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Suites arithmétiques

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Objectif précédent   Sphère metallique

)découverte de suites géométriques ;

Objectif suivant Sphère metallique

Les logarithmes vulgaires

tableau    Sphère metallique193

 

DOSSIER : Les Suites « ou progression »  géométriques

I )    Définition d’ une  PROGRESSION GEOMETRIQUE :

II )   RECHERCHE DU Nème    TERME.

III )   MOYENNE  GEOMETRIQUE

IV ) RECHERCHE DE LA SOMME DES TERMES d’une progression géométrique limitée.

V)    Insérer « n » moyens géométriques

 

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La suite de nombres U = 2000 ; 2400 ; 2880 ; ….. représentant les productions annuelles d’une entreprise est obtenue par multiplication successives par « 1,2 »  ; c’ est  une suite géométrique.  (l’augmentation de la production annuelle est de 20% l’an)

  Les nombres 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ;..  forment  une progression géométrique de raison « 2 ».

 

► Les nombres   forment  une suite géométrique de raison    

 

@    ( si problème sur le calcul revoir la multiplication d’une fraction par un nombre ou la multiplication de deux fractions de dénominateur différent)

 

 

COURS

 

I )  Définition d’ une  PROGRESSION GEOMETRIQUE :

 

Définition :

 Une progression géométrique  est une suite de termes  tels que chacun d’eux est égal à celui qui le précède, multiplié par une quantité constante appelée « raison : q »

 

Si « u » est la suite géométrique de premier terme u1  = a  et  de raison « q »

Soit « n » entier supérieur ou égal à 2

u1  = a 

u2=u1q   =  a q

u3=u2q   =   ( a q )  q   =  aq ²

u4=u3q   =   ( aq ²) q       =   a q 3

 

u n= u n-1_q     et     u n = u 1  q n -1

 

 

Le quotient de deux termes consécutifs est évidemment constant et égal à la raison .

On appelle aussi les progression géométriques : « progression par quotient ».

Exemples :

(1)   2 ; 6 ; 18 ; 54   ; …………. ; n ; 3 n ;……              est une progression géométrique croissante de raison « 3 ».

(2)   25 ; 5 ;     est une progression géométrique croissante de raison «  ».

 

( 3 )     - 6 ; + 12 ; - 24 ; + 48 ; ………. ; + n ; - 2n  …………. est une progression géométrique croissante de raison « -2 ».

 

Généralisons :

   « 

 

La progression est croissante ou décroissante , suivant que la raison est plus grande ou plus petite que l’unité.

 

Si r >1 : la progression géométrique est croissante :

Exemple les nombres 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ;..  forment  une progression géométrique de raison « 2 ».

 

Si r < 1   : la progression géométrique est décroissante.

les nombres   forment  une suite géométrique de raison 

 

 

« r < 0 : ??? »  On pourrait considérer  comme progressions géométriques des suites de termes telles que :

                                         

dont la raison serait :  ; On remarque que lorsque la raison est négative  , la progression est alternée .

 Il est d’usage de ne considérer comme progressions géométriques  que les suites de nombres « positifs » répondant aux conditions de la définition.

 

Remarque : On peut dire  qu’une progression géométrique est une suite de terme tels que chacun d’eux est égal au précédent multiplié par une quantité constante , positive. Cette quantité constante, représentant le quotient de deux termes consécutifs , est  la raison de la progression . Ce quotient constant explique la dénomination de progressions par quotient que l ‘on donne parfois aux progressions géométriques.

 

Lorsqu’ on  connaît le premier terme et la raison d’une progression géométrique , il est facile de calculer successivement tous les termes  : il suffit de multiplier successivement chaque terme par la raison pour avoir le terme suivant .

