve ainsi parfaitement justifiée.

 

Second exemple :

 

Un commerçant avait en caisse au début de la journée 1500 . Il vient de recevoir 270 , puis il a payé une première note de 50 et une deuxième note de  120 . Quel est son avoir en caisse ?

 

Nous convenons d’appeler « positives » les sommes versées en caisse et « négatives » les sommes déboursées .Les trois opérations indiquées s’inscriront :

+ 270 – 50 – 120    ou encore la somme des trois opérations se noterons : (+ 270 € ) + ( – 50 € ) + ( – 120 € )

 

On voit aisément que l’avoir en caisse s’obtient en calculant comme suit :

 1200 + 270 = 1470

 1470 – 50  =  1420

 1420 – 120 = 1 300

l’avoir en caisse est de  1 300 .

 

Il a suffi d’écrire les nombres à la suite dans l’ordre où ils se présentent et d’effectuer successivement les opérations indiquées par leurs signes .

 

 

 

 

Règles de calcul sur les nombres positifs et négatifs

 

 

Nous allons reprendre d’une manière plus précise la définition des nombres positifs ou négatifs et montrer en même temps comment on peut en déduire les règles des opérations à effectuer sur ces nombres .(dans l’ordre on abordera : l’addition et la soustraction  , ensuite la multiplication et la division.

 

Nous utiliserons les « segments »de droites pour apporter d’autres précisions :

 

Nous considérons d’abord le cas où les nombres positifs et négatifs servent à mesurer des longueurs comptées dans des sens opposés.

 

Pour avoir une image aussi simple que possible, nous utiliserons comme figure géométrique une droite  indéfinie sur laquelle nous aurons choisi un sens de parcours que nous appellerons « sens positif » et que nous indiquerons par une flèche ; une telle droite s’appelle un « axe orienté » ou , plus brièvement , un axe .  Le sens opposé au sens positif est le « sens négatif ».

 

On peut se figurer un promeneur qui marcherait sur l’axe , allant tantôt en avant , tantôt à reculons , mais  en regardant toujours « vers la direction positive » .

A

 

B

 
 

 

 

 

 


Pour aller de A vers B , le voyageur marcherait en avant , et pour aller    de B vers A , il irait à reculons.

Si ce promeneur fait des pas égaux , il peut mesurer les distances en comptant le nombre de ses pas .

 

Nous considérerons comme « positifs » les pas faits en avant , et comme « négatifs » les pas faits à reculons ; de telle sorte que s’il lui faut 40 pas pour parcourir la distance AB , on dira que de A vers B il y a + 40 pas et que de B vers A il y a – 40 pas .

 

On donne le nom de « segment » à une portion d’un axe lorsqu’on porte son attention sur le sens dans lequel elle parcourue.

 

Ainsi lorsque le voyageur va de A vers B , nous dirons qu’il parcourt le segment AB ( on notera le parcours de A vers B : ) (info plus : algèbre) ; lorsqu’il va de B vers A , nous dirons qu’il parcourt le segment BA  ( on notera le parcours de B vers A : )

 

Ainsi  n’est pas la même chose que    . (on les appelle en algèbre : « mesure algébrique » )

Ce n’est pas la même chose d’aller de Paris à Lyon ou de Lyon à Paris. Dans les deux cas on parcourt la même distance désignée indifféremment par la notation AB ou BA , mais on ne marche pas dans le même sens.

 

 

 

 

 

 

Equivalents algébriques des segments.

 

Pour exprimer que notre promeneur fait + 40 pas pour parcourir le segment  

, nous écrirons :    =  + 40  ,    ou  = 40

 

on écrirait au contraire :   = - 40 

 

puisqu’il faut faire – 40 pas pour parcourir le segment    , c’est à dire faire 40 pas à reculons pour aller de B vers A.

 

Les nombres 40 et –40 s’appellent  les « équivalents algébriques » des segments   et  , l’unité choisie  étant le pas du promeneur.

 

Commentaire : bien entendu , on pourrait choisir toute autre unité ; la seule chose essentielle , c’est de bien préciser quelle unité on choisit et de ne pas en changer dans le cours d’une même question .

 

L’ équivalent algébrique d’un segment ne dépend pas seulement de l’unité de longueur choisie, il dépend aussi du sens choisi comme positif sur l’axe .

 

Si la figure restant par ailleurs la même , on changerait la direction de la flèche , c’est   qui aurait pour équivalent – 40  et   qui aurait + 40 .

Il en est de la direction positive comme de l’unité de longueur , on peut la choisir arbitrairement au début d’une question , mais il est essentiel qu’elle soit bien précisée et qu’elle ne change pas dans le courant de la question .

 

 

        Valeur absolue :

 

 

            La longueur 40 est dite la « valeur absolue » des nombres + 40 et – 40 ;c’est la longueur commune des segments AB et BA ; ou , si l’on veut , la distance géométrique de AB ou  BA  .

    D’une manière générale , on appelle valeur absolue d’un nombre positif ou négatif le nombre que l’on obtient en supprimant le signe .

La valeur absolue d’un nombre positif est égale à ce nombre.

 

 

 

 

Egalité :

 

Deux segments situés sur un même axe sont dits égaux lorsqu’ils ont même équivalent algébrique ; il doivent  avoir même longueur et même sens .

