DOSSIER : Les SUITES ou PROGRESSIONS ARITHMETIQUES   CORRIGE

 

CONTROLE :

 

1 ) Donner une définition d’une suite arithmétique : Définition : une progression arithmétique ou par différence est une suite de nombres tels que chacun d’eux est égal à celui qui le précède , augmenté d’une quantité constante, que l’on appelle  « raison de la progression ».

 

2 ) Qu’appelle t on «  raison » : on appelle « raison »  une quantité constante que l’on ajoute à chaque terme d’une progression

3 )Quand dit-on qu’une progression  est « croissante ou «  décroissante » ?  La progression est « croissante » ou « décroissante suivant que la raison est positive ou négative.

 

4) quelle est la formule qui permet de rechercher le Nième terme d’une progression ?

 

un = u1 + ( n -1 ) r

 

 

5 ) Quelle est la formule qui permet de trouver (ou d’en déduire) le terme suivant dans une progression arithmétique ?

si  On appelle "r" la raison de la suite arithmétique ;chaque terme  se déduit du précédent en ajoutant le même nombre ( r) , sauf  bien entendu le premier.

 

Et l'on écriera :

 

un  = un-1+ r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EVALUATION

 

Série 1

 

Soit « u » la suite arithmétique de premier terme  3 et de raison 5 :

Calculer u1 ; u2 ; u 100

u1 =   3

 u2   =  3 +5 =8

 u 100=  3 + 5(100-1)  = 3 + 99 fois5 =498

 

 

Soit « u » la suite arithmétique de premier terme « u1 »= 12

 et telle que u 25 =84

1)     calculer la raison de cette suite.

2)     Calculer u15

1)     u 25 = u1 + 24 fois r

par transformation on obtient :

r =    ; soit  r = =3

2) u15 = u1 +14 fois 3 = 12 +52 =64

 

 

 

Série 2

 

Exercices   :

1 ) Le millième terme de la progression arithmétique de raison  dont le premier terme est 1 vaut :

= 667

2°) La suite des nombres impaires  est une progression arithmétique de raison 2 dont le premier terme es 1 :

tel que  1 ; 3 ;7 ;9 ;11 ;13 ..;

Le n –ième  nombre impaire est :

             1 + 2 (n-1)  = 2 n -1

3°) on recherche  la raison « r » d’une progression :

on connaît : le premier terme  = 2 , le 50 ième terme  = 149

 

 

 149 = 2 +  r (50 –1 )

149 = 2 = 49 r

147 = 49 r

 

r =

r = 3

 

 

4°) Soit « u la suite arithmétique de premier terme « 3 » et de raison –2 , sachant que un = -19 , retrouver « n »

On sait que un = u1 + ( n –1 ) r

Donc  (n – 1 ) r   = un - u1

Ce qui donne :    

 

Donc    = 11

 

Conclusion :  n = 12

 

5°) Soit  u la suite arithmétique telle que         u 10 = 18,5 et u 25 = 48,5

Calculer le premier terme de la suite et sa raison.

Calcul de la raison :

On peut savoir  que : u 10 = u1+ 9 r

 et que        u 25 = u1 + 24 r

on peut donc calculer

   u 25 - u 10   = (u1 + 24 r )  -  (u1+ 9 r) = 15 r

 on sait que

             u 25- u 10   =  48,5 – 18,5  = 30

donc on peut écrire :

               15 r  = 30

   r   = 2

calcul du premier terme :

on a vu que :   u 10 = u1+ 9 r on en déduit que     u1  =  u 10 - 9 r   ;

u1  =  18,5 – 9 fois 2

u1  =  18,5 – 18

u1  =  0,5 

6°) soit « u » la suite des nombres entiers impairs .Ecrire les 5 premiers termes.

Cette suite est-elle arithmétique ? si oui quelle est sa raison ?