Exemple :  Former une progression géométrique de 5 termes dont le premier terme  soit « 625 » et la raison « 1,2 »

On obtient successivement :

625  ´ 1, 2  =  750     ;  750  ´ 1, 2 = 900 ;   900 ´  1 , 2  = 1080  ; 1080 ´ 1,2 = 1296

 

La progression cherchée est donc :  625 ; 750 ; 900 ; 1080 ; 1296

 

On peut aisément remarquer que les termes d’une progression géométrique vont en croissant  ou en décroissant à partir du premier terme à gauche, selon que la raison est un nombre plus grand que « 1 » ou inférieur à « 1 »

 

REMARQUE :

Il est intéressant de comparer les formules    « u1 +  ( n - 1) r ) »  et  « u1 q n - 1 »   qui donnent l’une le nième  terme d’une progression arithmétique , l’autre le nième  d’une progression géométrique. A  l’addition dans la première correspond une multiplication dans la seconde . De même la multiplication de la raison par « n -1 » dans la première est  remplacée dans la seconde par une élévation de la raison à la puissance « n - 1 ».

 

Théorème : Dans une progression géométrique limitée le produit de deux termes , quelconques équidistants des extrêmes est constant et est égal au produit des extrêmes.

Soi t la progression géométrique limitée de raison « q »  dont les termes extrêmes sont « a » et « l »

 

«  a ; q a ; a q² ; a q 3 ; …………………. ;  »

 

            

 

            

             

 

 

 

 

 

II ) RECHERCHE DU N ème    TERME.

 

Théorème : Un terme quelconque d’une progression géométriques est égal au premier terme multiplié par la raison prise autant de fois   comme facteur qu’il y a de termes avant lui.

Soit la suite géométrique :  a ; b ; c ;  d ;….. ;l

Avec  « a »  étant le premier terme ;

Si  « q » la raison et « n » le nombre des termes :

Le premier terme est          « a »

Le second terme   est        b = a q

Le troisième terme est        c = b q = (a q)q = a q2

Le quatrième terme est       d = aq3

La progression peut s’écrire :  a ; a q ; a q² ; a q3 ; a q4 ; ….. ; a qn

Donc un terme d’un rang quelconque est égal au premier terme multiplié par une puissance de la raison ayant un exposant égal au nombre de termes qui le précèdent.

Exemple : la valeur du 5ème terme est égal au 1er  « a » multiplié par « q4 ».

 

La valeur du nème   terme est      = a q n-1

 

                   On voit qu’un terme quelconque est égal au premier multiplié par une puissance de la raison égale au nombre des termes qui le précèdent ; ainsi le terme de rang « n » est « a q n-1» :

 

Exemple 1 : Ainsi le 7ème terme de la progression :   3 ; 6 ; 12 ……..

Dont la raison est « 2 » est égal à :    un =  3  2 7-1   =  3  2 6  =  3    64 = 192   

 

Exemple 2 :Calculer le 8e terme d’une progression géométrique , dont le 1er terme est 4 et la raison 3

Solution : on applique la formule : u = a q n-1

u = 4 3 8-1 ;  u = 4 3 7 ; u = 4 2 187    ;    u = 8 748

 

exemple 3 : trouver le 9ème terme de la progression :  2 ; 6 ; 18 ;….

 :    un =  2  3 8  = 2  6561 =  13 122    

 

FORME GENERALE :

 

si l’on désigne « u =  un » ; «  a = u1 » dans la formule précédente

Soit « n »  entier supérieur ou égal à 2

 

u2=u1q        ;   u3 =  u2q  =   u1qq   =  u1q2   ; u4  =  u3  q  = u1q2q  =  u1q3                                                                                                                                                                                                                                 

 

soit                                           u n  = u1_q n -1

 

 

Formule utilisée en mathématiques commerciales :

Remarque : il arrive parfois que le premier terme soit appelé u0

 

u1=u0q

u2=u1q  = u0qq   = u2=u0q2

 

u3=u2q  = u0q2q=u0q3

un= u0_qn

 

 


III )   MOYENNE  GEOMETRIQUE : ( info plus sur le calcul des moyennes)

 

Théorème : dans toute progression géométrique, un terme quelconque est égal à la « moyenne géométrique » (racine carrée du produit) des deux termes qui le comprennent.

