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Définitions :  les chiffres et nombres

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ENVIRONNEMENT du dossier :

 

Index warmaths

Objectif précédent : Notions simples sur les ensembles   Sphère metallique

 

Info : notation :…..

Objectif suivant :

1°) opposé d’un nombre Sphère metallique

2°) Les opérations dans R.

3°) Les suites (généralités)

)Tableau       Sphère metallique  6

2°) Liste des objectifs en calcul numérique

3° ) Les progressions arithmétique et géométriques.

 

DOSSIER:      LES  « « ENSEMBLES »   de NOMBRES

                                                    (présentation ; généralités)

LECTURE :   « L’ Infini » mathématique.

A ) LES ENSEMBLES. (définition ; désignation ;définition d’un élément ;les principaux ensembles de nombres).

B) ECRITURE  symbolique mathématique D' UN ENSEMBLE.( dit en extension).

C ) Approches sur «  LES SUITES »  ou Progressions de nombres .

 

 

Test

 Boule verte

COURS  Boule verte

Contrôle Boule verte

évaluation Boule verte

Boule verteI NTERdisciplinarité

 

Corrigé ContrôleBoule verte

Corrigé évaluationBoule verte

 

 

Devoir n°1 (première approche)

 

 

 

 

 

 

LECTURE :   « L’ Infini » mathématique

 

 

Au cours de  notre étude des fonctions,nous emploierons  souvent les expressions : « l’infiniment grand» ;   «  l’infiniment  petit » , ou de façon abrégée  « l’infini »

 

Que signifie ces mots ?

Tout d’abord il est clair qu’on peut toujours augmenter un nombre donné, allonger une droite donnée. Considérons donc une grandeur et faisons croître  sa valeur absolue , de telle façon qu’elle soit toujours supérieure à une quantité qu’on pourra nous  assigner , aussi grande soit telle. Nous appellerons cette valeur, « numériquement indéfinissable » , l’infiniment grand et nous la représenterons par le symbole :       .

 

De même nous définirons « l’infiniment petit » comme une grandeur décroissante , inférieure en valeur absolue à toute quantité donnée aussi petite soit elle et nous la représenterons par le symbole : . ( lettre grecque  appelée « epsilon ») ;Il est à noter que l’infiniment grand et l’infiniment petit peuvent être positifs ou négatifs.

±.  ;   ±  .

 

Ainsi que l’ a remarqué Pascal, l’infiniment grand et l’infiniment petit sont intimement liés  l’un à l’autre . 

 

 

Considérons, par exemple, la fonction    en même temps  que son dénominateur devient infiniment petit , cette fraction devient « infiniment grande » , inversement elle

 

est  infiniment petite lorsque « x » est infiniment grand. 

 

Cette corrélation  a d’ailleurs une conséquence remarquable.

Si l’on donne a «  » deux valeurs infiniment  petites , l’une négative     , l’autre positive     , et il est évident que ces deux valeurs sont aussi voisines qu’on le veut , y devient successivement infiniment grande et négative ;  .   , puis infiniment grande et positive ;  .  en sorte que ces deux valeurs indéfinis se succèdent immédiatement, sans valeurs intermédiaires

 

 

 

 

 

COURS

 

             

 La théorie des ensembles a été inventée par Georg Cantor, mathématicien allemand (1845 - 1918)

 

A ) LES ENSEMBLES.

 

 

1°)   Définition:

        Un ensemble est une collection d'objets distincts ayant un caractère commun et bien défini.

        

    Exemples : des pins ;des crayons , les élèves d’une même classe ;.................

 Mais aussi : l’ensemble des points d’une droite , l’ensemble des voyelles , l’ensemble des couleurs de l’arc - en - ciel , ……

 

      En mathématique :il existe les ensembles de nombres et les ensembles géométriques. : des nombres entiers naturels ,les nombres décimaux; des vecteurs....,

 

 

2°) DESIGNATION D'UN ENSEMBLE:

   

On désigne généralement un ensemble par une lettre majuscule.  «  », «  » , «  »,….

Remarque : il y a des conventions internationales pour désigner certains ensembles tels les lettres qui désignent les ensembles de nombres :  ,….

