Pré requis:

Les suites géométriques

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Les suites arithmétiques

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Les puissances de dix

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   : warmahs

Objectif précédent :

Les suites logarithmiques  Sphère metallique

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1°) vers le Bac prof/ Sphère metallique

)les logarithmes vulgaires

tableau    Sphère metallique

Liste des cours disponibles sur les logarithmes.

 

DOSSIER : Les logarithmiques  de « x »

I )    Avantages des logarithmes.

II )   Définition :  « Logarithmes décimaux »

III )  PROPRIETES des logarithmes. ( les  3  théorèmes)

 

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COURS

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Interdisciplinarité

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COURS

 

 

 

I )  Avantages des logarithmes.

 

Remarquons que les opérations sur les nombres , si on les ramène aux opérations sur les logarithmes , sont ramenées  à des opérations d’ordre moins élevé :

Une multiplication est remplacée par une addition ;

Une élévation à une puissance est remplacée par une multiplication ;

Une division est remplacée par une soustraction : Une extraction de racine est remplacée par une division.

S’il était possible d’obtenir rapidement le logarithme d’un nombre donné , et inversement d’obtenir le nombre dont le logarithme est donné , toutes les opérations seraient diminuées de difficulté grâce aux logarithmes .

Les tables de logarithmes remplissent ce rôle , lorsque l’on connaît les règles permettant de les utiliser .

 

 

Rappels :

« Suites géométriques »   (voir les pré requis)

nous ne considérons ici que les raisons positives.

1°)  La suite 2 ; 6 ; 18 , 54 ; 162  , où chaque nombre s’obtient en multipliant  le précédent  par (+3) constitue une progression géométrique de raison « 3 »

 

2°) La suite a , aq , aq ; aq,…..est une progression géométrique de raison « q » .

 

Si « q » est supérieur à 1 , la progression est dite « croissante ».

Exemple : pour « q » = 2  et a=5 ;nous obtenons  : 5 ; 10 ; 20 ; 40 ; 80 ;…

Si « q » est inférieur à 1 , la progression est dite « décroissante ».

 

 

Exemple : pour « q » =  et  a= 2 

 

Nous obtenons le début de la suite :   2 , 0,2 ; 0,02 ; 0 , 002 ;…

En résumé : une suite « géométrique » est une suite de nombres tels que chacun d’eux s’obtient en multipliant le précédent par un nombre constant appelé « raison »

 

)Le Système logarithmes «  base 10 » : appelé système des logarithmes vulgaires ou logarithmes décimaux , ou encore appelé logarithmes de Briggs

 

 

 


 

II   ) Définition :  « Logarithmes décimaux »

Explication :

Ecrivons l’une au –dessous de l’autre :

1°) une progression géométrique ayant un terme égal à 1 est pour raison 10 ;

)pour une progression arithmétique ayant un terme égal à 0 et pour raison 1 , en faisant correspondre au terme 1 de la première le terme 0 de la seconde :

Progr.

géométrique

……

0 ,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

…(1)

Prog.

arithmétique

 

- 3

- 2

-1

0

1

2

3

..(2 )

 

Tout nombre de la deuxième ligne est appelé le « logarithme décimale » du nombre correspondant de la première ligne

 

  Ainsi on écrira que (par exemples)

 

Log 100  = 2

 

Log 0,1 = -1

 

 

« Le logarithme décimal de 100 est égal à 2 »

« Le logarithme décimal de 0,1 est égal à -1 »

 

Imaginons qu’entre deux nombres consécutifs de la 1er ligne et entre les deux nombres correspondants de la deuxième ligne  , on insère deux progression formées  du même nombre de termes :

 

Progression.

géométrique

……

10

a

b

c

d

100

…..

e

Progression.

arithmétique

 

1

a’

b’

c’

d’

2

 

 

 

 

Le terme « x’ » de la deuxième ligne est le logarithme décimal du terme correspondant « x » de la première ligne :

On écrira : log x = x’

 

Examen  des résultats précédents :

 

De l’examen  des progressions (1 ) et (2 ) il résulte que :

 

1°) les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes.

)le logarithme de 1 est égal à 0

3°) les logarithmes des nombres positifs plus grand que 1 sont positifs.

)les logarithmes des nombres positifs plus petits que 1 sont négatifs ;

)seules les  puissances de 10 ont pour logarithmes  des nombres entiers :

log 1000 = 3 ; log 0,0001 = - 4

 

 

 

III   ) PROPRIETES des logarithmes.

 

Nous allons établir les propriétés des logarithmes en utilisant les logarithmes des puissances de dix , mais ces propriétés s’appliquent aux logarithmes de tous les nombres.