Si « b » ; « c » ; « d » sont trois termes consécutifs d’une progression dont la raison est « q » , on a :

 

   «  c = b ´ q » ;  «  c = d ´  » ; d’ où      « c² = bd »    et  «  c =  »

 

Exemple les nombres 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ;..  forment  une progression géométrique de raison « 2 ».

 

Vérifions si « 16 »  est égal à la moyenne géométrique de  8 et 32 :

 

·       . On pose :    b =   8   ;  c  =  16     ( 8 fois 2 )     ;  d  =   32  ( 16 fois 2) ; 

 

·       Calcul de la valeur de « c » :  c  =  8 fois 2  = 16    et  c =  32 / 2 = 16

·       .   Calcul de c² :

c ² =  16 fois 16   ou    b fois d =  8 fois 32 ;

 c² = 252 ;   

   d’où    ; c = 16

 

exercice : soit 3 nombres consécutifs d ‘une suite géométrique   : 9 ; x ; 81 ; déterminez  par le calcul  la valeur de « x » : puis déterminez la valeur de la raison « q » .

( racine de 729 ;  q = 3 )

 

 

Problème :  Trouver la moyenne géométrique entre  deux quantités.

 

Pour obtenir la moyenne géométrique entre deux quantité données on extrait la racine carrée du produit de ces quantités. Car la proportion continue    donne la relation «  x² = ad »  ou  « x =  

 

 

Info +++

Rappel :

 En géométrie , on établit qu’un rectangle de largeur « a » et de longueur « b » est équivalent en surface à un carré ayant pour côté «  x =  »

 

Par généralisation , on appelle « moyenne géométrique » entre « n » quantités «  a ; b ; c ; d ; e ; … » une quantité « x » 

 

 

 

 

 

 

IV ) RECHERCHE DE LA SOMME DES TERMES d’une progression géométrique limitée.

Résolvons d’abord ce problème pour une progression numérique :

 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; 486

dont la raison est « 3 » , les termes extrêmes étant « 2 » et « 486 »

la somme des termes est :

 

           S  =  2  + 6  + 18  + 54  + 162  + 486                                                             (1)

 

Multiplions par la raison « 3 » les deux membres  de cette égalité nous avons :

 

 

       3 S  =  ( 2 ´  3) + ( 6 ´  3) + ( 18 ´  3) + ( 54 ´  3) +( 162 ´  3) +( 486 ´  3)        (2)

 

Retranchons membre à membre ( 1) et (2) et simplifions : il vient :

 

                                               2 S =  ( 486  ´  3) - 2            ;

on remarque que :   « 486 » est le dernier terme ; « 3 » est la raison ; « 2 » le premier terme

 

 

     

 

d’ où      

; le « 2 » en diviseur représente la valeur de la raison diminuée de « 1 ».

 

 

GENERALISATION :  Soit la progression géométrique :

«  a ; q a ; a q² ; a q 3 ; …………………. ;  »

dont la raison est « q », les termes extrêmes étant « a » et « l »

la somme de ses termes est :

 

 

 

 

«  S =  a + q a  + a q²  + a q 3 ; …………………. ; »   (1)

 

 

Multiplions par la raison « q » les deux membres de cette égalité :

 

«  S q =  a q + + a q²  + a q 3 + a q4 ; …………………. ; »   ( 2)

 

retranchons membre   à membre  (1) et  (2)  et simplifions.

 

          S q - S  =  l q -  a           ;     S ( q - 1 ) =  l q - a

 

D’où :  

 

Dans cette formule remplaçons le nième terme « l » par sa valeur  «  a qn-1 » nous obtenons :

 

                                

 

                                

 

Exemple :  calculer la somme des dix premières puissances de « 2 »

 

   S  =   2  +  2 ²  +  2 3  +  ……………….+ 2 10

 

Nous appliquons la formule précédente :                             

 


Théorème :  la somme des termes d’une progression géométrique croissante est égale au produit du dernier terme par la raison , moins 1 , divisée par la raison diminuée de l’unité.

