CORRIGE

DOSSIER : Les Suites « ou progression »  géométriques

CONTROLE :

 

) Donner une définition d’une suite géométrique :

Définition : Une progression géométrique ou par quotient est une suite de termes  tels que chacun d’eux est égal à celui qui le précède, multiplié par une quantité constante appelée « raison »

 

2 ) Qu’appelle t on «  raison » dans une suite géométrique :

dans une suite géométrique la valeur qui multiplie le terme précédent est appelé raison

3 )Quand dit-on qu’une progression  est « croissante ou «  décroissante » ?

La progression est croissante ou décroissante , suivant que la raison est plus grande ou plus petite que l’unité.

 

Si r >1 : la progression géométrique est croissante

Si r < 1   : la progression géométrique est décroissante

 

4 ) Quelle est la formule qui permet de trouver (ou d’en déduire) le terme suivant dans une progression géométrique? un= u1_qn-1

 

5 ) Quelle est la Formule utilisée en mathématiques commerciales : qui permet de trouver (ou d’en déduire) le terme suivant dans une progression géométrique?

 

 

un= u0_qn


EVALUATION

 

 

EXERXCICES   Série 1

 

1 °)         Soit « u » la suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3

Calculer u1 ; u 2 ; u3 ; u9

u1 =2

 u 2 =6

 u3 =18

 u9  = 13 122

2 ° )   Soit « u » la suite géométrique de raison 2 et telle que  u 10 = 2560

Calculer u1  et u 5

u 10 =  u1  2 9  = 2560

u1  =  =5

u5 = u1  2 4  = 80

3°) Soit la suite géométrique telle que

          u10 = 98 415 et u 8 = 10 935

Sachant que u1 est strictement positif, calculer la raison « q » puis u1.

u10 = u1  q9

u 8 = u1 q7

donc :

soit q2 = = 9

d’où q = 3 ou q = -3

Puisque u1 et u10   sont positifs , « q » est donc positif.

Conclusion : q = 3 ; u1  = 5

 

On place  un capital de 5000 francs à un taux de 5%. Au bout de combien d’années la valeur acquise sera-t-elle égale au double du capital ?

 

 

 

Voir les logarithmes…….

u0  =  5000

u1 = 50001,05

u2 = 5000 1,052

un  = 5000 1,05n

on cherche « n » , entier tel que 1,05 n =2

Avec la calculatrice (par essais) , on constate que 1,0514 =1,98  et que 1,05 15 = 2,08

 

Au bout de 15 ans , la valeur acquise sera égale au double du capital.

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

PROBLEMES

PROBLEME 1 :

Solution :

   Sessa , philosophe indien, inventa le jeu d’échecs.

Son roi , émerveillé de l’attrait de ce jeu savant et ingénieux, promit à l’inventeur de lui accorder la récompense qu’il pourrait souhaiter.

Le philosophe demanda seulement le nombre de grains de blé qu’on obtiendrait en mettent un grain sur la 1re  case de son échiquier , 2 sur la deuxième case ; 4 sur la troisième et ainsi de suite en doublant toujours jusqu'à la 64e .

Cette demande sembla ridicule au roi ; combien demandait-il de grains ?

Nous appliquons la formule :

Ainsi :S =

 

 

Réponse :                               18  446  744  073  709  551  615   grains

 

 

 PROBLEME  2             On donne : en 1998  il y a en France 60 000 000 de personnes .En quelle année la population aura-t-elle doublée (120 000 000 de personnes ) sachant que sa croissance annuelle est de  3%

On pose :

 

1,03n = 2

faire  , en faisant varier « n »

 

 

ou alors passer par les ..logarithmes

120 000 000 = 60 000 000 (1,03)n

soit n =

on a

log . 120 000 000 =

 log 60 000 000=

on fait la soustraction :    =

on cherche le log 1,03

on doit effectuer la division d’un logarithme par un autre logarithme :

 

 

SUITE géométrique et intérêts composés

 

PROBLEME 3

              Un capital de 9 000 francs à produit , capital et intérêts composés , une somme de 12 000 francs , le taux étant de 5 %.

Combien d’année est-il placé ?

Solution :

On aura , d’après la formule :

           12 000 = 9 000(1+0,5)n

et en appliquant le calcul logarithmique :

n =

on a  log. 12 000 = 4,07918

      log. 9 000 = 3,95424

donc : 4,07918 - 3,95424

reste :  log  0,12494

 

or log. 1,05 = 0,02119

 

On aura donc à effectuer la division d’un logarithme par un autre logarithme.

 =  5 ans 10 mois environ