 

 

 

A

 

B

 

C

 

D

 
 

 

 

 

 


    Les segments AB et CD sont égaux . Mais le segment AB n’est pas égal au segment DC , ce segment DC est égal au segment BA.

 

    Les segments  AB et BA sont dit opposés , on dira aussi que les segments DC et AB sont opposés , puisque le segment DC est égal à BA .

 

Les équivalents algébriques de deux segments opposés sont deux nombres tels que  + 40  et – 40   égaux en valeur absolue et de signes contraires (on dit parfois plus brièvement mais incorrectement , égaux et de signes contraires ), nous dirons aussi que ces nombres sont opposés.

 


 

SOMME de deux nombres .

Info +++

 

 

 

 

 

 

 


Supposons que notre promeneur fasse  7 pas en avant , et ensuite  3 pas en reculons ; il parcourt d’abord , un segment de   = +7 , et ensuite un segment   = - 3   

           Il est clair qu’il serait arrivé au même point C en faisant simplement 5 pas en avant , c’est à dire en parcourant le segment de  = + 4

Ainsi parcourir  successivement les segments de mesure  et  revient à parcourir le segment   . Nous exprimerons ce fait en disant que le segment    est la somme des mesures algébriques  des segments   et    et nous  écrirons 

  =   +

On voit là quelle différence sépare la notion de segment (mesure algébrique) de la notion de longueur ; la longueur AB est de  7 pas , la longueur BC de 3 pas : leur somme est donc est  10 pas.

Et ,de fait, le promeneur qui parcourt successivement ces deux longueurs fait bien 10 pas en tout et non pas 4 . Seulement , comme il en fait 3 à reculons , le point où  il arrive est le même que s’il avait fait seulement  4 pas en avant. 

 

Lorsque l’on considère les segments au lieu des longueurs , on ne se préoccupe que de ce point final , on ne s’inquiète pas  de la fatigue du promeneur qui aurait pu faire 503 pas en avant et 500  à reculons ; on désire seulement  savoir en quel point il arrive.

 

 

 

 

 

 

 


 La mesure algébrique du segment AC , à savoir + 4 est dite la « somme » des valeurs algébriques des segments AB et BC , c’est à dire de 7 et de – 3 ; nous pouvons écrire :    7 +( - 3 ) = 4

 

 

 

On vérifierait :

 

 

 

 

 

 

 


Que :  7 + 3  = 10

  ( ainsi :    7 pas en avant plus 3 pas en avant équivalent à 10 pas en avant )

 

 

De même que :

 

 

 

 

 

 

 


-7 + 3 = - 4

( ainsi :    7 pas en arrière et  3 pas en avant équivalent à 4 pas en arrière )

 

de même enfin :

 

 

 

 

 

 

 


 que    - 7 –3   =  - 10

 

( ainsi : 7 pas en arrière et  3 pas en reculons  équivalent à 10 pas en reculons )

 

 

Nous venons de voir un cas particulier , de ce  cas nous pouvons obtenir la règle d’addition de deux nombres .

 

 

 

 

Règle d’addition :

Pour en savoir +++

 

Pour obtenir la somme de deux nombres de même signe  , on ajoute leurs valeurs absolues et l’on affecte la somme du signe commun.

 

Pour obtenir la somme de deux nombres de signes contraires , on retranche la plus petite valeur absolue de la plus grande et on affecte à la différence le signe de la plus grande .

 

Exemples :

 3 + (-4) = -1

125 + ( - 210 ) = - 85

-3250 + ( - 3 ) = - 3253

- 100 + 2 = - 98

- 1010 + ( 2000 ) = 900

134 + ( - 134 ) = 0 

remarque :

On voit que la somme de deux nombres opposés est toujours égale à zéro ; faire un certain nombre de pas en avant , et ensuite le même nombre de pas à reculons , équivaut à ne pas bouger , à ne faire aucun pas .

 

Somme de plusieurs nombres .

 

Ce calcul nous l’avons déjà fait dans l’exemple suivant :

Un commerçant avait en caisse au début de la journée 1500 . Il vient de recevoir 270 , puis il a payé une première note de 50 et une deuxième note de  120 . Quel est son avoir en caisse ?

 

Nous convenons d’appeler « positives » les sommes versées en caisse et « négatives » les sommes déboursées .Les trois opérations indiquées s’inscriront :

+ 270 – 50 – 120    ou encore la somme des trois opérations se noterons : (+ 270 ) + ( – 50 ) + ( – 120 )

 

On voit aisément que l’avoir en caisse s’obtient en calculant comme suit :

 1200 + 270 = 1470

 1470 – 50  =  1420

 1420 – 120 = 1 300

l’avoir en caisse est de  1 300 .

Il a suffi d’écrire les nombres à la suite dans l’ordre où ils se présentent et d’effectuer successivement les opérations indiquées par leurs signes .

 

 

C’est le résultat  que l’on obtient en ajoutant le second au premier , le troisième à la somme ainsi obtenue , la quatrième  à cette nouvelle somme , etc.

 

L’opération se réduit donc à une série d’additions de deux nombres qu’on effectue en appliquant la règle  ci dessus indiquée.

 

Ainsi la somme :

12 + ( - 5 ) + ( - 28 ) + 13

s’obtiendra comme suit :

12 + (-5 ) = 7

7 + ( - 28 ) = -21

-21 + 13 = - 8

la somme demandée est –8

 

             Théorèmes relatifs à la somme de plusieurs nombres

 

On peut établir quelques propositions qui permettent d’obtenir autrement le même résultat et le plus souvent d’introduire ainsi dans les calculs des simplifications commodes.