Soit la progression géométrique croissante :  a ; b ; c ; d ; … ; g  ; h ; k ; l ; de  raison « q » .

La somme des termes est :

égalité (1)                      S = a + b + c + d ……+ g + h + k + l

 

En multipliant par « q » les deux membres de cette égalité, on trouve

égalité ( 2 )                  S q = a q + b q + c q + d q ……+ g q + h q+ k q + l q

 

Retranchons ces deux égalités membre à membre en remarquant que

                       a q = b ;  b q = c ;  c q = d   ; h q = k ; k q = l

 

S q - S =  a q + b q + c q + d q ……+ g q + h q+ k q + l q - a - b - c - d ……- g - h - k - l

 

 

  Et  a q - b = 0 ; b q - c = 0 ;  c q - d = 0 ………

 

 

                                   S q – S = l q - a

 

                                 S (q –1 )  = l q - a

Donc :

                                                    

 

Exemple 1 : calculer la somme des termes de la progression :

             2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; 486 ; 1 458

 

                    

Remarque : dans une  formule précédente on  a vu que : « l  = a q n - 1 »  on peut  alors remplacer « l » par la valeur donnée dans la première formule. On a alors :

      

 

                                                                     

cette formule évite le calcul de « »

 

Exemple 2 : Calculer la somme des 10 premiers nombres de la progression :

    5 ; 20 ; 80 ; 320 ; ……….

 

    

 

 

PROBLEME 1 :

Solution :

   Sessa , philosophe indien, inventa le jeu d’échecs.

Son roi , émerveillé de l’attrait de ce jeu savant et ingénieux, promit à l’inventeur de lui accorder la récompense qu’il pourrait souhaiter.

Le philosophe demanda seulement le nombre de grains de blé qu’on obtiendrait en mettent un grain sur la 1re  case de son échiquier , 2 sur la deuxième case ; 4 sur la troisième et ainsi de suite en doublant toujours jusqu'à la 64e .

Cette demande sembla ridicule au roi ; combien demandait-il de grains ?

 

Nous appliquons la formule :

 

Ainsi :S =

 

 

Réponse :                               18  446  744  073  709  551  615   grains

 

Commentaire : 1 hectolitre (100 litres) contient 1 200 000 grains. La quantité calculée ci dessus exigerait  15 372 286 728 091 hectolitres.

 

 

 

EXERXCICES Résolus :

 

1 °)         Soit « u » la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3

Calculer u1 ; u 2 ; u3 ; u9

u1 =2

 u 2 =6

 u3 =18

 u9  = 13 122

2 ° )   Soit « u » la suite géométrique de raison 2 et telle que  u 10 = 2560

Calculer u1  et u 5

u 10 =  u1  2 9  = 2560

 

u1  =  =5

 

u5 = u1  2 4  = 80

3°) Soit la suite géométrique telle que

          u10 = 98 415 et u 8 = 10 935

Sachant que u1 est strictement positif, calculer la raison « q » puis u1.

u10 = u1  q9

u 8 = u1 q7

donc :

 

soit q2 = = 9

 

d’où q = 3 ou q = -3

 

Puisque u1 et u10   sont positifs , « q » est donc positif.

Conclusion : q = 3 ; u1  = 5

 

On place  un capital de 5000 francs à un taux de 5%. Au bout de combien d’années la valeur acquise sera-t-elle égale au double du capital ?

 

 

 

Voir les logarithmes…….

u0  =  5000

u1 = 50001,05

u2 = 5000 1,052

un  = 5000 1,05n

on cherche « n » , entier tel que 1,05 n =2

Avec la calculatrice (par essais) , on constate que 1,0514 =1,98  et que 1,05 15 = 2,08

 

Au bout de 15 ans , la valeur acquise sera égale au double du capital.

 

 

Insérer « n » moyens géométriques

 

Insérer « n » moyens géométriques entre les deux membres donnés « a » et « b » , c’est à dire former une progression géométrique de ( n + 2) termes  dont « a » et « b » seront les extrêmes.

