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Les suites de nombres et ensembles de nombres

 

Les suites géométriques

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Les suites arithmétiques

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Les puissances de dix

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ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index   warmaths

Objectif précédent :

1°) Les suites arithmétiques

2°) Les suites géométriques

3°) Notions sur le logarithme.

Objectif suivant :

)Les logarithmes de « x » Sphère metallique

)la fonction log.

3°) la représentation graphique et l’échelle logarithmique.

4°) les logarithmes vulgaires n°2

 

tableau    Sphère metallique 195

 

Liste des cours disponibles sur les logarithmes.

 

DOSSIER : Les « Suites »  logarithmiques  vulgaires (n°1)

 

1.     Avantages des logarithmes.

2.   Définition.

3.   logarithmes décimaux : appelé système des logarithmes vulgaires ou, Système base 10 ou encore appelé logarithmes de Briggs.

 

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COURS

 

Définition.

Considérons deux progressions croissantes , l’une arithmétique commençant par zéro , l’autre géométrique commençant par 1 ; si l’on désigne par « r » la raison de la progression arithmétique et par « q » la raison de la progression géométrique , ces deux progressions peuvent s’écrire :

 

0 ; r   ; 2r ; 3r ; 4r ; 5r ; …………nr

1 ; q1 ; q; q3 ; q4 ; q5 ; ……… ;qn ;

On dit que chaque terme de la progression arithmétique est le logarithme du terme de même rang de la progression géométrique.

Ainsi :

3r est le logarithme de q3

4r est le logarithme de q4

5r est le logarithme de q5

nr est le logarithme  de qn

 

L’ensemble des deux progressions constitue un système de logarithme . La seule condition à réaliser pour constituer un système de logarithmes est que la progression arithmétique commence par zéro et que la progression géométrique commence par l’unité ; on en tire les remarques suivantes :

 

Remarques 1 : il existe une infinité de systèmes de logarithmes puisque la raison de chacune des progression est arbitraire.

 

 

 

 

Soit le système suivant (base 2)

0 ; 1  ;2   ;3  ;4  ; 5 ;.…

1 ; 2 ; 22 ;23 ;24 ;25 ; …..

le logarithme de 23 ou 8 est 3

Soit un autre  système suivant (base 2)

0 ; 3  ; 6  ; 9   ; 12  ; 15 ;.…

1 ; 2 ;  22 ; 23    ;24   ;25 ; …..

le logarithme de 23 ou 8 est  9

 

 

Avantages des logarithmes.

 

Remarquons que les opérations sur les nombres , si on les ramène aux opérations sur les logarithmes , sont ramenées  à des opérations d’ordre moins élevé :

Une multiplication est remplacée par une addition ;

Une élévation à une puissance est remplacée par une multiplication ;

Une division est remplacée par une soustraction : Une extraction de racine est remplacée par une division.

S’il était possible d’obtenir rapidement le logarithme d’un nombre donné , et inversement d’obtenir le nombre dont le logarithme est donné , toutes les opérations seraient diminuées de difficulté grâce aux logarithmes .

Les tables de logarithmes remplissent ce rôle , lorsque l’on connaît les règles permettant de les utiliser .

 

 

Rappels :les  « Suites géométriques »

Nous ne considérons ici que les raisons positives.

1°)  La suite 2 ; 6 ; 18 , 54 ; 162  , où chaque nombre s’obtient en multipliant  le précédent  par (+3) constitue une progression géométrique de raison « 3 »

 

2°) La suite a , aq , aq ; aq,…..est une progression géométrique de raison « q » .

 

Si « q » est supérieur à 1 , la progression est dite « croissante ».

Exemple : pour « q » = 2  et a=5 ;nous obtenons  : 5 ; 10 ; 20 ; 40 ; 80 ;…

Si « q » est inférieur à 1 , la progression est dite « décroissante ».

 

Exemple : pour « q » =  et  a= 2 

 

Nous obtenons le début de la suite :   2 , 0,2 ; 0,02 ; 0 , 002 ;…

En résumé : une suite « géométrique » est une suite de nombres tels que chacun d’eux s’obtient en multipliant le précédent par un nombre constant appelé « raison »

 

 

Système base 10 : appelé système des logarithmes vulgaires ou logarithmes décimaux , ou encore appelé logarithmes de Briggs

 

L’invention des logarithmes est due à Neper , baron écossais ( 1550 – 1617) . Briggs , son contemporain et ami professeur de mathématiques à Londres , publia en 1624 les premières tables de logarithmes vulgaires.

