Pré requis:

Les suites géométriques

3D Diamond

Les suites arithmétiques

3D Diamond

Les puissances de dix

3D Diamond

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index         warmaths

Objectif précédent :

  1. Les logarithmes ( systèmes ; propriétés)
  2. Etude simple
  3. Les logarithmes vulgaires ( n°1 )

 

Objectif suivant :

  1. la fonction log.
  2.  la représentation graphique et l’échelle logarithmique.

 

tableau    Sphère metallique N°1

Liste des cours disponibles sur les logarithmes.

 

DOSSIER : Les logarithmiques  vulgaires (n°2)

 

Dit aussi : Système base 10 : appelé système des logarithmes vulgaires ou logarithmes décimaux , ou encore appelé logarithmes de Briggs.

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

 

Interdisciplinarité

  Les intérêts composés                      

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

Corrigé des Pb.@%º

CHAPITRES :

INFO :

 

·       Avantages des logarithmes.

 

·       Notion :  Idée dun log  et son intérêt  dans le calcul d’une multiplication , division, puissance, racine……….

 

ACTIVITES : 

 

I ) Trouver le logarithme d’un nombre donné .

 

II ) Trouver le nombre correspondant à un logarithme donné.

 

III ) Recherche d’un produit par les logarithmes

 

IV ) Recherche d’un quotient par les logarithmes

 

V ) Recherche d’une puissance  par les logarithmes

 

VI Recherche d’une racine  par les logarithmes

 

VII )Calcul , par les logarithmes, d’une expression numérique

 

 

 

Evaluation :  Exercices spéciaux sur les logarithmes

 

 

 

 

 

 

  COURS

 

INFO : 

 

·       Avantages des logarithmes.

Remarquons que les opérations sur les nombres , si on les ramène aux opérations sur les logarithmes , sont ramenées  à des opérations d’ordre moins élevé :

Une multiplication est remplacée par une addition ;

Une élévation à une puissance est remplacée par une multiplication ;

Une division est remplacée par une soustraction : Une extraction de racine est remplacée par une division.

S’il était possible d’obtenir rapidement le logarithme d’un nombre donné , et inversement d’obtenir le nombre dont le logarithme est donné , toutes les opérations seraient diminuées de difficulté grâce aux logarithmes .

Les tables de logarithmes remplissent ce rôle , lorsque l’on connaît les règles permettant de les utiliser .

 

 

 

·       Notions : Idée de logarithmes .

 

Soient les deux progressions ci dessous , la première géométrique , la deuxième arithmétique :

 

 

0,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

10 000

Etc.

 

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Etc.

 

1er exemple : « multiplication »

II) Soit effectuer : 101000

 

Cherchons dans la deuxième progression les nombres qui correspondent aux nombres 10 et 1000 . On trouve  1 et 3 . Additionnons  , on obtient 4 . Cherchons  4 dans la première progression et relevons le nombre correspondant dans la première progression . On trouve 10 000 . Le produit  demandé est 10 000 .

Les nombres  1 ; 3 ; 4 et tous les termes de la deuxième progression sont appelés les logarithmes des nombres correspondant de la première progression .

On dira : log.  10 = 1

       log . 1 000 = 3

       log  10 000 = 4

 

On voit que pour effectuer une multiplication , il a suffit de faire une addition de logarithmes et de chercher le nombre correspondant au total .

 

Conséquence – le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs .   ( facteur 10 et facteur 1000)

 

III) 2ème exemple : « division »

 

Soit effectuer : 10 000 : 100

Cherchons dans la deuxième progression les logarithmes de 10 000 et de 100

On a :  log 10000 = 4

           log.   100 = 2

Soustrayons  les deux logarithmes , on obtient  2 . Cherchons le nombre qui correspond au logarithme 2 , c’est 100 . Le quotient cherché  est 100 .

 

On voit que pour effectuer une division de deux nombres  , il suffit de faire la soustraction des logarithmes de ces nombres et de chercher le nombre correspondant au logarithme de la différence .

 

Conséquence : le logarithme d’un quotient est égal au logarithme du dividende moins le logarithme du diviseur .