 

 

 

 

 

 


 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE :

 

1) Donner une définition d’une suite géométrique :

 

2 ) Qu’appelle t on «  raison » dans une suite géométrique ?:

 

3 ) Quand dit-on qu’une progression  est « croissante ou «  décroissante » ?

 

4 ) Quelle est la formule qui permet de trouver (ou d’en déduire) le terme suivant dans une progression géométrique?

 

5 ) Quelle est la Formule utilisée en mathématiques commerciales : qui permet de trouver (ou d’en déduire) le terme suivant dans une progression géométrique?

 
EVALUATION

 

1°) Les progressions suivantes   sont géométriques :calculer  la  raison « q » :

a)     3 ; 6 ; 12 ; 24 ; ……   ( q = 2) 

 

b)    3600 ; 360 ; 36 ; 3,6 ; 0,36 ; ……  ( q = 0,1)

 

 

c)          (  )

 

2°) Dire si les progressions suivantes sont décroissante ou croissante et pourquoi.

 

 3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48        Progression croissante :

La raison est 2

En effet : 32 =6 ;  62 =12 ; 12 2 = 24  ;242 = 48

 

Elle se lit : 3 est à 6 ;comme  6 est à 12 ; comme 12 est à 24

 

 

 

243 ; 81 ; 27 ; 9 ; 3 ; 1   Progression décroissante :est une progression décroissante , dont la raison est

Elle se lit : 243 est à 81 ;comme  81 est à 27 ; comme 27 est à 9

 

 

2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162             croissante de raison « 3 »

 

 

132 ; 66 ; 33 ; 16,5 ; 8,25      décroissante de raison 1/2

 

 

 

 

 

 

 

EXERXCICES   Série 2

 

 

1 °)         Soit « u » la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3.

Calculer     u1 ; u 2 ; u3 ; u9

 

 

2 ° )   Soit « u » la suite géométrique de raison 2 et telle que  u 10 = 2560

Calculer u1  et u 5

 

 

3°) Soit la suite géométrique telle que

          u10 = 98 415 et u 8 = 10 935

Sachant que u1 est strictement positif, calculer la raison « q » puis u1.

 

 

On place  un capital de 5000 euros à un taux de 5%. Au bout de combien d’années la valeur acquise sera-t-elle égale au double du capital ?

Voir les logarithmes…….

 

 

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

PROBLEMES

PROBLEME 1 :

Solution :

   Sessa , philosophe indien, inventa le jeu d’échecs.

Son roi , émerveillé de l’attrait de ce jeu savant et ingénieux, promit à l’inventeur de lui accorder la récompense qu’il pourrait souhaiter.

Le philosophe demanda seulement le nombre de grains de blé qu’on obtiendrait en mettent un grain sur la 1re  case de son échiquier , 2 sur la deuxième case ; 4 sur la troisième et ainsi de suite en doublant toujours jusqu'à la 64e .

Cette demande sembla ridicule au roi ; combien demandait-il de grains ?

 

 

Réponse :                              

 

 PROBLEME  2             On donne : en 1998  il y a en France 60 000 000 de personnes .

          En quelle année la population aura-t-elle doublée (120 000 000 de personnes ) sachant que sa croissance annuelle est de  3%

 

 

 

SUITE géométrique et intérêts composés :

 

 

PROBLEME 3

              Un capital de 9 000 Euros  a produit , capital et intérêts composés , une somme de 12 000 euros , le taux étant de 5 %.

Combien d’année est-il placé ?

 

 

 

PAGE d’exercices supplémentaires :

N°1 : Le 10ème terme d’une progression géométrique est « 1536 » , la raison est « 2 » ; trouver le premier terme.

 

N°2 : Calculer la somme des 10 premiers termes des progressions suivantes :

a)     1 ; 2 ; 2² ; ……

b)     

c)    

d)     

e)     2 ; - 4 ; 8 ; - 16 ; …….

 

N° 3 : trouver la fraction ordinaire génératrice de la fraction périodique « 0, 363636…. » considérée comme la limite de la somme des termes d’une progression géométrique décroissante illimitée.