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Les suites et ensembles de nombres

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   Boule verte

Objectif précédent   Sphère metallique

2°) découverte : les suites arithmétiques.

Objectif suivant Sphère metallique

Voir : les logarithmes

   tableau    Sphère metallique192

Voir : définitions et propriété (niveau 4)

DOSSIER :

 Les SUITES ou PROGRESSIONS ARITHMETIQUES

Partie 1 :

I )      LA PROGRESSION ARITHMETIQUE (définition).

II )     RECHERCHE DU  Nième  terme d’une progression .

III )    REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE 

IV)    EXERCICES et PROBLEMES RESOLUS 

 

Partie 2 :

I ) SOMME D’UN CERTAIN NOMBRES DE TERMES CONSECUTIFS D’UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE

II ) SOMME des   n  premiers  TERMES CONSECUTIFS D’UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE.

III ) INSERTION DE  MOYENS ARITHMETIQUES 

 

 

 

TEST

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COURS

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Interdisciplinarité

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COURS (partie 1)

 

 

Exemple : Les marches d’un escalier ont une hauteur de 17 cm . le niveau de la première marche est situé à 5 cm au dessus du sol . écrivons la suite des hauteurs atteintes par les marches successives :  5 ; 22 ; 39 ; 56 ; 73 ; 90 ; 107 ; 114 .

Cette suite , dont chaque terme est obtenu en ajoutant « 17 » au terme précédent, se nomme progression arithmétique. ( « 17 » est le nombre constant appelé « raison »)

 

I )  LA PROGRESSION ARITHMETIQUE :

 

Définition : une progression arithmétique est une suite de nombres  appelés « termes »  tels que chacun d’eux  se déduit du précédent  par addition  d’un nombre  appelé « raison ».

On dit aussi que le terme suivant est égal à celui qui le précède , augmenté d’une quantité constante, que l’on appelle  « raison » de la progression.

 

La progression est « croissante » ou « décroissante suivant que la raison est positive ou négative.

 

Exemple de  progression croissante

Exemple de  progression décroissante

 ;7 ;12 ;17 ;22 ;27 ;32

est une progression croissante de raison « 5 »

20 ; 16 ; 12 ; 8 ; 4

     est une progression décroissante de raison « - 4 »

Elle s’énonce :

2 est à 7 comme  7 est à 12  comme  12 est à 17 ;etc.

Elle s’énonce :

20 est à 16 comme 16 est à 12 ; comme 12 est à 8 ;etc.

Dans une  progression croissante :

                       r > 0

Dans une  progression décroissante :

           r < 0

 

 

Si la raison est nulle , tous les termes sont égaux.

 

Dans les suites arithmétiques  ( dites aussi "progressions arithmétiques" ) 

 

Chaque terme noté "u" est égal au précédent augmenté d'une constante "b" (appelée  "raison de la progression" )

 

Autre façon de dire:

Si  u1  =u 0 + b  ( ainsi le terme 1 est égal au terme u 0  plus la raison "b")

 Si   u2  = u1 + b  ( ainsi le terme de rang 2 est égal au terme 1 plus la raison "b")

Si   u3  = u2 + b  ( ainsi le terme 3 de rang est égal au terme 2 plus la raison "b")

 

On  désignera  le nième terme  par     un  le terme général.

Nous en déduisons la forme générale :un  = un-1+ b

 

On appelle "r" la raison de la suite arithmétique ;chaque terme  se déduit du précédent en ajoutant le même nombre ( r) , sauf  bien entendu le premier.

 

Et l'on écriera :

un  = un-1+ r

 

Remarque : Si  u0  vaut : 0 

  u1  =0 + b  ( ainsi le terme 1 est égal à la raison "b")

  u2  = b + b  ( ainsi le terme de rang 2 est égal au terme 1 plus la raison "b")

  u3  = u2 + b  = b +b +b = 3b ( ainsi le terme 3 de rang est égal au terme 2 plus la raison "b")

 

Si on désigne la raison par la lettre "r" : alors : on pourra écrire que

                Si u0 =0  alors                              un  = 0+ nr = nr

 

 

On retiendra que :       la valeur d’un terme quelconque d’une progression arithmétique est égal au 1er terme augmenté d’autant de fois la raison qu’il y a de termes avant celui que l’on calcule.