 

log. () =  log. 10000- log 100

 

IV) 3ème Exemple  « puissance » 

 

Soit à effectuer  10 3

On cherche dans la deuxième progression le logarithme de 10 , que l’on multiplie par l’exposant 3 . On obtient 1 3 ou 3 . A ce logarithme  , correspond le nombre 1 000 , qui est la puissance  cherchée .

On voit que pour effectuer la puissance d’un nombre , il suffit de multiplier le logarithme de ce nombre par l’exposant et de  chercher ensuite le nombre correspondant au produit trouvé .

 

 

Conséquence : le logarithme d’une puissance d’un nombre est égal au logarithme de ce nombre multiplié par l’exposant de la puissance.

 

 

V ) 4ème exemple  « puissance »

Soit à effectuer    

 

On cherche dans la deuxième progression le logarithme de 100 , c’est 2 . On divise ce logarithme par l’indice de la racine , qui est ici 2 . On obtient 1 . Il suffit de relever le nombre correspondant au logarithme 1 . C’est 10 , qui est la racine cherchée .

 

 

On voit que pour effectuer la racine d’un nombre , il suffit de diviser le logarithme de ce nombre par l’indice de la racine et de chercher ensuite le nombre  correspondant au quotient trouvé .

 

 

Conséquence . Le logarithme d’une racine d’un nombre est égal au logarithme  de ce nombre divisé par l’indice de la racine .

 

Tables de logarithmes .  Des savants ont dressé ce qu’on a appelé des tables de logarithmes ;c’est à dire qu’ils ont calculé les termes de progressions géométriques , correspondant à des termes  de progressions arithmétiques .

 

Les calculs sont  tous faits . Il suffit de relever les résultats . Des exercices montreront mieux que toute théorie comment on doit se servir de ces tables .

 

ACTIVITES


EXERCICES SUR LES CALCULS DE LOGARITHMES

Extrait des tables des logarithmes

log

 


I  ) TROUVER LE LOGARITHME  d’ UN NOMBRE DONNE .

 

A ) Trouver le logarithme d’un nombre donné : nombre  à trois chiffres

 

Exercice 1 :

a) Trouver le logarithme du nombre 493 ,avec une table

On cherche dans l’extrait de la table  , le nombre « 493 » dans la colonne des nombres , indiquée N . Puis on prend le logarithme inscrit en face  , on trouve  69 285  , ce nombre s’appelle « mantisse » .

On compte le nombre de chiffres du nombre « 493 » , c’est « 3 » . On retire 1 à cette somme et on obtient « 2 » , qui est appelé la « caractéristique » . On place cette caractéristique devant  « 69 285 »  , en les séparant par une virgule ; et on  écrit :

                  Log.  493 =  2 , 69285

 

b )  Trouver le logarithme du nombre 493 Avec la calculatrice :

 

taper  «  493 » puis « log » : le résultat affiché est :  2 ,  692846919

 

Utilité de la caractéristique :

La caractéristique « 2 » indique que le nombre dont provient le logarithme est compris entre 100 et 1000 , c’est à dire à 3 chiffres .

 

Règle .  La caractéristique  d’un logarithme est toujours égale au nombre de chiffres entiers , moins un , du nombre considéré .

 

 

Remarque : on peut tirer de ce qui précède que :

                log.  de 49,3  = 1 , 69285

                 log. de  4,93  = 0, 69285

 

EXERCICE 2

 

Trouver le logarithme du nombre 0,0493 .

 

On cherche le logarithme du nombre 493 , c’est toujours comme mantisse  69 285  .Reste à trouver la caractéristique .

 

Or  , : 0,0493 =    ou log. 493 moins log. 10 000

 

Ou     2, 69285  - 4 

 

Pour retrancher   4 de 2 , on inscrira  -2  qui est le résultat , mais en l’indiquant comme ci-dessous :

, 69285

 

d’où   log. 0,0493  = , 69285

Remarque .- On voit qu’ainsi tous les logarithmes obtenus ont leur partie décimales positive , il n’ y a que la caractéristique qui peut-être négative . Cela facilite les calculs .

 

Règle : La caractéristique d’un nombre inférieur à 1 indique le rang du premier chiffre significatif à droite  après la virgule .