Soit « n » entier supérieur ou égal à 1 , exprimer « un » en fonction de n

u1 =1 ; u2 =3 ; u3 = 5 ; u4 =7 ; u5 = 9

 

cette suite est de raison : 2

un = 2n -1

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

PROBLEME 1:

Quelle est la hauteur d’une tour au dessus du sol, sachant que l’on doit gravir 90 marches de 18 cm chacune au dessus de la première , et que la première n’a que 15 cm. ?

 

Solution :

Le premier terme de la progression est 15 cm ; la raison est de 18 cm.

 

La progression arithmétique serait :

15 ; 33 ; 51 ; 69 ;…x

a ; b ; c ;………….u

 

La hauteur de la tour  est égale à la première marche plus autant de fois 18 cm qu’il y a de marches au-dessus de la première , soit 90-1 = 89

 

On peut écrire :    x = 15 + 89  18   ;   x = 1 617 cm

 

Ou en appliquant la formule générale :

un = u1 + ( n –1 ) r

u = 15 + ( 90 – 1 ) 18 =   1617

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

PROBLEME 1:

Quelle est la hauteur d’une tour au dessus du sol, sachant que l’on doit gravir 90 marches de 18 cm chacune au dessus de la première , et que la première n’a que 15 cm. ?

 

PROBLEME 2:   5 disques métalliques étagés  forment un cône et sont en progression arithmétique. Le plus grand disque a un diamètre de 240 mm et la plus petite 80 mm. Calculer la raison de la progression  et déterminer le diamètre des 3 autres disques. :

Solution : de la formule :   un = u1 + ( n –1 ) r

 

Nous tirons :  ( n - 1 ) r  =  u n - u 1

 

                       Et    

Dans ce cas :

            

 

la progression peut s’écrire :  80 ; 120 ; 160 ; 200 ; 240

elle nous donne les diamètres des disques.

 

PROBLEME 3:

 

Des casiers de même dimension sont empilés les uns sur les autres en formant une progression arithmétique de raison 1 . Sachant qu’il y a 9 rangées de casiers et que la rangée supérieure en contient 15 , combien en contient la rangée inférieure ?

 

Solution : de la formule :       un = u1 + ( n –1 ) r

 

                                           un =  15 ( 9 - 1 ) x 1  

 

                                           un =  15 + 8  = 23

 

 

 

Problème 4 : (sciences : Info plus )

Un mobile de déplace librement à Paris 4,90 m pendant la première seconde et successivement 9,80 m de plus pendant chacune des secondes qui suivent . Quel chemin parcourt -il  pendant la cinquième seconde ?

Solution :  l’espace parcouru pendant la cinquième est le cinquième terme d’une progression arithmétique dont le premier terme est 4,90  et la raison « 9,8 ». Il a pour valeur :     4 , 90  + ( 5 - 1) 9,80  =  4,90 +  4 x 9,80 =  44 , 10

 

 

Problème 5 :   Un bureau d’études est chargé  de mener à bien le projet de construction d’une pyramide ( base carrée )  du style de celle du Louvre.

 

Combien de plaques de verre , toutes identiques et ayant la forme de triangles équilatéraux , sont - elles nécessaire à la réalisation d’un ouvrage  constitué de 12 niveau ?

 

Info :

On note :

« u1 »  le nombre de plaques constituant le niveau le plus haut ; ( 4  plaques : 4 côtés ; 1 triangle)

 « u2 »  le nombre de plaques du niveau sous - jacent ; 

« Un »  le nombre de plaque du nième niveau sous- jacent ;  

 

1°) S’aider d’un dessin pour trouver la valeur de la raison : r =  8    ( 2 fois 4 côtés)

 

2°)  Déterminer :  u 12      avec la formule  « un  =  u 1 + ( n -  1 )  r   » ;

 

« Un =  4  +  ( 12 - 1 ) 8 »  soit « Un =  4  +  ( 11 ) 8 =  4 + 88 = 92  plaques» 

 

3°) Calculer le nombre de plaques nécessaire à l’édification de cette pyramide de 12  niveaux.