 

 Théorème 1 :

La somme de plusieurs nombres ne change pas quand on intervertit leur ordre .

 

Par exemple , l’on a

13 + ( -5 )+ ( -28) +17 = -5 + 13 + 17 + (-28)

 

en effet , supposons que Paul  ait à recevoir 13 € de Pierre et  17 € de Francis et qu’il doit payer une note de  5 € chez le boulanger et 28 € chez le boucher . Il est évident que sa situation finale est la même quel que soit l’ordre dans lequel il règle ces opérations , qu’il recouvre d’abord  une créance et pour cela qu’il commence par  Francis ou par Pierre ; qu’au contraire il paye ses dettes et pour cela qu’il aille d’abord chez le boucher ou chez le boulanger. Cette situation reste toujours qu’il a –3 €  de dette , qu’il possède – 3 €.

 

 

 

 

 

On trouverait aisément une démonstration analogue pour les théorèmes suivants qui sont d’un usage commode :

 

 

Théorème 2 :

  On ne change pas la valeur d’une somme en remplaçant plusieurs  de ses parties par leur somme effectuée.

13 + ( -5 )+ ( -28) +17 = -5 + 13 + (-11)

 

Théorème 3 : pour calculer la somme de plusieurs nombre , on peut procéder comme suit : additionner les valeurs absolues des nombres positifs ; additionner les valeurs absolues des nombres négatifs ; retrancher la plus petite de ces sommes de la plus grande , et donner le signe de la plus grande .

13 + ( -5 )+ ( -28) +17 = 30  + (- 33)

 

 

commentaire : suivant le cas  , il peut être commode  d’utiliser le premier ou le deuxième de ces théorèmes.

 

« 357 + ( - 324 ) + 325 + (-34) + 4 »

on remarque que l’on à

( - 324 ) + 325 = 1

(-34) + 4  = -30

de sorte que l’on aura à calculer :      357 +1 – 30 =  328

 

 

 

SOUSTRACTION

Pour en savoir plus ++

 

Définition . La soustraction est l’opération inverse de l’addition.

Retrancher un nombre  d’un autre , c’est en trouver un troisième qui ,ajouter au premier, reproduise le second .

 

Exemple :

Si l’on retranche  3 de 5  , on trouve 2  , car 2 +  3 = 5

Si l’on retranche –3 de 5  , on trouve 8 , car 8 +(-3) = 5

Si l’on retranche 5 de –3 , on trouve –8 , car –8 + 5 = 3

 

Règle de la soustraction .

 

Pour retrancher un nombre quelconque , il suffit d’ajouter le nombre opposé .

 

Ainsi ,pour retrancher « 3 » , il suffit d’ajouter –3 ; pour retrancher –3  , il suffit d’ajouter « 3 ».

 

 

Ce principe  peut être regardé comme une conséquence des exemples donnés ; on peut le démontrer rigoureusement en remarquant que la somme de deux nombres opposés et nulle , on a :

                  7 + 3 + (-3 ) = 7

                  7 + (-3) + 3  = 7

 

  dans la première égalité 7 + 3  est le nombre qu’il faut ajouter à ( - 3 )  pour avoir 7 ; dans la deuxième égalité , d’après la définition même de la soustraction 7 + ( -3 ) est la différence de 7 et de 3.

 

La démonstration serait la même si au lieu de 7 on avait un nombre négatif tel que  -8 .

La soustraction se ramène donc à l’addition ; soit par exemple à effectuer le calcul de l’expression

 

   4  - ( - 5 ) + ( -7 ) – ( + 4 )  - ( - 3 ) + 12

 

on pourra écrire :  4 +  ( + 5 ) + ( -7 ) +  ( - 4 )  + ( + 3 ) + 12

 

 

de manière qu’il n’y ait plus que des additions à effectuer ; et l’on appliquera les règles que nous avons données dans l’addition.

 

 Les théorèmes démontrés pour le cas d’additions successives s’appliquent aussi dans le cas de soustractions ; en particulier , on ne change pas le résultat final en intervertissant l’ordre des opérations ; on a par exemple :

 

4 – ( -3 ) + ( -5 ) – (-7) = 4 – ( - 7) – ( - 3 ) + ( -5 )

 

 

 

REMARQUE :  (approche « algèbre »)

 

Lorsqu’on désigne les nombres par des lettres , il peut arriver qu’une lettre représente un nombre négatif tel que ( - 5 ) ; alors le symbole « - a » signifie que l’on doit retrancher « -5 » , c’est à dire que l’on doit ajouter 3 ; donc :       

                         - ( -3 ) = + 3

                D’ une manière générale , «  -a » désigne le nombre opposé au nombre « a »

                             

On se trouve amené ainsi parfois à superposer en quelque sorte plusieurs signes  - ; il en résulte des explications précédentes que deux signes  «  -  »  peuvent être supprimés ou , ce qui revient au même , remplacés par le signe « + »

 

Ainsi lorsque « a » désigne – 3  

-a = - ( -3  )  = + 3

 

Si l’on a à retrancher –a , cela revient à ajouter « a » , c’est à dire à retrancher 3 .