 

II )   RECHERCHE de la valeur du  Nième  terme d’une progression .

 

                         Théorème : Dans une progression arithmétique , un terme de rang « n » est égal au premier , plus  (ou moins)  autant de fois la raison   qu’il y a de termes avant lui.

 

Soit « r » la raison et « n » le nombre des termes jusqu’à « u »

On voit facilement que :

Le premier terme est « a »

Le deuxième terme est   b = a + r

Le troisième terme  est  c =  b + r    ou   a + r + r   = a + 2 r

Le quatrième terme est  d = c + r  = b + r + r  = a + r + r +r  =  a + 3 r

Si l’on veut avoir le terme « u » , on aura la formule :

U = a + ( n –1 ) r

 

 

Si la progression arithmétique est décroissante la formule sera :

U = a – ( n- 1) r

 

On peut donc exprimer un en fonction de u1 ; r et n :

Nous avons vu précédemment  que   u = a + ( n –1 ) r

 

    Si   U représente  un (la valeur du nième terme)  ; « a » représente u1 (le premier terme ):

On peut écrire                    un = u1 + ( n –1 ) r

 

Exemple :  Suite des nombres impairs positifs :  1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ……

 

C’est la progression arithmétique de premier terme u1 = 1 , de raison « 2 ».

 

Le 1 000ème  nombre impair  est    :     u 1 000 = 1 + ( 999 x 2) = 1 999

 

Le  n ème   nombre impaire est :                 nn =  1  + 2 ( n - 1 )  =   2 n - 1

 

Activités : vérifier pour   n = 1 ; 2 ; 3 ; 4 

 

 

EXERCICES TYPES :

a) Le premier terme étant « 5 » , la raison étant « 3 » , le terme de rang « 18 » :

La valeur du 18ème terme est :    5 +  3 ( 18 - 1)  = 5 +  3 ( 17) = 56

b) Le premier terme d’une progression est « 3 » , la raison est « 5 » , le nombre  « 528 » fait partie de la progression , quel est son rang ?

  « u  =  u1 + r  ( n - 1 ) »   ;    « 528   =  3  + 5  ( n - 1 ) » ;  « 528   =  3  + 5 n - 5 » ; « 528   =   + 5 n - 2 » ; « 530    =   + 5 n » ;  «  n =  530 / 5 » ;  «  n =  106 » ;

conclusion : le nombre « 528 » est au rang « 106 »

 

 

III )   REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE :

 

La représentation graphique d’une progression arithmétique  dans un repère cartésien est une droite  de la forme « y = ax +b » 

«  y = un » ;  « a = r » ; x = (n -1) ; b = u1 -1 ;  

 

remarques :    « u1 » et « r » étant constants , nn  est une fonction linéaire de « n » , de la forme «  un = an + b » ( avec  « a = r » et « b = u1 - r » ) . mais cette fonction n’est définie que pour les valeurs entières , positives de « n »  ( n  N * ). Le graphe de cette fonction est donc constitué par une succession de points alignés.

 

Exemple :Nombres impairs.

 

-        de  nombreuses fonctions , dites linéaires , varient en réalité par paliers successifs. C’est ainsi que le prix d’un billet de chemin de fer varie par tranches de 10 km. Le prix d’une pièce d’étoffe ne peut varier que par paliers de 1 centime au minimum, puisqu’il n’existe aucune unité monétaire inférieure à celle - ci .

On constatera sur de nombreux exemples que la représentation d’une telle fonction par une droite n’est qu’approchée. En réalité , le graphe est constitué par une succession de paliers  figurant les termes d’une progression arithmétique.