 

3°) ELEMENT (définition)  :

 

Chacun des « objets » de l’ensemble est appelé « un élément » de cet ensemble.

 

 Quelques informations sur  les principaux  "Ensembles" de nombres

 

Il existe 2 grandes catégories de nombres :

-        les nombres non relatifs (on considère qu 'ils sont  "positifs" , ils ne sont pas précédés par un signe + )  ;

-          et les nombres relatifs  (ils sont  "positifs"  (le signe  +   l'indique) ou ils sont négatifs (le signe   -   l'indique)

 

 

4°) LISTE DES  PRINCIPAUX ENSEMBLES DE NOMBRES en mathématiques   :

 

Lettres couramment utilisées pour désigner des « ensembles de nombres »

Info:

N

Notions :nombres entiers naturels

N  : représente l'ensemble des nombres entiers naturels

        Exemples :  3 ; 4 ; 5 ; 267 ; 2567 ; (classés par ordre croissant : voir objectif n°..........)

Z (+ ou -)

Notions : nombres entiers positifs ou négatifs .

Z +ou-  :  représente l'ensemble des nombres entiers relatifs.

 Exemples : pour  Z+ (+5) ; (+63) ; (+125 ) ; (+ 5678 ) ;

               pour  Z-   (-5) ;(-89) ; (-564) ; (- 781 ) ;(-1536)

D

D  : représente l'ensemble des nombres décimaux     "non - relatifs"

exemples : 0,01 ; 2,50 ; 5,87 ;126,78    (voir système décimal)

D+ ou  D-

D +ou- : représente l'ensemble des nombres décimaux relatifs

 Exemples de D+   = (+0.23) ; (+5,89 ) ; (+89,56) ; .............(classés par ordre croissant :

Exemples de D-  =    (- 0.23) ; (-5,89 ) ; (-89,56) ; .............(classés par ordre décroissant ;

Q

Q  :  ensemble des nombres dits « rationnels »   il contient en plus des D des nombres représentés par   les fractions et les  rationnels 

( Info ++++)

R

R  :     représente l ’ ensemble des  nombres  réels : dont  fait parti  le nombre  π  ( dire  « pi » )et « les valeurs de certaines racines  »

L’ensemble de tous les nombres : entiers , décimaux , rationnels et irrationnels est l’ensemble des réels .

Exemples : π ; 1/3 ; -1,2 ;  ; ;

(info +++)

R*

« * » l’étoile signifie que la valeur « zéro » est exclue de l’ensemble des nombres réels.

(voir la fonction homographique)

R+

On ne considère que l’ensemble des nombres réels positifs

R-

On ne considère que l’ensemble des nombres réels négatifs

S

S  est souvent utilisé pour désigner des "suites"

(les principales sont : les suites arithmétiques ,suites géométriques ;suites logarithmiques )

U

Comme pour "S" , "U"  est souvent utilisé pour désigner des "suites de nombres" .géométriques , arithmétique .

 

 

B) ECRITURE  symbolique mathématique D'UN ENSEMBLE.( dit en extension)

 

   Il existe des ensembles,  dit "finis" et  des ensembles "non finis" dit "infinis".

 

A)   Ecriture symbolique mathématique d'un ensemble "fini" . (un ensemble est dit  « fini »si  on connaît tous les éléments)

 

Procédure:

           Après avoir nommé l'ensemble par une lettre majuscule suivi du signe = ,on énumère tous les éléments de l'ensemble en les séparant par une virgule (par un point - virgule pour des nombres)et encadrés par des accolades:

Le modèle mathématique est :

 

exemple :           E =

 

traduction littérale : E est le nom de l’ensemble , il contient 4 éléments « e ».c’est un ensemble fini  puisque après le quatrième éléments il n ’ y a pas de points de suspension.

 

 

EXEMPLE     d ’ application  :

 

Les diviseurs  (  )  de 24 s'écrit en extension:

   24 = 1;2;3;4;6;8;12;24

 

B)Ecriture symbolique mathématique d'un ensemble  "infini". On nomme l'ensemble "infini" ,lorsque l'on ne peut pas nommer tous les éléments.

