DOSSIER : Les
Suites « ou progression »
géométriques
) Donner
une définition d’une suite géométrique :
Définition : Une
progression géométrique ou par quotient est une suite de termes tels que chacun d’eux est égal à celui qui le
précède, multiplié par une quantité constante appelée « raison »
2 ) Qu’appelle t on «
raison » dans une suite géométrique :
dans une suite
géométrique la valeur qui multiplie le terme précédent est appelé raison
3 )Quand
dit-on qu’une progression est « croissante
ou « décroissante » ?
La progression est croissante ou décroissante ,
suivant que la raison est plus grande ou plus petite que l’unité.
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Si r >1 : la progression géométrique est
croissante |
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Si r < 1
: la progression géométrique est décroissante |
4 ) Quelle est la formule qui permet de trouver (ou
d’en déduire) le terme suivant dans une progression géométrique? un= u1_
qn-1
5 ) Quelle
est la Formule utilisée en mathématiques commerciales : qui permet de
trouver (ou d’en déduire) le terme suivant dans une progression géométrique?
un=
u0_qn
EVALUATION
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EXERXCICES Série 1 |
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1 °) Soit
« u » la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 Calculer u1 ; u 2 ; u3 ;
u9 |
u1 =2 u 2 =6 u3 =18 u9 = 13 122 |
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2 ° ) Soit
« u » la suite géométrique de raison 2 et telle que u 10 = 2560 Calculer u1
et u 5 |
u 10 = u1 u1
= u5 = u1 |
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3°) Soit la suite géométrique telle que u10
= 98 415 et u 8 = 10 935 Sachant que u1 est strictement positif, calculer la raison
« q » puis u1. |
u10 = u1 u 8 = u1 donc : soit q2 = d’où q = 3 ou q = -3 Puisque u1 et u10 sont positifs , « q » est donc
positif. Conclusion : q = 3 ; u1 = 5 |
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On place un capital de 5000 francs à un taux de 5%.
Au bout de combien d’années la valeur acquise sera-t-elle égale au double du
capital ? |
u0 = 5000 u1 = 5000 u2 = 5000 un
= 5000 on cherche « n » , entier tel que 1,05
n =2 Avec la calculatrice (par essais) , on constate
que 1,0514 =1,98 et que
1,05 15 = 2,08 Au bout de 15 ans , la valeur acquise sera égale
au double du capital. |
= 9INTERDISCIPLINARITE
PROBLEMES
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PROBLEME
1 : |
Solution : |
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Sessa ,
philosophe indien, inventa le jeu d’échecs. Son roi , émerveillé de l’attrait de ce jeu savant et
ingénieux, promit à l’inventeur de lui accorder la récompense qu’il pourrait
souhaiter. Le philosophe demanda seulement le nombre de grains de blé
qu’on obtiendrait en mettent un grain sur la 1re case de son échiquier , 2 sur la deuxième
case ; 4 sur la troisième et ainsi de suite en doublant toujours jusqu'à
la 64e . Cette demande sembla ridicule au roi ; combien
demandait-il de grains ? |
Nous appliquons la formule : Ainsi :S = |
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Réponse : 18 446
744 073 709
551 615 grains |
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PROBLEME 2 On donne : en
1998 il y a en France 60 000 000 de
personnes .En quelle année la population aura-t-elle doublée (120 000 000 de
personnes ) sachant que sa croissance annuelle est de 3% |
On pose : 1,03n = 2 faire ou alors passer par les ..logarithmes 120 000 000 = 60 000 000 (1,03)n soit n = on a log . 120 000 000 = log 60
000 000= on fait la soustraction : = on cherche le log 1,03 on doit effectuer la division d’un logarithme
par un autre logarithme : |
SUITE géométrique et intérêts composés
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PROBLEME 3
Un
capital de 9 000 francs à produit , capital et intérêts composés , une somme
de 12 000 francs , le taux étant de 5 %. Combien d’année est-il placé ? |
Solution : On aura , d’après la formule :
12 000 = 9 000(1+0,5)n et en appliquant le calcul logarithmique : n = on a
log. 12 000 = 4,07918 log.
9 000 = 3,95424 donc : 4,07918 - 3,95424 reste :
log 0,12494 or log. 1,05 = 0,02119 On aura donc à effectuer la division d’un
logarithme par un autre logarithme.
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