 

IV) EXERCICES et PROBLEMES RESOLUS :

 

 un = u1 + ( n –1 ) r

 

Savoir reconnaître une suite arithmétique et  savoir calculer ses éléments : 

 

Exercices

Solution :

Soit « u » la suite arithmétique de premier terme  3 et de raison 5 :

Calculer u1 ; u2 ; u 100

u1 =   3

 u2   =  3 +5 =8

 u 100=  3 + 5(100-1)  = 3 + 99 fois5 =498

Soit « u » la suite arithmétique de premier terme « u1 »= 12

 et telle que u 25 =84

1)   calculer la raison de cette suite.

2)   Calculer u15

1)   u 25 = u1 + 24 fois r

par transformation on obtient :

r =    ; soit  r = =3

 

2) u15 = u1 +14 fois 3 = 12 +52 =64

 

Calculer le 21ème terme de la progression : 5 ; 13 ; 21 ; 29 ;…..

Calcul de « r » = 21 - 13 = 8

Calcul de U21 = 5 + (20 x 8 )  = 165

Calculer le 27ème nombre impair . Les nombres impairs forment la progression : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; …..de raison 2.

 U27 =  1 + ( 26 x 2 )   = 53

 

 

 

 

PROBLEME 1:

 

Quelle est la hauteur d’une tour au dessus du sol, sachant que l’on doit gravir 90 marches de 18 cm chacune au dessus de la première , et que la première n’a que 15 cm. ?

 

Solution :

Le premier terme de la progression est 15 cm ; la raison est de 18 cm.

 

La progression arithmétique serait :

15 ; 33 ; 51 ; 69 ;…x

a ; b ; c ;………….u

 

La hauteur de la tour  est égale à la première marche plus autant de fois 18 cm qu’il y a de marches au-dessus de la première , soit 90-1 = 89

 

On peut écrire :    x = 15 + 89  18   ;   x = 1 617 cm

 

Ou en appliquant la formule générale :

un = u1 + ( n –1 ) r

                                      u = 15 + ( 90 – 1 ) 18 =   1617

 

Exercices résolus  :

Solutions

1 ) Calculer la valeur du  millième terme de la progression arithmétique de raison  dont le premier terme est 1 vaut :

= 667

 

2°) La suite des nombres impaires  est une progression arithmétique de raison 2 dont le premier terme es 1 :

tel que  1 ; 3 ;7 ;9 ;11 ;13 ..; que représente le Nième nombre impaire .

Le nième   nombre impaire est :

             1 + 2 (n-1)  = 2 n -1

 

 

3°) on recherche  la raison « r » d’une progression :

on connaît : le premier terme  = 2 , le 50 ième terme  = 149

 

 149 = 2 +  r (50 –1 )

149 = 2 = 49 r

147 = 49 r

 

r =

r = 3

 

4°) Soit « u la suite arithmétique de premier terme « 3 » et de raison « –2 » , sachant que un = -19 , retrouver « n »

On sait que un = u1 + ( n –1 ) r

Donc  (n – 1 ) r   = un - u1

Ce qui donne :    

Donc    = 11

 

Conclusion :  n = 12

5°) Soit  u la suite arithmétique telle que         u 10 = 18,5 et u 25 = 48,5

Calculer le premier terme de la suite et sa raison.

Calcul de la raison :

On peut savoir  que : u 10 = u1+ 9 r

 et que        u 25 = u1 + 24 r

on peut donc calculer

   u 25 - u 10   = (u1 + 24 r )  -  (u1+ 9 r) = 15 r

 on sait que

             u 25- u 10   =  48,5 – 18,5  = 30

donc on peut écrire :

               15 r  = 30

                    r   = 2

calcul du premier terme :

on a vu que :   u 10 = u1+ 9 r on en déduit que     u1  =  u 10 - 9 r   ;

u1  =  18,5 – 9 fois 2

u1  =  18,5 – 18

u1  =  0,5 

6°) soit « u » la suite des nombres entiers impairs .Ecrire les 5 premiers termes.