 

B )  Trouver le logarithme d’un nombre donné : NOMBRES DE  4 CHIFFRES :

 

Exercice :  Trouver le logarithme du nombre 4936

 

On cherche dans la table le logarithme de 493 , qui est le même  que celui de 4930  , mais avec la caractéristique « 3 »  .

     On a :  log 4 930  =  3 , 69285

Mais ce n’est pas ce nombre  4 930 dont il faut chercher le logarithme  , c’est 4 936 , c’est à dire un nombre supérieur de 6 unités .

 

Pour un nombre supérieur de 10 unités , c’est à dire pour le nombre 4940 , la différence de logarithmes est de 88  ( colonne des différences) .

On dira : 1à unités correspond à une différence de logarithme  égale à 88 , à quelle différence correspond 6 unités ? La règle de trois suivante donne :

 = 52, 8 ou 53

 

On ajoute ce nombre 53 au log. de 4930 , et l’on  a

 3,69285  + 0,00053  =  3 , 69338

qui est le logarithme du nombre 4 936

 

 

A l’aide de la calculatrice le  log.  4936  =  3,693375151

 

C )  Trouver le logarithme d’un nombre donné : NOMBRES DE  5 CHIFFRES :

 

 

Exercice :   Trouver le logarithme du nombre 57 789 .

Cherchons dans la table les logarithmes de 57 700 et 57 800 ;puisque  57 789 est compris entre  57 700 et  57 800.

On a :    log. 57 700  =  4 ,76118

  Et         log. 57 800 = 4,76193

Pour une différence de 100 unités entre les 2 nombres , on trouve une différence de 75 entre les logarithmes ( colonne spéciale)

Comme dans l’exercice précédent , on fera la règle de trois suivante , en regardant que le nombre proposé 57 789 surpasse de 89 unités le nombre  57 700 ;

 = 67 par excès .

 

On doit donc ajouter 67 au log. de 57 700 , c’est à dire à  4,76118 .

 

On obtient :                  log. 57 789 = 4, 76185

 

II  TROUVER LE NOMBRE CORRESPONDANT A UN LOGARITHME DONNE .

 

Exercice 1

Trouver le nombre correspondant au logarithme  2,79 934

 

On ne s’inquiète pas de la caractéristique , qui indique seulement que le nombre cherché doit avoir 3 chiffres entiers  .

On cherche  dans la colonne des logarithmes la mantisse  79 934  qui s’y trouve justement . Elle correspond à un nombre : 630 . C’est le nombre cherché .

 

Exercice 2 :

Trouver le nombre correspondant au logarithme 0, 69679

Ce nombre aura 1 chiffre  entier d’après la caractéristique 0

Cherchons dans les colonnes des logarithmes  , on ne trouve pas  69 679 , qui est compris entre  

69 636  , correspondant au nombre 497

et    69 723    , correspondant au nombre 498 

et qui est supérieur  de 43 unités à  69936

le nombre cherché sera entre 497 et 498

 

On dit : Pour une différence de logarithme  de  69723 – 69636 ou 87 (indiquée dans la colonne des différences ) , on a une différence de nombres égale à 4980 – 4970 ou 10 unités .

Une règle de trois donnera le quatrième chiffre à ajouter à 497.

Pour une différence de logarithme de 87 unités , on doit ajouter 10 unités au nombre 4930 , pour une différence de logarithme de 43 unités , on devra ajouter :   = 5

 

Le nombre sera donc : 4,975 

 

La calculatrice donne pour  log.  de 0,69679  = 4,974964659

 

Exercice 3 :

Trouver le nombre correspondant au logarithme   ,69082

 

On cherche  69082 dans les colonnes  de logarithmes . (voir page précédente)

On trouve  69020 . Il y a donc une différence de 62 de plus  . Or , la différence tabulaire correspond à 69020 est de 88.

On posera la règle de trois suivante , si on veut avoir 5 chiffres du nombre .

Pour 88 : la différence des nombres  49 000 et 49 100 = 100

 

Pour « 1 »  la différence :

 

Pour « 62 » la différence : = 70

Le nombre demandé sera donc : 49 070 , mais comme la caractéristique est de    , il s’ensuit que le premier chiffre significatif du nombre 49070 doit venir après la virgule .

