OBJ ;. connaître  les éléments neutres en vue de  neutraliser un terme ou un facteur dans un membre d’une égalité en vue de «  résoudre une équation   ».

Pré requis:  

Les éléments et ensembles

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Opposé d’un nombre .

 

Inverse d’un nombre

 

ENVIRONNEMENT du dossier

Index   warmaths

Objectif précédent : 1°) élément neutre de l’addition dans N;

2°) élément neutre de la multiplication. dans N

3°) les opérations .

Objectif suivant :

)Neutralisation d’un terme  ou d’un facteur .Sphère metallique

2°) Propriétés dans D relatifs .

3°) Informations sur D

Tableau       Sphère metallique 11

2°) les égalités (présentation)

 

DOSSIER: INFORMATIONS SUR LES 4 OPERATIONS.

1°) Les éléments neutres et les éléments absorbants.

·       Cas particuliers :  «  a – 0 »  et « a :1 »

·        Neutralisation d’un facteur :  et  la multiplication d’un nombre par son inverse.

·       Neutralisation  d’un terme  et  l’ addition d’un nombre avec  son opposé .

2°) Rappels sur les propriétés des 4 opérations dans N.

3°) Les propriétés des opérations dans D.

 

 

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COURS

 

 

1°)   Les éléments neutres et les éléments absorbants .

 

 

 I)  L’ ELEMENT  ABSORBANT : 

 

                          L’élément « absorbant » de la multiplication est « 0 » ; en effet 0a  = 0

 

II ) LES   ELEMENTS NEUTRES :

 

Définition : on appelle « élément  neutre » un nombre qui ne modifie pas le résultat d’une opération.

 

Il y a deux éléments neutres : le « 0 » pour l’addition et le « 1 » pour la multiplication.

 

Il est intéressant de connaître et retenir  , pour la leçon suivante  « neutralisation d’un terme et d’un facteur »  que « a – 0 = a » et que = a

a )  « 0 » est l’élément neutre de l’addition :

 

                    9 + 0 =  9  ,  0 + 9 = 9    donc  9 + 0 = 0 + 9

 

on retiendra ,par extension , que  si  a + 0 = a   et  0 + a = a   on  conclura  que :          a + 0 = 0 + a

  que  x  + 0 =   x     ;   ou    0 + x = 0

 

 

Remarque :  le zéro n’est pas un élément neutre de la soustraction ! ! !

 

   mais  ,  il faut remarquer que  si l’on soustrait  « 0 » à un nombre ; la différence reste égale  à ce nombre . en effet  9 - 0 =  9

 

                       on  retiendra   que  a - 0  =  a ;  x - 0  =  x         

      

c ) « 1 » est l’élément neutre de la multiplication

 

1°) Multiplier par « 1 » ne modifie pas le résultat de la  multiplication.

31=

3

3,0365281 =

3,036528

a1=

a

x1=

x

3x1 =

3x

1 ( 2x+3) =

2x + 3

 

* Remarque :   « 1 » n’est  pas  l’élément neutre de la division ;  mais  si l’on divise par « 1 » , on ne modifie pas le quotient ( nom donné au résultat d’un division )  donc : diviser par « 1 » ne modifie pas le résultat de la  division.

 

3 : 1=

3

3,036528 :1 =

3,036528

:1=

a

:1=

x

3x :1 =

3x

( 2x+3) : 1  =

2x + 3

 

d) « Comment neutraliser  un  facteur »   ou   la  multiplication d’un nombre par son inverse :

 

  Un nombre multiplié par son inverse est égal à     1

 a    inv. a  =     a     =    1     

 

Exemple :        2   inv. 2 =            2     =        =     =   =   1

 

*si vous avez des difficultés pour comprendre le calcul , voir  (multiplication d’un nombre par une fraction)

e  ) « Comment neutraliser un terme »   ou l’  ADDITION d’un nombre par son  opposé :

  Un nombre ajouté de son opposé  est égal à    «  0 »

 a + opp. a  =     a  + ( - a )   =    a – a  =  0     

 

Exemple :        2 + opp. 2  =              2 + ( -2)   =  (+2 ) +( – 2)     =     0

*si vous avez des difficultés pour comprendre le calcul , voir  « addition de nombres relatifs »

 

 

2°)   LES PROPRIETES des opérations dans N :

 

Addition et ses propriétés :

L’addition est l’opération qui associe deux nombres (entiers ou décimaux ) pour en faire une « somme »  tel que :    a + b