 

Remarque 2 : On appelle « base » d’un système de logarithmes le nombre dont le logarithme est égal à l’unité .

Ainsi , dans le premier système que nous avons écrit , la base est « 2 » , dans le système des logarithmes vulgaires ou décimaux , la base est 10.

On peut remarquer que , par définition , le logarithme de 1 est dans tous les systèmes égal à zéro.

 

Remarque 3 : propriété remarquable des logarithmes

La considération du système général de logarithmes :

0 ; r   ; 2r ; 3r ; 4r ; 5r ; …………nr

1 ; q1 ; q; q3 ; q4 ; q5 ; ……… ;qn ;

 

nous permet d’énoncer cette propriété remarquable : Chaque terme de la progression géométrique a pour logarithme un nombre égal au produit de son exposant par la raison de la progression arithmétique .

 

On écrit : log qn  = nr

Ce qui s’énonce logarithme de qn  égale  nr

Cette remarque est importante elle permettra d’établir aisément les propriétés essentielles des logarithmes .

 

 

 

Définition :  « Logarithmes décimaux »

Explication :

Ecrivons l’une au –dessous de l’autre :

1°) une progression géométrique ayant un terme égal à 1 est pour raison 10 ;

)pour une progression arithmétique ayant un terme égal à 0 et pour raison 1 , en faisant correspondre au terme 1 de la première le terme 0 de la seconde :

Progr.   géométrique

……

0 ,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

…(1)

Prog. arithmétique

 

- 3

- 2

-1

 

0

1

2

3

..(2 )

 

Tout nombre de la deuxième ligne est appelé le « logarithme décimale » du nombre correspondant de la première ligne

 

  Ainsi on écrira que (par exemples)

 

Log 100 = 2

Log 0,1 = -1

 

 

« Le logarithme décimal de 100 est égal à 2 »

« Le logarithme décimal de 0,1 est égal à -1 »

 

Imaginons qu’entre deux nombres consécutifs de la 1er ligne et entre les deux nombres correspondants de la deuxième ligne  , on insère deux progression formées  du même nombre de termes :

 

Progr.      géométrique

……

10

a

b

c

d

100

…..

e

Prog.        arithmétique

 

1

a’

b’

c’

d’

2

 

 

 

 

Le terme « a’ » de la deuxième ligne est le logarithme décimal du terme correspondant « a » de la première ligne :

On écrira : log a = a’

 

Examen  des résultats précédents :

 

De l’examen  des progressions (1 ) et (2 ) il résulte que :

 

1°) les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes.

)le logarithme de 1 est égal à 0

3°) les logarithmes des nombres positifs plus grand que 1 sont positifs.

)les logarithmes des nombres positifs plus petits que 1 sont négatifs ;

)seules les  puissances de 10 ont pour logarithmes  des nombres entiers :

log 1000 = 3 ; log 0,0001 = - 4

 

 

 

PROPRIETES des logarithmes.

 

Nous allons établir les propriétés des logarithmes en utilisant les logarithmes des puissances de dix , mais ces propriétés s’appliquent aux logarithmes de tous les nombres.

 

 

Théorème 1 :  Le logarithme d’un produit  de facteurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

 

 

Considérons le produit de 10  par 10 , qui s’obtient en additionnant les exposants des facteurs.

 

Il en résulte  de la définition des logarithmes que :

Log    = 5

Log   = 3

Log   = 2

Or : 5 =3 + 2

Donc  on peut écrire : Log    = Log   + Log  

 

 

 

Si nous généralisons : log ( a bc ) = log a + log b + log c

 

 

Théorème  2 : le logarithme d’un quotient est égal au logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende  moins le logarithme du diviseur.

 

Soit le quotient : = q          on sait que  D = d q

 

Appliquons le théorème précédent

                            log  D = log d + log  q

 

On transforme :  log q   =   log D – log d

 

On peut donc écrire que :      log  = log D – log d

 

Théorème 3 :   Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au produit du logarithme de ce nombre par l’exposant de la puissance.

 

a  =  aaaaa

 

appliquons le théorème relatif au produit des facteurs :

 

  log a  =  log a + log a + log a + log a + log a

soit  (factorisons le deuxième membre)

                          log a  =  5  log a

 

on peut donc généraliser : log a  =  n log a

 

 

Théorème 4 : le logarithme d’une racine d’un nombre est  égal au quotient du logarithme  de ce nombre  divisé par l’indice de la racine .