Le nombre demandé est : 0,49070.


 

III ) RECHERCHE D’UN PRODUIT PAR LES LOGARITHMES.

 

On a vu que les produits de facteurs se transforme en additions des logarithmes de ces facteurs .

Exercice 1

Effectuer la multiplication : 492,7  0,51 517

On disposera ainsi :

;  log.  492,7 = 2,69258

   log.   0,51  = ,70757

   log.    517  =  2,71349

somme              5,11364    =  nombre  129 910

(voir le résultat  avec une calculatrice : 129 910 , 2274 )

 

Le logarithme  5,11364 est le logarithme du produit .

 

Recherchons dans une table complète le nombre correspondant à ce logarithme  , et le produit sera effectué .

 

Dans la table  , on a le logarithme 11059 , qui est le plus approché de 11364 . Il  correspond au nombre 129 ou 129 000 , puisqu’il nous faut ici 6 chiffres entiers à cause de la caractéristique « 5 » . On dira :

Pour une différence de 335 en logarithme , on aura une différence de 1 000 unités sur un nombre . Pour  une différence de logarithme de 11364 – 11059 ou 305 , on aura une différence de nombre égale à : = 910

Le produit sera donc : 1239 910

Le produit est 129910 , qu’on retrouve  en faisant les multiplications ordinaires . ( ou avec la calculatrice )

 

IV)  RECHERCHE D’UN QUOTIENT PAR LES LOGARITHMES

 

On a vu que tout division de nombres se traduisait par une différence de logarithmes .

Exercice  :   Effectuer la division  4968,3 : 51,4

On disposera :

  log.   4 968,3 =  3 , 69620

  log.        51,4 =  1,  71096

 Différence :     1, 98524

On recherchera dans la table , le nombre correspondant au logarithme 1, 98524 et l’on trouvera après calcul :   96,65

Qui est le quotient demandé .

 

V )  RECHERCHE D’UNE PUISSANCE  PAR LES LOGARITHMES

 

On a vu que toute puissance d’un nombre se traduisait par la multiplication du logarithme de ce nombre par l’exposant qui marque la puissance cherchée.

 

Exercice :  Effectuer la puissance (5,15)4

 

On disposera :

      log. 5,15 =  0,71181

     4 log.  5,15 =   2, 84724    = nombre  703,44

 

On cherchera , dans la table , le nombre correspondant au log . : 2,84724  , et l’on trouvera : 703,44

Qui est la puissance demandée .

 

Voir le calcul avec la calculatrice :703,4430062 .

 

VI )  RECHERCHE D’UNE RACINE PAR LES LOGARITHMES……………  (info +++ )

 

On a vu que toute racine d’un nombre se traduisait par la division du logarithme de ce nombre par l’indice de la racine .

 

Exercice : Effectuer la racine cubique de 5 197 ; noté : 

 

On disposera :

    Log. 5197 =  3 , 71575

log . 5197  =  1, 23858  =  nombre  17,32

 

On recherchera, dans la table, le nombre correspondant au log. 1,23858 , et l’on trouvera :  17,32

Qui est la racine  demandée.

 

 

Avec la calculatrice , en utilisant la fonction racine ; on trouve :17,32144978

 

VII)  CALCUL PAR LES LOGARITHMES D’UNE EXPRESSION ALGEBRIQUE .

 

 

Exercice : Soit à effectuer le calcul de l’expression suivante :

 

                   

 

On calculera d’abord le logarithme du numérateur :

On disposera :

  log. 858        = 2,93349 ……………………… 2,93349

  log. 54           = 0,69897  4 =  ………………  2,79588

  log. 0,037      = , 56820 …………………….., 56820

  log. 1247      = 3,095587………………………3,095587

  

Total ……………………………………….

7,39343

Puis on cherchera le logarithme du dénominateur .

On disposera :

          log.  712  =  1,85126    2 …………… 3,70252

          log. 0,5865 = ,76827 ……………….. ,76827

           log. 25  =   0,30103  5 ………………1, 50515

Total …………………………………….

