DOSSIER : Les SUITES ou PROGRESSIONS ARITHMETIQUES CORRIGE

CONTROLE :

1 ) Donner une définition d’une suite arithmétique : Définition : une progression arithmétique ou par différence est une suite de nombres tels que chacun d’eux est égal à celui qui le précède , augmenté d’une quantité constante, que l’on appelle « raison de la progression ».

2 ) Qu’appelle t on «  raison » : on appelle « raison »  une quantité constante que l’on ajoute à chaque terme d’une progression

3 )Quand dit-on qu’une progression est « croissante ou «  décroissante » ? La progression est « croissante » ou « décroissante suivant que la raison est positive ou négative.

4) quelle est la formule qui permet de rechercher le Nième terme d’une progression ?

u_n = u₁ + ( n -1 ) r

5 ) Quelle est la formule qui permet de trouver (ou d’en déduire) le terme suivant dans une progression arithmétique ?

si On appelle "r" la raison de la suite arithmétique ;chaque terme se déduit du précédent en ajoutant le même nombre ( r) , sauf bien entendu le premier.

Et l'on écriera :

u_n = u_n-1+ r

EVALUATION

Série 1

Soit « u » la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 5 : Calculer u1 ; u2 ; u 100	u1 = 3 u2 = 3 +5 =8 u 100= 3 + 5(100-1) = 3 + 99 fois5 =498
Soit « u » la suite arithmétique de premier terme « u1 »= 12 et telle que u 25 =84 1) calculer la raison de cette suite. 2) Calculer u15	1) u 25 = u1 + 24 fois r par transformation on obtient : r = ; soit r = =3 2) u15 = u1 +14 fois 3 = 12 +52 =64

Série 2

Exercices  :

1 ) Le millième terme de la progression arithmétique de raison dont le premier terme est 1 vaut :	= 667
2°) La suite des nombres impaires est une progression arithmétique de raison 2 dont le premier terme es 1 : tel que 1 ; 3 ;7 ;9 ;11 ;13 ..;	Le n –ième nombre impaire est : 1 + 2 (n-1) = 2 n -1
3°) on recherche la raison « r » d’une progression : on connaît : le premier terme = 2 , le 50 ^ième terme = 149	149 = 2 + r (50 –1 ) 149 = 2 = 49 r 147 = 49 r r = r = 3

4°) Soit « u la suite arithmétique de premier terme « 3 » et de raison –2 , sachant que un = -19 , retrouver « n »	On sait que un = u1 + ( n –1 ) r Donc (n – 1 ) r = un - u1 Ce qui donne : Donc = 11 Conclusion : n = 12
5°) Soit u la suite arithmétique telle que u 10 = 18,5 et u 25 = 48,5 Calculer le premier terme de la suite et sa raison.	Calcul de la raison : On peut savoir que : u 10 = u1+ 9 r et que u 25 = u1+ 24 r on peut donc calculer u 25 - u 10 = (u1+ 24 r ) - (u1+ 9 r) = 15 r on sait que u 25- u 10 = 48,5 – 18,5 = 30 donc on peut écrire : 15 r = 30 r = 2 calcul du premier terme : on a vu que : u 10 = u1+ 9 r on en déduit que u1 = u 10 - 9 r ; u1 = 18,5 – 9 fois 2 u1 = 18,5 – 18 u1 = 0,5
6°) soit « u » la suite des nombres entiers impairs .Ecrire les 5 premiers termes. Cette suite est-elle arithmétique ? si oui quelle est sa raison ? Soit « n » entier supérieur ou égal à 1 , exprimer « un » en fonction de n	u1 =1 ; u2 =3 ; u3 = 5 ; u4 =7 ; u5 = 9 cette suite est de raison : 2 un = 2n -1

INTERDISCIPLINARITE

PROBLEME 1:

Quelle est la hauteur d’une tour au dessus du sol, sachant que l’on doit gravir 90 marches de 18 cm chacune au dessus de la première , et que la première n’a que 15 cm. ?

Solution :

Le premier terme de la progression est 15 cm ; la raison est de 18 cm.

La progression arithmétique serait :

15 ; 33 ; 51 ; 69 ;…x

a ; b ; c ;………….u

La hauteur de la tour est égale à la première marche plus autant de fois 18 cm qu’il y a de marches au-dessus de la première , soit 90-1 = 89

On peut écrire : x = 15 + 89 18 ; x = 1 617 cm

Ou en appliquant la formule générale :

u_n = u₁ + ( n –1 ) r

u = 15 + ( 90 – 1 ) 18 = 1617

INTERDISCIPLINARITE

PROBLEME 1:

Quelle est la hauteur d’une tour au dessus du sol, sachant que l’on doit gravir 90 marches de 18 cm chacune au dessus de la première , et que la première n’a que 15 cm. ?

PROBLEME 2: 5 disques métalliques étagés forment un cône et sont en progression arithmétique. Le plus grand disque a un diamètre de 240 mm et la plus petite 80 mm. Calculer la raison de la progression et déterminer le diamètre des 3 autres disques. :

Solution : de la formule : u_n = u₁ + ( n –1 ) r

Nous tirons : ( n - 1 ) r = u _n - u ₁

Et

Dans ce cas :

la progression peut s’écrire : 80 ; 120 ; 160 ; 200 ; 240

elle nous donne les diamètres des disques.

PROBLEME 3:

Des casiers de même dimension sont empilés les uns sur les autres en formant une progression arithmétique de raison 1 . Sachant qu’il y a 9 rangées de casiers et que la rangée supérieure en contient 15 , combien en contient la rangée inférieure ?

Solution : de la formule : u_n = u₁ + ( n –1 ) r

u_n = 15 ( 9 - 1 ) x 1

u_n = 15 + 8 = 23

Problème 4 : (sciences : Info plus )

Un mobile de déplace librement à Paris 4,90 m pendant la première seconde et successivement 9,80 m de plus pendant chacune des secondes qui suivent . Quel chemin parcourt -il pendant la cinquième seconde ?

Solution : l’espace parcouru pendant la cinquième est le cinquième terme d’une progression arithmétique dont le premier terme est 4,90 et la raison « 9,8 ». Il a pour valeur : 4 , 90 + ( 5 - 1) 9,80 = 4,90 + 4 x 9,80 = 44 , 10

Problème 5 : Un bureau d’études est chargé de mener à bien le projet de construction d’une pyramide ( base carrée ) du style de celle du Louvre.

Combien de plaques de verre , toutes identiques et ayant la forme de triangles équilatéraux , sont - elles nécessaire à la réalisation d’un ouvrage  constitué de 12 niveau ?

Info :

On note :

« u₁ » le nombre de plaques constituant le niveau le plus haut ; ( 4 plaques : 4 côtés ; 1 triangle)

« u₂ » le nombre de plaques du niveau sous - jacent ;

« U_n » le nombre de plaque du nième niveau sous- jacent ;

1°) S’aider d’un dessin pour trouver la valeur de la raison : r = 8 ( 2 fois 4 côtés)

2°) Déterminer : u ₁₂ avec la formule « u_n  = u ₁ + ( n - 1 ) r » ;

« U_n = 4 + ( 12 - 1 ) 8 » soit « U_n = 4 + ( 11 ) 8 = 4 + 88 = 92 plaques»

3°) Calculer le nombre de plaques nécessaire à l’édification de cette pyramide de 12 niveaux.