-         [- (-3 ) ]  = - 3

               Dans ce cas , nous avions trois signes  «  -  » ; si l’on en suppriment deux , il n’en reste plus qu’un .

         

·        Applications :

 

                1°) soit à calculer l’expression :   a – b – ( - c ) + ( - d )

 

                   où l’on suppose : a = 10 ,  b =  - 4  , c = 3  , d = -7

                   on obtient

                                10 – ( - 4 )  – ( - 3 ) + ( - ( -7 )  ) =

                             10 + 4 + 3 + 7 = 24

 

                 2°)  calculer l’ expression :   - a – (– b) + ( - c ) -  ( - d )

                        où l’on suppose : a = 4  ,  b =  - 6   , c = - 3  , d = 7

 

                           on obtient          - 4 – 6 + 3 + 7  = 0

 

 on peut trouver d’autres exemples  aux exercices précédents .

 

 

 

Théorèmes relatifs à la soustraction  .

 

 

Théorème 1 :

 

Pour retrancher une somme d’un nombre , il suffit d’en retrancher successivement les divers parties de la somme.

 

Par exemple :

 

7 -[ 5 + (-3) + (-7 ) +2 ]  = 4 – 5 – ( -3 ) – (-7 ) –2

                                       = 4 – 5 + 3 + 7 – 2 

 

ce théorème résulte directement de la définition même de la soustraction  car , en ajoutant au second membre la somme qui figure entre crochets au premier membre , on obtient bien « 4 » ; il suffit , pour faire cette addition , d’appliquer les théorèmes relatifs à la somme de plusieurs nombres  , les termes +5 , - 5 ; - 3 ;  +3 , etc.  se « détruisent » ou « neutralisent » deux à deux .

 

théorème 2 :

Pour retrancher d’un nombre la différence de deux autres , il suffit d’en retrancher le premier et d’ajouter le second au résultat obtenu.

 

Ainsi :   - 7 – [6 – ( -3 )] = -5 –6 + ( -3 )

 

Car le  nombre opposé à 6 – ( -3 )  ou 6 + 3  est  - 6 + (-3 )

 

 

REMARQUE importante :

 

Règle pratique

 

On conclut des théorèmes précédents que toute parenthèse précédée  du signe +   peut être supprimée  , tandis que , si l’on supprime  une parenthèse précédée du signe -  , il faut changer les signes qui précédent les nombres placés à son intérieur.

 

Dans l’application de cette règle pratique , on doit avoir grand soin d’observer que , dans le cas où plusieurs signes  se trouvent superposés devant un même nombre , il ne faut changer que l’un d’eux .

Soit , par exemple  , à calculer l’expression suivante :

              5 – [2 – ( - 3 ) ]  on obtiendra :    5 – 2 + ( - 3 )

 

On a eu soin de changer l’un des signes – qui précédaient 3 , mais on n’a pas changé  les deux .

Pratiquement , d’ailleurs , on évitera le plus possible ces superpositions de signes , en effectuant immédiatement les opérations indiquées .

 Par exemple : 5 – [2 – ( - 3 ) ] deviendra de suite : 5 – [2 + 3  ]

 

 

MULTIPLICATION

Pour en savoir ++++

 

 

 

La notion  concrète d’addition  algébrique nous a été donnée par l’examen  des segments de droite  , nous avons pu en déduire aisément la règle de calcul.

Nous allons procéder aussi par une étude concrète , celle du mouvement uniforme  pour bien faire comprendre ce que signifie la multiplication des nombres positifs et négatifs et quelle est l’origine de la règle d’opération.

 

 

Considérons un promeneur , figuré par le point A se déplaçant sur un axe dans les conditions indiquées plus haut à propos des segments .On dit que le mouvement du point A est « uniforme » lorsque les espaces qu’il parcourt dans les temps égaux sont toujours égaux .

Ainsi l’espace parcouru pendant une heure est toujours le même , l’espace parcouru pendant une minute est toujours le même, etc.

Dans cette définition , il ne faut pas perdre de vue que le point A se déplace sur un axe  , c’est à dire que les espaces ne sont considérés comme égaux que s’ils sont égaux en valeur absolue , et de même signe .

 

Un promeneur qui marche d’un pas égal sur une route se déplace à peu près d’un mouvement uniforme , s’il se dirige toujours dans le même sens , il n’en est pas de même s’il se promène de long en large dans un corridor.

 

 

Vitesse @ .

On appelle « vitesse » d’un mouvement uniforme l’espace parcouru pendant l’unité de temps.

Pour déterminer la vitesse , il est donc nécessaire de connaître :

 

1°) le mouvement ; 2°) le sens choisi comme sens positif ;3°) l’unité de longueur ; 4°) l’unité de temps .

 

Il résulte de   la définition de la vitesse que c’est un nombre positif ou négatif  , suivant que le mobile se déplace dans le sens positif ou le sens négatif .

 

Problème .

 

Proposons – nous de trouver quel est l’espace parcouru dans un temps « t » , la vitesse étant « v ».

 

 

1er cas .

 

supposons par exemple que notre promeneur fasse 3 pas à la seconde  , qu’il se dirige à partir de « A » dans le sens positif , quel est l’espace  parcouru ( en pas ) au bout de 4 secondes ?

 

  La vitesse s’exprime en (+ 3)  , et le temps par (+4) .