Cette suite est-elle arithmétique ? si oui quelle est sa raison ?

Soit « n » entier supérieur ou égal à 1 , exprimer « un » en fonction de n

u1 =1 ; u2 =3 ; u3 = 5 ; u4 =7 ; u5 = 9

 

cette suite est de raison : 2

un = 2n -1

 

COURS (partie 2)

 

Théorème 1 : dans toute progression arithmétique , un terme quelconque est égal à la moyenne arithmétique ( demi - somme)  du terme qui le précède  et de celui qui le suit.

 

Si « a » ; « b » ; « c » sont trois termes consécutifs d’une progression , dont la raison est « r » on a :

 «  c = b + r » ; « c = d - r » ; d’où  « 2c = b + d »  et 

 

 

 

 

 

 

I ) SOMME D’UN CERTAIN NOMBRES DE TERMES CONSECUTIFS D’UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE.

 

Théorème : Dans une progression arithmétique limitée , la somme de deux termes quelconques équidistants des extrêmes est constante et égale à la somme des extrêmes.

 

En effet , le terme qui en  a  par exemple « 3 » avant lui est égal à « a + 2r » ; celui qui en a « 3 » après lui est égal à «  l - 2r » , puisque  « l » est égal à ce terme plus « 2r » . Donc la somme des 2 termes  considérés est  «  a + 2r + l  - 2r = a + l »

Dans ces conditions , on comprend  que l’on ait :

 

                                               

« n » étant le nombre de termes ; « a »  et « l » sont les termes extrêmes  de la progression arithmétique. (voir la démonstration ci dessous)

 

Démonstration : soit la progression arithmétique limitée de raison « r », dont les termes extrêmes sont « a » et « l »

 

 «  a ; a + r ; a + 2r ; a + 3 r ; …(centre de la progression)….. ; l - 3r ;  l  - 2r ; l - r ;  l 

 

on peut écrire que         a + 3 r  + l - 3r  =  a +  l       (sont des extrêmes )

 

                         ou         a + 2 r  + l - 2r  =  a +  l       (sont des extrêmes )

 

                          ou         a +  r  + l - r  =  a +  l       (sont des extrêmes )

 

Exemple :  soit la suite   2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20     [on identifie  ( r = 3 ; a = 2 ; l = 20)  ]

 

La somme des extrêmes =  2 + 20 = 22         ( a +  l )

 

 

On remarque que :

 

( a + r) + ( l - r)              ®

5   + 17    =   22

Et  2 + 20 = 22  = ( a +  l )

( a +2 r) + ( l - 2r)           ®

8   + 14    =  22

Et  2 + 20 = 22  = ( a +  l )

Généralisation :  à la somme des termes d’une progression arithmétique limitée.

 

Soit la progression arithmétique de « n » termes.

   «  a ; b ; c ; d ; …………………………… …..; j ; k ;  l » 

 

Nous pouvons écrire la somme des termes soit en commençant par le premier terme , soit en commençant par le dernier terme.

 

   « S  =   +  b   +   c  +  d + …………………………… …..+ j    +     +  l » 

 

   « S  =   l   +    +      +  i  + …………………………… …..+  c  +    +  a  » 

 

additionnons membre à membre , il vient

 

« 2S  =  (a + l )+ (b + k)  +   (c  +  j)  + …………..+ ( j  + c ) + (k + b) +  (l +a ) » 

le second membre  est la somme de « n » parenthèses. Chacune étant la somme de deux termes équidistant des extrêmes est égala à «  a + »  d’où :

 

 

 Règle : La somme des termes d’une progression arithmétique limitée est égale au produit de la demi - somme des extrêmes par le nombre des termes.