4,97594

 

On soustrait enfin le logarithme du dénominateur du logarithme du numérateur . 7,39343   - 4,97594  = 2,41749

 

Et l’on cherchera le nombre correspondant à ce logarithme , qui sera le résultat . On obtiendra : 261,51

 

Si l’on veut effectuer par l’arithmétique le calcul de l’expression donnée , on verra que l’on trouve exactement le même résultat . 261,51

 

 

Remarque . Le calcul logarithmique n’est pas difficile à acquérir , ce n’est qu’une habitude , mais encore faut-il la prendre , et pour cela faire de nombreux exercices .

 

 

Nous recommandons donc de s’exercer  au maniement de la table de logarithmes d’une façon fréquente .

 

Rappels : sur les avantages des logarithmes.

 

Remarquons que les opérations sur les nombres , si on les ramène aux opérations sur les logarithmes , sont ramenées  à des opérations d’ordre moins élevé :

Une multiplication est remplacée par une addition ;

Une élévation à une puissance est remplacée par une multiplication ;

Une division est remplacée par une soustraction : Une extraction de racine est remplacée par une division.

S’il était possible d’obtenir rapidement le logarithme d’un nombre donné , et inversement d’obtenir le nombre dont le logarithme est donné , toutes les opérations seraient diminuées de difficulté grâce aux logarithmes .

Les tables de logarithmes remplissent ce rôle , lorsque l’on connaît les règles permettant de les utiliser .

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

EVALUATION

Exercices spéciaux  sur les logarithmes :

 

Nota : Ces exercices doivent être résolus avec le plus grand soin , mais on n’oubliera pas   que les résultats sont approximatifs .

 

 

1°) Trouver les logarithmes de   8 ; 43 ; 724   ; 3652

2°) Trouver les logarithmes de   0,25   ; 0,05   ; 0,876 ;

3°) Trouver les logarithmes de   3,72 ; 345,8   ; 85,000 ; 42,79

 

Trouver les nombres correspondants aux logarithmes suivants :

4°) 0,30103        ; 2,11394   ;  4, 95328

5°) 1,33522        ; 3,73 672   ; 2,93354

6°) ,80688   ; ,93346   ;  ,56874

 

Effectuer , par logarithmes , les multiplication suivantes :

 

7°)   5  48  173 =                                ; 4 574  278 =

 

8°) 0,087  24 500 =                                ; 0,0127  0,00793 =

 

Effectuer , par  les logarithmes , les divisions suivantes :

 

9°)  4 747 :  237 =

       279 000 : 888 =

10°) 0,00287 : 4562   =

   0,875 : 0,0147  = 

 

Effectuer , par les logarithmes , les puissances suivantes :

 

11°)     37    ;  184   ; 3573

 

12  °) 0,34 2     ; 0,082 3   ; 45,41 2

 

 

Effectuer  , par logarithmes ; les racines  suivantes :

13°)         ;  ;

14°)        ;   ;

15°) ;  ;

 

 

 

Effectuer , par les logarithmes , le calcul des expressions suivantes :

 

 

16 ° )  =                  17°)   =

 

18°)   =                    19 °)

 

 

20°)  =                      21°)

 

22°)                             23°)

 

 

 

 PROBLEME  1 :    On donne : en 1998  il y a en France 60 000 000 de personnes .En quelle année la population aura-t-elle doublée  soit (120 000 000 de personnes) sachant que sa croissance annuelle est de  3%

 

Problème N°2

SUITE géométrique@ et

 (Pb. vu dans le cours sur les intérêts composés@

              Un capital de 9 000 francs à produit , capital et intérêts composés , une somme de 12 000 francs , le taux étant de 5 %.

Combien d’année est-il placé ?

 

 

 

Pb N°3 :

Logique « Argentine »

Buenos-Aires comporte aujourd’hui 13 millions d’habitants et augmente de 3% par an. La population totale de l’ Argentine fait 30 millions d’habitants et diminue de 1% par an. Selon cette perspective , dans combien d’année  pourra- t-on  approximativement dire que tous les Argentins vivent à Buenos-Aires ?