Le promeneur  fait en 4 secondes 3 fois 4 = 12 pas ;

 

 

 

 


 

Ces 12 pas sont parcourus dans le sens positif , l’espace parcouru

= +12

Nous  exprimerons  cela comme il suit : ( +3 )( +4) = ( + 12)

 

Nous dirons que :  +12 est appelé « produit algébrique » de +3 par + 4 .

 

2ième CAS.

 

 

     Supposons que le promeneur aille à reculons ,           sa vitesse est de « –3 »

 

Il parcourt en  4   secondes     3 fois 4 = 12 pas  , comme précédemment  , mais le segment  qu’il parcourt

 

B

 
 

 

 


 

 

 

est dirigé dans le sens  négatif , il est donc exprimé par –12

 

–12  est le produit algébrique de –3 par + 4

 

On exprimera ce résultat  (-3 )  ( +4 ) = -12

 

3ième Cas : 

 

Supposons que le promeneur marche en avant , proposons –nous de trouver l’espace parcouru pendant le temps  - 4 secondes .

Que faut-il entendre  par « espace parcouru » pendant un temps négatif ?

A « l’époque actuelle »  le mobile  est en A , au temps moins 4 ; ( - 4 )  , c’est à dire « il y a 4 secondes , il était en « B » , nous disons que le segment  est

 

 

 

 


 

Est l’espace qui correspond au temps -4

 

Comme l’espace parcouru  pendant le  temps + 4 est le segment qu’il faut  parcourir pour , de la position actuelle , aller à la position occupée à l’époque  + 4 .

  Pendant ces 4 secondes  , le promeneur  a fait encore 3 fois 4 = 12  pas , puisqu’il se déplace dans le sens  positif , c’est qu’il était il y a  4 secondes  à gauche   de A ; le segment  est donc négatif. Nous exprimons cette  observation comme il suit :  ( + 3 )  ( -4) = - 12

 

Le produit algébrique de +3  par – 4  est –12

 

4ième  Cas :

               Supposons  enfin que la vitesse et le temps soient négatifs le voyageur se déplace à reculons  , il est actuellement en A . Où était-il il y a 4 secondes ?

 

               L’examen direct de la question nous montre qu’il était à droite de A à 12 pas ; le segment  est donc positif .

 

             Nous  écrivons : (-3)  ( -4) = + 12

 

 

Le produit algébrique de –3 par – 4 est + 12

 

 

L’étude de ces cas particuliers que nous avons tenu à détailler nous permet d’énoncer la  règle suivante de la multiplication .

 

Règle de la multiplication .

 

Le produit  de deux nombres positifs ou négatifs est un nombre dont la valeur absolue est égale au produit des valeurs absolues des facteurs .

 

Ce nombre est positif dans le cas où les deux facteurs sont de même signe .Il est négatif si ces facteurs  sont de signes contraires .

 

 

Applications :

 

3 5 = 15

3( -  5 )  = - 15

- 3 5 = - 15

- 3 ( - 5)  = + 15

 

Produit de  plusieurs facteurs.

 

Le produit de plusieurs facteurs est , par définition , le résultat final que l’on obtient  lorsqu’on multiplie le premier facteur par le second , le produit obtenu par le troisième , le produit obtenu par le quatrième , etc.

Ainsi , soit le produit :

-3 4(-5) 6(-2) 2

il s’effectue comme suit :

-34 = -12

-12 -5  = 60

60 6 = 360

360  -2 = -720

-720  2 = -1440

 

le produit considéré a pour valeur - 1440

 

Signe du produit de plusieurs facteurs .

 

D’après la règle précédente  , lorsqu’on effectue le produit de plusieurs facteurs , on voit que chaque facteur négatif   entraîne un changement de signe , tandis que chaque facteur positif n’en entraîne pas ;

On en conclut que le signe du produit ne dépend que du nombre de facteurs négatifs ; si ce non est paire ou nul , le produit est positif : si ce nombre est impair le produit est négatif.

Cette remarque permet d’obtenir rapidement le produit : on détermine d’abord son signe , il suffit ensuite d’effectuer le produit des valeurs absolues des facteurs.

 

Propriétés du produit de plusieurs facteurs .

 

 

Théorème :La valeur d’un produit de plusieurs facteurs ne change pas lorsqu’on intervertit l’ordre des facteurs .

Pour démontrer que la valeur du produit ne change pas , il suffit de faire voir que la valeur absolue  reste le même et que le signe reste aussi le même . Or la valeur absolue du produit est égale au produit des valeurs absolues des facteurs ; d’après un théorème d’arithmétique , elle ne dépend pas de l’ordre. Quand au signe , il ne dépend que du nombres de facteurs négatifs ; le théorème est donc démontré . Ainsi :

 

 

(-2) (-7) 4(- 5) = 4(- 5)  (-2) (-7)

 

Corollaire .  On peut dans un produit de plusieurs facteurs remplacer un certain nombre d’entre eux par leur produit effectué.

 

(-2) (-7) 4(- 5) =  10 12(-7) = 120 (-7) = -840

 

 

Propriété distributive de la multiplication.

 

Théorème :

               Pour multiplier une somme par un nombre , il suffit de multiplier les parties de la somme  par ce nombre et d’ajouter entre eux les résultats obtenus .