 

Exemple 1 : calculer la somme des termes de la progression : 15 ; 24 ; 33 ; 42 ; 51 ; 60

( on reconnaît une suite arithmétique de raison 9) 

Solution :                                               

 

Exemple 2 :  (la première question a été traité  dans le chapitre précédent ) Des casiers de même dimension sont empilés les uns sur les autres en formant une progression arithmétique de raison 1 . Sachant qu’il y a 9 rangées de casiers et que la rangée supérieure en contient 15 , combien en contient la rangée inférieure ? Calculer le nombres de casiers empilés .

 

 

Solution de la première partie  : de la formule :   un = u1 + ( n –1 ) r

 

                                           un =  15 ( 9 - 1 ) x 1 

                                           un =  15 + 8  = 23

 

Solution : le premier terme ( la première rangée ) vaut « 15 » le dernier terme ( la dernière rangée ) vaut « 23» ; il y a « 9 » termes ( rangées)

 

 

 

 

 

 

Remarque 1 : la rangée du milieu est la demi - somme  des rangées extrêmes quand le nombre de rangées est impair.

Il suffit donc de compter les casiers de cette rangée qui est ici la 5ème , on trouve « 19 » et multiplier ce nombre par le nombre de rangée  soit   19 fois 9 = 171

Remarque 2 : Si pour une cause quelconque ( encombrement par exemple) on ne peut compter que la première rangée et le nombre de rangées  , on calcule la dernière rangée  par la formule :        l  =  a  + ( n - 1 ) r

Du reste  si nous remplaçons, dans la formule de la somme , « l » par cette valeur nous aurons :

 

 

 

 

 

Exemple 1 .  Calculer la somme des 30 premiers nombres impairs :

 

S  =  1  +  3  +  5  +  7 + …

Calcul :

               Remarque . Nous voyons que la somme des « n » premiers nombres impairs est égal à « n² »

 

 

 

Exemple 2 :  calculer la somme des termes de la progression dont le premier terme est « 5 » , la raison « 3 » et le nombre de termes « 30 » .

 

Calcul :

 

  d’ où                     S = 1 455

 

 

 

II ) SOMME des   n  premiers  TERMES CONSECUTIFS D’UNE PROGRESSION ARITHMETIQUE.

 

Si    S =  u1   +  u2 +  u 3 + …….+ un

Alors  

 

Exemple :  soit une suite des 12 premiers nombres appartenant à la même suite arithmétique , dont la valeur du premier vaut « 4 »  et le dernier vaut « 92 ». calculer la valeur de la somme de ces 12 premiers nombres.

Solution :   « n = 12 » ; « u1 = 4 » ; « u2= 92 » , on applique la formule :

 

 

 

 

III) INSERTION DE  MOYENS ARITMETIQUES :

 

Problème :Etant donnés deux nombres « a » et « b » ,  insérer entre eux un certain nombre « n » de moyens arithmétiques , c’est à dire former  une progression arithmétique de ( n + 2)  termes  dont « a » et « b » seront  les extrêmes.

 

Pour faire ce problème, il nous suffit de trouver la raison « r » de la progression .

 

Nous avons :                   l = a + ( n + 2  - 1) r

 

Donc                               l - a = ( n + 1 ) r

 

                     Et               

 

Exemple 1:       Insérer « 7 » moyens arithmétiques entre « 16 »  et « 48 »

 

 

Calcul de « r » :  

 

 

La progression sera :   16 ;  20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; 40 ; 44 ; 48

 

C’est ce problème que nous  traitons sur le problème n°2  en interdisciplinarité .

 

Règle :        la raison de la progression obtenue par l’insertion de « n » moyens arithmétiques entre deux nombres s’obtient en divisant la différence de ces nombres par le nombre des moyens à insérer , plus un .

 

Exemple 2 : Insérer 6 moyens arithmétiques entre 10 et 24 ;calculer la raison et donner la progression :

Solution :

 la raison de la progression est :   

 

la progression est la suivante :  10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18 ; 20 ; 22 ; 24

 

 

 


……………………………………………………………………………………………………………………………………….