 

Les propriétés de l’addition : elles sont au  nombre de trois

L’addition est :

 

 

commutative

a + b = b + a

3 + 2 = 2 + 3

Associative

a +( b  + c )=  (a +b)+ c

2+(3+5) = (2+3)+5

Possède un élément neutre  « 0 »

a + 0 = 0 + a = a

3 + 0 = 0 +3 = 3

 

* remarque : la soustraction ne possède aucune des propriétés de l’addition :

 

 

« ¹ » signifie « différent »

Exemples :

Ainsi

a -  b ¹  b - a

3 - 2 ¹ 2 - 3

Ainsi

a - ( b  - c )  =  (a - b)-  c

2-(3-5) ¹ (2-3)-5

2- (-2) ¹ (-1) –5

+4     ¹ -6

Ainsi

a - 0 ¹ 0 - a

a     ¹ -a

3 - 0 ¹ 0 -3

3     ¹ -3

Si problème de compréhension , voir « expression et somme algébrique » et « somme de deux nombres relatifs »

 

2ème  Rappel :  sur la multiplication et ses propriétés :

La multiplication est l’opération qui associe deux nombres ( entiers ou décimaux) « a » et « b »  pour obtenir un « produit » tel que : a  b ;

 

qui est égal à la somme du nombre « b » , « a » fois ; il y a  autant de nombre « b » que l’indique le nombre « a » ,    soit « b » fois le nombre « a »

 4  3  =  3 + 3 + 3 + 3

alors que :

 3  4 =  4 + 4 + 4

 

La multiplication possède  quatre propriétés suivantes :

 

Propriété :

 

Exemple

Elle est commutative

a  b = b  a

4  3 = 4  3

Elle est associative

a  (b c) = (a b) c

2 ( 3 5) =( 2 3) 5

Elle possède un élément neutre « 1 »

a  1 = 1  a = a

3   1 = 1  3

Elle possède un élément absorbant « 0 »

a  0 = 0  a =  0

3   0 = 0  3

 

 

 

3°)   LES PROPRIETES des opérations dans D :

 

PROPRIETES DE L ‘ADDITION DANS « D »  

 

-        Commutativité :  a + b =  b + a

-        Associativité  ( a + b ) +  c =   a + ( b + c )  =  a + b + c

-        Elément neutre :  a + 0 =  a  et  0 + a  =  a

 

PROPRIETES DE LA MULTIPLICATION DANS « D  »  

 

-        Commutativité :         

 

-        Associativité :     

 

( on aussi écrire : ) ( le signe « multiplier » n’est pas utilisé en algèbre )

 

-        Elément neutre :      

 

 

DISTRIBUTIVITE DE LA MULTIPLICATION PAR RAPPORT A L’ADDITION :

 

-        a ( b + c ) = ab + a c

-        ( a + b ) ( c + d ) = a c + ad + b c + bd

 

 

 

 

commentaire : ces connaissances seront utilisées en algèbre pour « résoudre » :

 

Signification du mot « RESOUDRE » :« Résoudre "une équation" »   c ' est rechercher la valeur de l ' inconnue (généralement "x" )   qui vérifiera    que l ' égalité est vraie.

 

( l’égalité est vraie lorsque l’on a remplacé « x » par la valeur numérique  trouvée  et effectué les calculs avec la valeur  de « x » ; il faut trouver la même valeur pour chaque membre , après calcul )

 

pour « résoudre » ;  on nous donne une égalité contenant une lettre appelée « inconnue ».( exemple :   2 x + 12 = 17  ) ;la  lettre « x » se trouve être un facteur « intégrer » dans un terme.

 

On dit aussi que  « Résoudre » : c’est isoler « x » dans un  membre de l’égalité et placer les termes « nombres » dans l’autre membre.

 

 


 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

Niveau V

 a) Quel est l’élément neutre de l’addition?

 

  b) Quel est l’élément neutre de la multiplication?

 

 

**EVALUATION:

 

Calculer :  (compléter les égalités suivantes :

 

     3 + opp.3 = ?

                     

  3   inv.3 = ?


 

 

 

 

CORRIGE:

CONTROLE:

 a)Quel est l’élément neutre de l’addition?

              L’élément neutre de l’addition est  « zéro »  .

 

  b)Quel est l’élément neutre de la multiplication?

              L’élément neutre de la multiplication et de la division est 1.

 

a division est 1.