 

écriture mathématique , d ‘un "ensemble infini" : (deux façons)

 

E =   ou E =

 

 

 

 

Procédure:

            On écrit que les premiers éléments  et l’on complète par des  points de suspensions, le tout encadré par des accolades.

 

Exemples  numériques :

        -  soit l'ensemble des nombres entiers naturels  qui se note : N

   

              en écriture mathématique cela donne :   N  =  0;1;2;3 ;....

 

        -  soit l'ensemble des nombres entiers relatifs  qui se note : Z

   

              en écriture mathématique cela donne :   Z  =   …… ; ( -2) ; ( -1) ; 0; (+1); (+2) ;..

                                                                                                                                

         -  soit l'ensemble des nombres décimaux   qui se note : D

   

          en écriture mathématique cela donne :   D  =   0 ; 0,5; 1 ;  1,2;..

 

       

Ces ensembles peuvent se représenter  graphiquement par le « diagramme de Venn »)

 

ccfi6

-  l'ensemble des nombres décimaux relatifs   qui se note : D±  ( dans lequel se trouve « D »)

   

          en écriture mathématique cela donne :   D±  =  …. ; ( -2) ; (-1,5) ; 0,5; 1,2;..

 

C )  Progressions :    "Suite" :    de nombres :   (info + sur :  Les progressions arithmétique et géométriques.)

 

Une suite est un ensemble d'éléments connus "en compréhension".

 

Une  "suite" est  un ensemble d ' éléments (de nombres)  dont les éléments ont une propriété caractéristique permettant de les reconnaître (identifier) ;  

 

Pour savoir si un élément "x" appartient à une suite ,il faut se demander si  l 'objet "x" possède ou non cette propriété ; il est alors connu en compréhension.

 

L'ordre des éléments est important ( croissant ou décroissant) ;  ils   sont ou  peuvent être  "indicés"

(  l'indice indique le numéro d'ordre ou de  rangement de ces éléments)

 

 

« suites de nombres » :

On utilise fréquemment des suites de nombres rangés dans un ordre déterminé.

 Exemples :

Suite 1 :  suite des nombres entiers naturels :   1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; …… ; n ;…

 

Suite 2 : la suite des ouverture de diaphragme  d’un appareil photographique :

     2     ;  2 ,8   ;  4 ; 5,6 ; 8 ; 11 ; 16 ; 22

 

Suites des avances longitudinales et transversales , en mètres par minute , sur une fraiseuse :

Suite 3 :   9 ; 11 ; 14 ; 18 ; 23 ; 29 ; 36 ; 45 ; 58

Suite 4 :   69 ; 86 ; 110 ; 137 ; 173 ; 220  275 ; 346 ; 440

Chacun des nombres figurant dans une suite est un « terme » de cette suite.

Certaines suites comportent un nombre fini de termes ( comme la suite 2 qui comprend 8 termes) . Ce sont des suites finies.

D’autres comportent une infinité de termes , ce sont des suites infinies ou illimités  ( par exemple : la suite 1)

 

Notation :

On représente en général les termes d’une suite par une même lettre , chaque terme étant repéré par un indice correspondant au rang qu’il occupe dans la suite.

 

Ainsi pour  la suite 2 :

 

                 U1  = 2      ;  u2 = 2,8 ;    u3 = 22

 

Il existe des suites dont les termes successifs apparaissent au hasard. Mais , le plus souvent , on définit une suite  à l’aide d’une loi de formation permettant :

 - soit de calculer chaque terme en fonction de son rang :    un = f ( n)

 

Ex : suite des nombres entiers :    un =  n

       Suite des nombres pairs :       un = 2 n

-        Soit , lorsqu’on connaît un certain nombre de termes , d’en déduire les termes suivants ( loi de récurrence)

 

Ex : pour la suite 1 , qui est la  suite des nombres entiers naturels :   1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; …… ; n ;…

 On obtient chaque terme en ajoutant une unité au terme précédent :

 

  La loi de formation est :     u n  =  u  n-1 + 1

 

Nous étudierons  les deux types de suites, fondamentaux,  la suite arithmétique dont la formation est basée sur la loi simple de l’addition et la suite  géométrique dont la formation est sur la loi simple de la multiplication.