                Nous nous bornerons à vérifier  l’exactitude de ce théorème  sur des exemples :

1er exemple . Soit

[2 + (-3) + (-4) + 17 ]  10

On a :

2 10 = 20   ;  (-3)  10 = - 30 ; (-4)  10 = - 40 ; 17 10= 170

20 –30 –40 + 170 = 120

ou

2 + (-3) + (-4) + 17 = 12

12 10 = 120

 

dans les deux cas on a bien « 120 »

2ième exemple : soit

        [2 + (-3) + (-4) + 17 ]  (- 10 )

 

On a :

2 - 10 = - 20 ;  (-3)  - 10 = + 30 ; (-4)  -10 = + 40 ; 17 - 10= -170

 

-20 + 30 + 40 -  170 = -120

ou

2 + (-3) + (-4) + 17 = 12

12 ( - 10)  = -120

 

dans les deux cas on a bien « - 120 »

 

On  obtient donc le même résultat , soit en effectuant la somme d’abord , et la multiplication ensuite , soit en multipliant d’abord les divers parties de la somme  et en ajoutant ensuite entre eux les résultats obtenus .

 

 

On exprime  cette propriété  en disant que la multiplication est distributive  par rapport à l’ addition .

 

 

Remarque : la soustraction se ramenant à l’addition , la multiplication est aussi distributive par rapport à la soustraction . En désignant par a ; b ; c ; d ; des nombres positifs ou négatifs , on a :

 

( a – b – c – d ) n = an – bn – cn – dn

 

DIVISION

Info +++

 

 

La division est l’opération inverse de la multiplication.

 

Diviser un nombre par un autre , c’est en trouver un troisième dont le produit par le second soit égal au premier .

 

Exemples :

 

15 : (-5 )  = -3   car (-3) ( - 5  ) =  15

-15 : (-5 )  = 3   car (+ 3) ( - 5  ) = - 15

-15 : ( 5 )  = -3   car (-3) ( 5  ) = - 15

 

La règle de la division est une conséquence immédiate de la règle de la multiplication.

 

 

Règle de la division .

 

Le quotient de deux nombres a pour valeur absolue le quotient de leurs valeurs absolues.

 

Ce quotient est positif ou négatif selon que ces deux nombres sont de même signe ou de signes contraires.

 

Exemples :  ( - 42 ) : (-6) = 7

( - 21 ) : 3 = -7

21 : ( - 3 ) = -7

 

LES  FRACTIONS ALGEBRIQUES

Cours niveau V

 

 

 

Définition .

 

En algèbre , on appelle « fraction » le quotient indiqué de deux nombres positifs ou négatifs .

 

Voici l’exemple de fractions :

 ;  ;

 

les valeurs de ces fractions sont d’après la règle de la division :

 

 

Théorème .

 

On ne change pas la valeur d’une fraction algébrique en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre .

 

   En effet , on ne change pas la valeur absolue , d’après la proposition  analogue de l’arithmétique . Quant au signe , il ne change pas non plus si l’on multiplie ou divise par un nombre négatif , car les signes des deux termes changeant tous les deux , le signe de leur quotient reste le même .

 

Réduction au même dénominateur .

 

 

De la proposition précédente , on conclut qu’il est possible  de réduire plusieurs fractions au même dénominateur par la même règle  qu’en arithmétique .

            Il en résulte que pour étudier l’addition ou la soustraction des fractions , on peut se borner aux fractions qui on même dénominateur .

 

Addition et soustraction des fractions :

 

Règle : pour ajouter ou soustraire (retrancher ) plusieurs fractions ayant un même dénominateur , il suffit d’ajouter ou retrancher les numérateurs et de donner au résultat le dénominateur commun

 

Ainsi , a ;b ;c ;d ;n étant des nombres positifs ou négatifs ( dit aussi « relatifs » ) on a :

 

 -  - +  =

 

On démontre cette règle en vérifiant que la multiplication par « n » des deux membres de l’égalité donne des résultats identiques

 

Multiplication des fractions

 

Règle : Le produit de deux fractions est une fraction ayant pour numérateur le produit des numérateurs et pour dénominateur le produit des dénominateurs.

 

Exemples :

 

 =

 

  =

 

  =

 

On obtiendrait aisément le produit de plusieurs fractions en appliquant la même règle :

 =

 

 

DIVISION des Fractions
Pour en savoir plus ++++
 

 

La division est l’opération inverse de la multiplication ; la règle s’énonce  ainsi :

Règle : le quotient de deux fractions s’obtient en multipliant la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.

Exemples :

 

= =

 

= =

 

= =

 

La  règle se justifiant en vérifiant que le produit du quotient par le diviseur reproduit le dividende .

 

Remarque . dans la pratique , on calcule la valeur absolue  et le signe de chaque fraction  , on fixe le signe  du quotient  d’ après la même règle  que pour le quotient de deux nombres  entiers ; la valeur absolue est le quotient des valeurs absolues des fractions.

 

 

Ainsi : = =

= =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS

 

 

 

CONTROLE:

 

Donner la règle concernant l’addition de nombres positifs et négatifs.

Donner la règle concernant la soustraction de nombres positifs et négatifs.

Donner la règle concernant la multiplication de nombres positifs et négatifs.

Donner la règle concernant la division  de nombres positifs et négatifs.

 

Donner la définition d’une fraction algébrique :

Donner la règle concernant l’addition de fractions de nombres positifs et négatifs.