CONTROLE :

 

Traduire : un  = un-1+ r

 

1 ) Donner une définition d’une suite arithmétique :

2 ) Qu’appelle t on «  raison » :

3 )Quand dit-on qu’une progression  est « croissante ou «  décroissante » ?

4) quelle est la formule qui permet de rechercher le Nième terme d’une progression ?

5 ) Quelle est la formule qui permet de trouver (ou d’en déduire) le terme suivant dans une progression arithmétique ?

 

EVALUATION :

Exercices   :

Série 1

Soit « u » la suite arithmétique de premier terme  3 et de raison 5 :

Calculer u1 ; u2 ; u 100

Soit « u » la suite arithmétique de premier terme « u1 »= 12

 et telle que u 25 =84

3)   calculer la raison de cette suite.

4)   Calculer u15

 

Série 2

1 ) Le millième terme de la progression arithmétique de raison  dont le premier terme est 1 vaut ?:

2°) La suite des nombres impairs  est une progression arithmétique de raison 2 dont le premier terme es 1 :

tel que  1 ; 3 ;7 ;9 ;11 ;13 ..; donner le modèle mathématique.

3°) on recherche  la raison « r » d’une progression :

on connaît : le premier terme  = 2 , le 50 ième terme  = 149

 

4°) Soit « u la suite arithmétique de premier terme « 3 » et de raison –2 , sachant que un = -19 , retrouver « n »

5°) Soit  u la suite arithmétique telle que         u 10 = 18,5 et u 25 = 48,5

Calculer le premier terme de la suite et sa raison.

 

6°) soit « u » la suite des nombres entiers impairs .Ecrire les 5 premiers termes.

Cette suite est-elle arithmétique ? si oui quelle est sa raison ?

Soit « n » entier supérieur ou égal à 1 , exprimer « un » en fonction de n

 

 

 


INTERDISCIPLINARITE

 

 

PROBLEME 1:

Quelle est la hauteur d’une tour au dessus du sol, sachant que l’on doit gravir 90 marches de 18 cm chacune au dessus de la première , et que la première n’a que 15 cm. ?

 

PROBLEME 2:   5 disques métalliques étagés  forment un cône et sont en progression arithmétique. Le plus grand disque a un diamètre de 240 mm et la plus petite 80 mm. Calculer la raison de la progression  et déterminer le diamètre des 3 autres disques. :

PROBLEME 3: Des casiers de même dimension sont empilés les uns sur les autres en formant une progression arithmétique de raison 1 . Sachant qu’il y a 9 rangées de casiers et que la rangée supérieure en contient 15 , combien en contient la rangée inférieure ?

 

Problème 4 : (sciences : Info plus )

Un mobile de déplace librement à Paris 4,90 m pendant la première seconde et successivement 9,80 m de plus pendant chacune des secondes qui suivent . Quel chemin parcourt -il  pendant la cinquième seconde ?

 

Problème 5 :   Un bureau d’études est chargé  de mener à bien le projet de construction d’une pyramide ( base carrée )  du style de celle du Louvre.

 

Combien de plaques de verre , toutes identiques et ayant la forme de triangles équilatéraux , sont - elles nécessaire à la réalisation d’un ouvrage  constitué de 12 niveau ?

 

Info :

On note :

« u1 »  le nombre de plaques constituant le niveau le plus haut ; ( 4  plaques : 4 côtés ; 1 triangle)

 « u2 »  le nombre de plaques du niveau sous - jacent ; 

« Un »  le nombre de plaque du nième niveau sous- jacent ;  

 

1°) S’aider d’un dessin pour trouver la valeur de la raison : ..............................

 

2°)  Déterminer :  u 12      avec la formule  « un  =  u 1 + ( n -  1 )  r   » ;

 

 

3°) Calculer le nombre de plaques nécessaire à l’édification de cette pyramide de 12  niveaux.

 

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