 

Ces études vont mettre en évidence des analogies entre les progressions arithmétiques et les progressions géométriques : elles sont formées de la même manière. ( par addition pour les progressions géométriques , par multiplication pour les progressions géométriques) , leurs propriétés sont voisines. D’où l’idée   du mathématicien Neper de comparer ces progression et d’établir une correspondance entre les termes de même rang , et d’imaginer  « les logarithmes ».

 

 

Nomenclature "suite" :

 

 

 

Ensemble

"Suite"

Désignation

Par une lettre majuscule (R, N, D .)

Par la lettre majuscule " U"

Nom des éléments

"nombres"

Chaque élément pour le nom de "terme"

Lettre utilisée pour désigner un élément

 

Chaque terme est désigné par la lettre minuscule  "u"

Les éléments sont ordonnés

 

Chaque  terme est désigné par la lettre "u" indicé

indice

 

La valeur numérique de l'indice désigne le "rang" du terme

 

Exemples de suites :

 

Les nombres entiers naturels

Boule verte

Les nombres entiers relatifs positifs

Boule verte

Les nombres entiers relatifs négatifs

Boule verte

Les nombres pairs :   ;4 ;6 ;8 ;10 ;12 ; (tous les nombres multiples de deux)

Boule verte

Les nombres impairs1 ; 3 ; 5 ;7 ; 9 ; 11 ; …( 1+2n)  ..  « n désigne un nombre entier naturel »

Boule verte

Les nombres multiples de "2"  ;"3" ;  "5" ,

Boule verte

Les nombres premiers

Boule verte

LES  SUITES

 

Suites proportionnelles:

 

Suites arithmétiques

Boule verte

Suites géométriques

Boule verte

Suites logarithmiques

Boule verte

INTER DISCIPLINARITE:  Trouver des cas ou l ' on peut  parler d ' « ensemble »

 

 

 


 

Pour devoir :

 

 

TRAVAUX   AUTO FORMATIFS : (préparation du devoir)

 

CONTROLE:

 

 

1 ) Qu'est ce qu'un ensemble ?

 

2 ) Par quoi nomme - t - on un ensemble (de nombres) ?

 

3 ) Comment nomme - t - on les objets d'un ensemble?

 

4 )Qu'est ce qu'un ensemble "fini"?

 

5 ) Qu'est ce qu'un ensemble "infini"?

 

6 ) Comment écrit-on ,en écriture mathématique, "ensemble fini"?

 

7) Comment écrit-on , en écriture mathématique , "ensemble infini" ?

 

8 ) Entre les deux écritures précédentes ,comment les différencie - t on ?

 

9) Donnez des exemples d'ensembles de nombres les plus utilisés (4 au minimum)

 

10 )  Donnez le nom des ensembles de nombres désignés par les lettres majuscules suivantes:  N  ; Z +ou- ; D ;  D +ou- ;   Q  ;  R  

 

EVALUATION:   

 

 

1) entourez les nombres

 

 a ;b ; 7  ;c ;d ; 1 ; 11 ; l 2 ; 3 ; m ; o ; p ; 5 ; g ; 6 ; 9 ; y ; u ; t ; 0 ; e ; 2 ; q ;s ; 4 ;  r ; 8

 

2 )   Ranger les nombres suivants dans leur ensemble :

 

 (+63) ; 4 ; (-564)  ; (+5,89 ) ; 267 ; (- 0,23) ; (+89,56) ; (+5) ; (- 781 ) ;  (+125 ) ; 5 ;(+ 5678 ) ;

 -   (-5) ; 3 ; (-89) ;(-1536) ; (+0.23) ; (-5,89 ) ; 2567   ; (-89,56) ;

 

3 ) Construire un ensemble "E " fini  de 4 nombres relatifs,(les classer par ordre croissant)

 

4 ) Construire l'ensemble  "S" infini des nombres paires.

 

ALGEBRE:

 

Quel nom donne t on à "x"; "y";…. ,que représente - elle ?

 

Donner un  exemple de  valeur à "x" et "y"  pour chaque ensemble de nombre.

 

 

Soit ""

Soit ""

N

 

 

D

 

 

Z

 

 

D+ ou-

 

 

R

 

 

 

Soit les deux écritures

Qu'indique la valeur numérique?

X2

 

X2

 

 

 

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