Donner la règle concernant la soustraction de fractions de nombres positifs et négatifs.

Donner la règle concernant la multiplication de fractions de nombres positifs et négatifs.

Donner la règle concernant la division de fractions de nombres positifs et négatifs.

 

 

 

EVALUATION:

Voir plus +++++

 

Addition et soustraction des nombres positifs et négatifs :

 

Série : 1

 

4 – ( -7) + 8

+ 19

6 – 5 + 2 – 12

- 9

- 5 – 3 – ( -13 ) + ( -2 )

+ 3

 

 

 

 

 

 

 

Interdisciplinarité :

  INFO  vers ……§§ ! ! ! ! ! ! !

 

 

Applications des nombres positifs et négatifs :

 

 

 

Remarque préliminaire

 

            Nous avons donné déjà plusieurs exemples d’application des nombres positifs et négatifs à des problèmes  concrets. C’est même de ces exemples que nous avons pu dégager les règles de calcul .

 

             Nous avons vérifié que les règles d’opérations sur les nombres positifs et négatifs donnent toujours des résultats corrects , c’est à dire « conforme à la réalité »

            Ces nombres ne sont donc pas des   abstractions pures ; ce sont simplement des manières abrégées de représenter des faits très simples , très élémentaires et bien connus de tous .

               Il faut n’y voir aucun mystère ; mais simplement la traduction dans  le langage de l’algèbre de remarques évidentes .

 

               Dans les problèmes où on utilise les nombres affectés de signes , on doit introduire des conventions de signes bien précises , et , une fois ces conventions introduites , s’y conformer avec beaucoup d’attention . Il ne reste plus  dés lors qu’à effectuer les opérations suivant les règles que nous avons données et à interpréter le résultat conformément aux conventions faites .

 

  Donnons encore quelques exemples pour illustrer ces observations .

 

1°) Détermination d’un point sur un axe. Distance  de deux points .

 

Nous avons  déjà dit ce qu’on appelle  « axe orienté »

Etant donné sur un axe la position d’un point  « A », ( que l’on appelle : abscisse d’un point ) , pour connaître la position d’un autre point « B » , il suffit de connaître la valeur de la mesure albrique du segment AB  ( et l’unité de longueur) Connaissant les points « A » et « B » , pour connaître la position d’un point « C » , il suffit de connaître ou  ou  , etc.

Par exemple , sur la figure ci dessous , on a déterminé « B », « C » , « D » en supposant le point « A » connu  , ainsi que les segments suivants :

 

A

 

D

 

C

 
 

 

 

 


= 5   ;  = 3 ; = -5

 

             Mais cette manière de procéder présente un inconvénient ; il est nécessaire de faire un calcul  pour connaître la position  respective des points « A » et « D » .

           Il faut passer par tous les intermédiaires .

 

 

              Il est plus commode  , pour fixer la position d’un point sur un axe , de donner sa distance à un point fixe , toujours le même , qu’on appelle « origine des abscisses » et que l’on désigne généralement  par la lettre « O » . La distance d’un point quelconque « A » au point « O » est la valeur algébrique du segment   OA  ( noté : ) , on dit que c’est l’abscisse du point « A »

 

Ainsi , sur la figure ci dessous , l’abscisse du point « A » est + 3 ; l’abscisse du point « B » est –2

 

B

 

O

 

A

 
 

 

 

 

 

 


Définition de l’ abscisse d’un point :

 

   L’abscisse d’un point sur un axe est la valeur algébrique  du segment allant de l’origine à ce point .

 

 

Info plus +++++

 

 

 

 

 

MESURE ALGEBRIQUE  de DEUX POINTS

Info plus +++

 

 

Problème : Etant donné es les abscisse de deux points , calculer leur distance.

Soient A et  B les eux points donnés ; désignons par « a » et « b » , leur abscisses , c’est à dire nous posons :

  = a            et            = b

 

Nous voulons calculer la mesure algébrique  du segment AB.

Nous avons établi à propos des segments  que l’on a :

 

 =  +

 

ce qui signifie , rappelons – le : aller de A en B , équivaut à aller d’abord de A en O , et puis de O en B.

 

On a d’ailleurs :   AO = - OA= - a

                             OB = b

Il en résulte donc :  =  -a  + b = b - a

 

 

Telle est la formule qui donne la mesure algébrique de deux points .

 

Ce qui se traduit en langage littéral :

 

  La mesure algébrique de deux points A et B est égale à l’abscisse du second « B » diminué de l’abscisse du premier « A »

 

 

Bien que cette règle , ayant été démontrée , n’ait pas besoin de vérification , cette vérification sur des exemples n’en est pas moins profitable au commencement .

 

Exemple 1 :

 

B

 

O

 

A

 
 

 

 

 


  = a = - 3   (puisque = 3 )    ;   = b = -2

 =  +   =   (-3)  + (-2)  =  -5

 

 

Exemple 2

 

A

 

B

 

O

 
 

 

 

 


 = a =  3   (puisque = - 3 )    ;   = b = - 2

 =  +   =   b – a    =   (-2)  -  (- 3)  =  + 5

 

Exemple 3

 

 

 


 = a =  5  (puisque = - 5 )    ;   = b = - 2

 =  +   =   b – a    =   (-2)  -  (- 5)  =  + 3

 

 

Exemple 4

 

B

 

A

 

O

 
 

 

 

 


 = a =  1  (puisque = - 1 )    ;   = b = - 4

 =  +   =   b – a    =   (- 4 )  -  ( 1 )  = - 3

 

 

             Il ne faut pas perdre de vue que la mesure algébrique d’un « bipoint » est positive ou négative suivant que la direction de ce bipoint est elle-même positive ou négative .