 

Soit  = b

D’après la définition de la racine   « quatrième » d’un nombre , cette égalité est équivalente  à :     a =    ou    à   l’ égalité équivalente :     = b

 

1 ° ) Appliquons le théorème précédent  pour :      a =

     log a  =  4 log b

     log b =  log a

    log   = log a

2 °  )  Appliquons le théorème précédent  pour :   = b

 

     log     =   log a

 

 

en généralisant : log   = log a

 

 

 


 

 

 

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS

 

CONTROLE :

Compléter les phrases suivantes :

1°) les nombres négatifs n’ont pas ………………………………..

)le logarithme de 1 est égal à ……………………………………..

3°) les logarithmes des nombres positifs plus grand que 1 ……………………………….

)les logarithmes des nombres positifs plus petits que 1 ……………………………….. ;

)seules les  puissances de 10 ont pour logarithmes  des nombres ………………..

exemple :  log 1000 =

 

 

 

PROPRIETES des logarithmes.

 

Théorème 1 :

Le logarithme d’un produit  de facteurs est égal ……………………………………………….

 

Si nous généralisons : log ( a bc ) = ……………………………………………………….

 

 

Théorème  2 : le logarithme d’un quotient est égal ……………………………………………

 

 

 

On peut donc écrire que :      log  =

 

Théorème 3 :

 

Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal ………………………………………...

 

   on peut donc généraliser : log a  = ?

 

 

Théorème 4 : le logarithme d’une racine d’un nombre est  égal …………………………….

 

 

 

 

 

 

EVALUATION

 

Le logarithme  décimal de 2 est 0 , 30103

.

1°) quels sont les logarithmes de  4 ; 5 ; 8 ; 16 , ; 20 ; 32 ; 40 ; 50 ?

2°) quels sont les logarithmes de 0,02 ; 0,2 ; 20 ; 200 ; 2 000 ?

)quels sont les logarithmes de 0,1 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,8 ?

 

A l’aide des résultats de l’exercice  précédent , tracez la courbe qui représente la fonction y = log x  pour les valeurs e « x » comprises entre 0,01 ; et 10.

Echelle des abscisses : 2 cm pour  1 unité.

Echelle des ordonnées : 10 cm pour 1 unité.

 

 

Quelle est la racine carrée de 8 ?

Quel est le logarithme de cette racine ?

Quelle est la racine carrée de 10 ?

Quel est sont logarithme ?

Déduire une valeur approchée du logarithme de « 3 » ; puis une valeur approchée des logarithmes de 6 ; 9 ; 12 ; 15 .

Calculer les nombres dont les logarithmes sont 0, 25 ; 1 ,25 ; 2 ; 25 .

 

Utilisation de la calculatrice :

Prendre des nombres entre 0 et 1000 ; Chercher leur  logarithme  et comparer votre résultat avec la table ci jointe.

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

Physique :

 

 

 

 

Les logarithmes décimaux des nombres entiers ( N ) de 0 à 1000 .   feuille 1/2

Remarque : si le premier chiffre de la mantisse n’est pas écrit , il est à lire :

Dans la première ligne antérieure où il est écrit s’il n’y a pas d’étoile,

Dans la ligne suivante s’il y a une étoile .

f14

 

 

Les logarithmes décimaux des nombres entiers ( N ) de 0 à 1000 .   feuille 2/2

f1

 

 

CORRIGE - CONTROLE :

Compléter les phrases suivantes :

1°) les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes.

2°)le logarithme de 1 est égal à 0

3°) les logarithmes des nombres positifs plus grand que 1 sont positifs.

4°)les logarithmes des nombres positifs plus petits que 1 sont négatifs ;

5°)seules les  puissances de 10 ont pour logarithmes  des nombres entiers :

exemple :  log 1000 = 3 ; log 0,0001 = - 4

 

 

 

PROPRIETES des logarithmes.

 

Théorème 1 :

Le logarithme d’un produit  de facteurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

 

Si nous généralisons : log ( a bc ) = log a + log b + log c

 

 

Théorème  2 : le logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende  moins le logarithme du diviseur.

 

 

 

On peut donc écrire que :      log  = log D – log d

 

Théorème 3 :

 

Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au produit du logarithme de ce nombre par l’exposant de la puissance.

 

   on peut donc généraliser : log a  =  n log a

 

 

 

 

 

 

 

Théorème 4 : le logarithme d’une racine d’un nombre est  égal au quotient du logarithme  de ce nombre par l’indice de la racine .

 

en généralisant : log   = log a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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