Théorème 1 :

Le logarithme d’un produit  de facteurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

 

Si nous généralisons : log ( x yz ) = log x + log y + log z

 

 

Théorème  2 :

 

Le logarithme d’un quotient est égal au logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende  moins le logarithme du diviseur.

 

Soit le quotient : = q          on sait que  D = d  q

 

Appliquons le théorème précédent

log  D = log d + log  q

On transforme :  log q   =   log D – log d

 

On peut donc écrire que :      log  = log D – log d

 

Théorème 3 :

 

Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au produit du logarithme de ce nombre par l’exposant de la puissance.

 

x  =  xxxxx

 

appliquons  :   le théorème relatif au produit des facteurs :

 

  log x  =  log x + log x + log x + log x + log x

 

soit  (factorisons le deuxième membre)                          log x  =  5  log x

 

on peut donc généraliser : log x  =  n log x

 

 

 

 

 

 

 

Théorème 4 : le logarithme d’une racine d’un nombre est  égal au quotient du logarithme  de ce nombre par l’indice de la racine .

 

Soit  = x

D’après la définition de la racine   « quatrième » d’un nombre , cette égalité est équivalente  à :     X =    ou    à   l’ égalité équivalente :     = X

 

 

 

en généralisant :

 

 

log   = log x

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

Compléter les phrases suivantes :

 

 

1°) les nombres négatifs n’ont pas …………………..

)le logarithme de 1 est égal à …………..

3°) les logarithmes des nombres positifs plus grand que 1 ……………………..

)les logarithmes des nombres positifs plus petits que 1 …………………………..

)seules les  puissances de 10 ont pour logarithmes  des nombres ………..

 

 

 

PROPRIETES des logarithmes.

 

Théorème 1 :

Le logarithme d’un produit  de facteurs est égal à

Si nous généralisons : log ( x y z ) =

 

Théorème  2 :

 

 le logarithme d’un quotient est égal au

 

 

On peut donc écrire que :      log  =

 

Théorème 3 :

 

Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au.

 

   on peut donc généraliser : log a  = 

 

 

 

 

 

 

 

Théorème 4 : le logarithme d’une racine d’un nombre est  égal au

 

EVALUATION

 

Le logarithme  décimal de 2 est 0 , 30103

.

1°) quels sont les logarithmes de  4 ; 5 ; 8 ; 16 , ; 20 ; 32 ; 40 ; 50 ?

2°) quels sont les logarithmes de 0,02 ; 0,2 ; 20 ; 200 ; 2 000 ?

)quels sont les logarithmes de 0,1 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,5 ; 0,8 ?

 

A l’aide des résultats de l’exercice  précédent , tracez la courbe qui représente la fonction y = log x  pour les valeurs e « x » comprises entre 0,01 ; et 10.

Echelle des abscisses : 2 cm pour  1 unité.

Echelle des ordonnées : 10 cm pour 1 unité.

 

 

Quelle est la racine carrée de 8 ?

Quel est le logarithme de cette racine ?

Quelle est la racine carrée de 10 ?

Quel est sont logarithme ?

Déduire une valeur approchée du logarithme de « 3 » ; puis une valeur approchée des logarithmes de 6 ; 9 ; 12 ; 15 .

Calculer les nombres dont les logarithmes sont 0, 25 ; 1 ,25 ; 2 ; 25 .

 

 

CONTROLE :  ( corrigé)

Compléter les phrases suivantes :

1°) les nombres négatifs n’ont pas de logarithmes.

2°)le logarithme de 1 est égal à 0

3°) les logarithmes des nombres positifs plus grand que 1 sont positifs.

4°)les logarithmes des nombres positifs plus petits que 1 sont négatifs ;

5°)seules les  puissances de 10 ont pour logarithmes  des nombres entiers :

exemple :  log 1000 = 3 ; log 0,0001 = - 4

 

 

 

PROPRIETES des logarithmes.

 

Théorème 1 :

Le logarithme d’un produit  de facteurs est égal à la somme des logarithmes des facteurs.

 

Si nous généralisons : log ( x y z ) = log x + log y + log z

 

 

Théorème  2 : le logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende  moins le logarithme du diviseur.

 

 

 

On peut donc écrire que :      log  = log D – log d

 

Théorème 3 :

 

Le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au produit du logarithme de ce nombre par l’exposant de la puissance.

 

   on peut donc généraliser : log a  =  n log a

 

 

 

 

 

 

 

Théorème 4 : le logarithme d’une racine d’un nombre est  égal au quotient du logarithme  de ce nombre par l’indice de la racine .

 

en généralisant : log   = log a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

 

Physique :

 

 

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