 

 

 


DETERMINATION D’UN EVENEMENT dans le temps . ORIGINE DES TEMPS . UNITE DE TEMPS 

 

Pour déterminer la position d’un événement dans le temps , on choisit  une époque bien déterminée que l’on appelle « origine des temps » et une « unité de temps ».

 

La date de chaque événement est alors représentée par un nombre positif si l’événement est postérieur  à l’origine des temps  , négatif s’il est antérieur , et dont la valeur absolue est égale à la mesure de l’intervalle  de temps qui sépare cet événement de l’origine .

Prenons , par exemple , comme origine des temps le 12 janvier 1910 , à midi , et comme unité « l’heure » .

                             Si divers événements se produisent : le 12 janvier à 11 heures du soir , le 13 à 8 heures du matin , le 11 à 9 heures du soir , le 12 à 8 heures du matin , leurs époques seront respectivement égales à +11 ; + 20 ; -15 ; - 4  .

 

Définition de l’époque :

 

On appelle  « époque d’un événement » l’intervalle de temps qui sépare cet événement de l’origine des temps , affecté du signe +  si l’événement est postérieur à cette origine , et du signe «  -   »  s’il lui est antérieur.

 

Intervalle qui sépare deux événements ;

 

                            Lorsque l’on connaît les époques de deux événements , A et B , l’intervalle de temps qui les sépare  est égal à l’époque de B diminuée  de l’époque de A.

 

                            L’ intervalle ainsi obtenu est positif si A est antérieur à B , et négatif si A est postérieur à B , on peut le désigner par  la mesure algébrique de AB .

 

              Ce n’est pas autre chose  en somme que l’application au temps de la règle des abscisses  pour la mesure algébrique de deux points .

 

Par exemple , l’intervalle qui sépare les deux événements dont les époques – 13  et + 25 est :   +25 – ( - 13 ) = 38

Il s’est écoulé en effet 38 heures entre le 10 janvier à 9 heures du soir et le 12 janvier à 11 heures du matin .

 

 

REMARQUE sur la « CHRONOLOGIE »

 

 

L’origine du temps communément adoptée pour la chronologie dans les pays chrétiens est l’époque de la naissance de Jésus-Christ ; c’est à dire que l’on suppose qu’il est né  le 1er janvier de l’ an 1 , à minuit (nous mettons de côté les difficultés  qui résultent de l’emploi successif des calendriers julien et grégorien , et des années bissextiles ; nous supposons toutes les années égales pour simplifier )

C’est cette date qui doit être désignée par zéro. Un événement qui se produit au milieu de l'an 1 aura , si l’on prend l’année comme unité , son époque  désignée par   ou 0,5 ; un événement qui s’est produit au milieu de l’an 10 aura son époque désigné après  9,5. Il ne faut pas voir là une contradiction ; l’origine des temps étant le moment de la naissance de J-C , l’époque 9,5  ou 9 est celle où il y a 9 ans ; il est dans sa dixième année que l’on appelle l’an 10  . C’est ainsi que , en 1910 nous sommes dans le XXe    siècle bien qu’il ne se soit écoulé que 19 siècles et une petite fraction de siècle depuis le commencement de l’ère chrétienne.

Quand aux années antérieures à la naissance de J.-C. , les chronologistes les désignent par l’an  1 avant J.-C. , 2 avant  J.-C. , etc. Aucune année n’est désignée par zéro . Un événement qui se produit le 1er octobre  de l’an 1 avant J.-C. aura son époque désignée par  ; un événement qui se produit le 1er mai de l’an 34 avant J.-C. , c’est à dire 33 ans et 7 mois avant la naissance de J.-C. , aura son époque désignée par  l’année étant toujours choisie comme unité .

 

Il est dés lors très aisé de calculer l’intervalle de temps  qui sépare deux événements .

 

Exemple : un homme est né le 1er mai de l’an 12 avant J.C. , et  mort le 1er août de l’an ‘( après J.-C.) combien de temps a-t – il vécu ?

 

 

              En choisissant l’année pour unité , l’époque de sa naissance est -et l’époque de sa mort  ;

 

 - (-) =  + =   =

 

la réponse est : 56 ans 3 mois .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Problèmes :

En plus ====++++++++

 

1 ° )  Un commerçant constate qu’il doit à diverses personnes les sommes suivantes : 323,50 € ; 402,50  € ; 312,75 €.

D’autre part , divers personnes lui doivent 300 € , 250 € , 417,45 € .Il  a actuellement en caisse  1 000 € . Combien aura –t-il après ses comptes réglés ?

 

2° )  Un commerçant doit à divers personnes 3640 € ; 2350 € ; 4500 € , divers personnes lui doivent  2000 € ; 3000€ ; et 1500 € . il a en caisse  492,50 € .  Quelle est sa situation ?

 

 

3°)  Jean est plus âgé de  3 mois 6 jours que Pierre et plus jeune  de 6 mois et 5 jours  que Franck . Quelle  différence d’ âge y a t - il  entre   Franck et Pierre ?