 

 

Corrigé des Pb : 

@ %º

 

N°4 : La première année de son ouverture au public , un musée est visité par 250 000 personnes.

Durant les années suivantes on enregistre une diminution annuelle de 8 % du nombre de visiteurs.

a)        Quel a été , dans ces conditions, le nombre de visiteurs de la deuxième année ? 

b)        Quel a été le nombre total de visiteurs au cours des deux premières années ?  

Quel a été , dans ces conditions, le nombre de visiteurs de la cinquième année ?     

 

CONTROLE :

 

Les logarithmes décimaux des nombres entiers ( N ) de 0 à 1000 .   feuille 1/2

Remarque : si le premier chiffre de la mantisse n’est pas écrit , il est à lire :

Dans la première ligne antérieure où il est écrit s’il n’y a pas d’étoile,

Dans la ligne suivante s’il y a une étoile .

f14

 

 

Les logarithmes décimaux des nombres entiers ( N ) de 0 à 1000 .   feuille 2/2

f1

 

 

 

CORRIGE des PROBLEMES.

N°1 : La première année de son ouverture au public , un musée est visité par 250 000 personnes.

Durant les années suivantes on enregistre une diminution annuelle de 8 % du nombre de visiteurs.

c)        Quel a été , dans ces conditions, le nombre de visiteurs de la deuxième année ?  230 000

d)        Quel a été le nombre total de visiteurs au cours des deux premières années ?   480 000

Quel a été , dans ces conditions, le nombre de visiteurs de la cinquième année ?      179 098 visiteurs ou autre approximation

Obtenu par calcul directe avec la formule ou calcul par années successives.

 

 

 

 

 PROBLEME  1             On donne : en 1998  il y a en France 60 000 000 de personnes .En quelle année la population aura-t-elle doublée (120 000 000 de personnes ) sachant que sa croissance annuelle est de  3%

On pose :

 

1,03n = 2

faire  , en faisant varier « n »

 

 

ou alors passer par les ..logarithmes

120 000 000 = 60 000 000 (1,03)n

soit n =

on a

log . 120 000 000 =

 log 60 000 000    =

on fait la soustraction :              =

on cherche le log 1,03

on doit effectuer la division d’un logarithme par un autre logarithme :

 

 

SUITE géométrique et (Pb. vu dans le cours sur les intérêts composés

 

PROBLEME 2

              Un capital de 9 000 francs à produit , capital et intérêts composés , une somme de 12 000 francs , le taux étant de 5 %.

Combien d’année est-il placé ?

Solution :

On aura , d’après la formule :

           12 000 = 9 000(1+0,5)n

et en appliquant le calcul logarithmique :

n =

on a  log. 12 000 = 4,07918

      log. 9 000 = 3,95424

donc : 4,07918 - 3,95424

reste :  log  0,12494

 

or log. 1,05 = 0,02119

 

On aura donc à effectuer la division d’un logarithme par un autre logarithme.

 =  5 ans 10 mois environ

 

 

Pb N°3 :

Logique « Argentine »

Buenos-Aires comporte aujourd’hui 13 millions d’habitants et augmente de 3% par an. La population totale de l’ Argentine fait 30 millions d’habitants et diminue de 1% par an. Selon cette perspective , dans combien d’année  pourra- t-on  approximativement dire que tous les Argentins vivent à Buenos-Aires ?

Corrigé :Soit « x » le nombre d’années inconnu. A)   Au bout d’un an, la population de Buenos-aires sera de : 1,03× 13.

Au bout de 2 ans : 1,03²  × 13.

Au bout de « x » ans :; 1,03 x× 13.

B) La population de toute l’Argentine au bout de un an sera : 0,99 × 30.  au bout de « x » années elle sera de 0,99x × 30

Quand tous les argentins vivront à Buenos-Aires, la population de l’ Argentine sera égale à celle de Buenos-Aires :

 

  0,99 x × 30   "H  1,03 x × 13

ce qui donne : 

 

ou :        2,3077  "H ( 1,040404) x

 

         21 < x <  22

 

Conclusion : Il apparaît que c’est en 21 ans (environ) que presque tous les Argentins vivront à Buenos-Aires, selon ce  modèle démographique.