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Les suites géométriques

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Les suites arithmétiques

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ENVIRONNEMENT du dossier:

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1°) les logarithmes vulgaires

tableau    Sphère metallique 195

Liste des cours sur le module  :  les logarithmes.

 

Module les log…. : Etude simple  de la   fonction exponentielle et des logarithmes

Problèmes résolus .

 

 

Problème  1     :   Problème de la population croissante .

 

 

PROBLEME    2 : On donne : en 1998  il y a en France 60 000 000 de personnes .En quelle année la population aura-t-elle doublée (120 000 000 de personnes ) sachant que sa croissance annuelle est de  3%

 

 

PROBLEME    3 :   Un capital de 9 000   Euros  à produit , capital et intérêts composés , une somme de 12 000  euros , le taux étant de 5 %.

Combien d’année est-il placé ?

 

 

Problème     4 : La première année de son ouverture au public , un musée est visité par 250 000 personnes. Durant les années suivantes on enregistre une diminution annuelle de 8 % du nombre de visiteurs………………………………..

 

 

 

 

 

 

 

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COURS

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Interdisciplinarité

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COURS

 

 

Problème de la population croissante .

 

Imaginons une contrée où les conditions de la vie persistent sans changement . Soit la population initiale  1000  N habitants ( N étant assez grand) Supposons la mortalité persistant à 19 pour mille par an , et la natalité persistant à 20 pour mille :

Question : que deviendra la population , au bout d’un an , de 10 ans , 100 ans , …….? Quand aura t- elle doublée ?

 

Vous direz : la population actuelle est  1 000  ( voulant signifier 1000 N) Elle deviendra 1001au bout de 1 an , augmentant de un millième de sa valeur .

 C’est exacte . Mais n’ajoutez pas qu’elle deviendra 1 002 au bout de 2 ans , 1003 au bout de 3 ans , qu’elle doublera en 1000 ans par progression arithmétique . Ce calcul , à peu prés valable en grossière approximation pour les premières années , devient de plus en plus erroné . Pour bien souligner l’erreur , disons que c’est en 693 ans ( et non pas en 1 000 ans ) que la population doublerait .Ou , sous une autre forme  , disons qu’en  1 000 ans la population ne serait pas seulement doublée mais qu’ elle  deviendrait 2 718 ;elle serait multipliée par 2,718 .

 

Ces deux nombres  693 ( au lieu de 1 000) et  2,718 ( au lieu de 2 ) marquent le même fait : que la population croît en progression géométrique  et non en progression arithmétique , que la fonction est exponentielle .

 

Principe de la solution exacte .

 

La  1ère année , la population croît du millième de sa valeur 1 000 . Elle devient 1 000 + 1 = 1001 . Elle est multipliée par 1,001.

 

La 2ème année , elle croît du millième de sa nouvelle valeur 1 001 .

 

Elle devient 1001 +   1001  = 1001 (  1  +  )

 

=1001 (  + )

 

= 1001 ()

 

=  1001   1,001

               =  1000 1,001  1,001

 

              Et chaque année , on peut calculer la nouvelle valeur en multipliant la précédente valeur par ce facteur 1,001  raison de la progression géométrique .

 

On a donc :

Population initiale ……………………..1 000

Population au bout de 1 an  ……….. …1 000 ( 1,001)

Population au bout de 2 ans  ……….. …1 000 ( 1,001)2

Population au bout de « x » ans  ………1 000 ( 1,001)x

 

 

 

 

 

Méthodes de calcul :

 

I )  Avec des adultes : nous pouvons  présenter  la recherche :

Il faut calculer  y = 1000 ( 1,001)x    . On a là une fonction (y) exponentielle ; la variable « x » s’y trouve en exposant . Le calcul  s’effectue par logarithmes . On en déduit :

 = ( 1,001)x

 

log . =  log. ( 1,001)x

 

x . log 1,001  = log .

 

 

Si par exemple , on veut que la population ait doublé , il faut que

( 1,001)x  =   =  2

 

donc , dans ce cas :

                             x . log 1,001  = log.2

Une table de logarithmes à 7 décimales donne :

Log. 1,001  = 0,000 4345     log 2 = 0,301029

On trouve donc :  x  = 0,301029 : 0,000 4345   = 693,493

 

                              x = 693  ans environ


AUTRES exemple de  PROBLEMES  « résolus »

 

 PROBLEME  2     

 

       On donne : en 1998  il y a en France 60 000 000 de personnes .En quelle année la population aura-t-elle doublée (120 000 000 de personnes ) sachant que sa croissance annuelle est de  3%

1ère  solution : 

  On pose :      1,03n = 2

faire  , en faisant varier « n »

 

ou 2ème solution :  

alors passer par les ..logarithmes

120 000 000 = 60 000 000 (1,03)n

 

soit n =

 

on a

log . 120 000 000 =

 log 60 000 000  =

on fait la soustraction :              =

on cherche le log 1,03

on doit effectuer la division d’un logarithme par un autre logarithme :

 

 

SUITE géométrique et intérêts composés

 

 

PROBLEME 3

              Un capital de 9 000   Euros  à produit , capital et intérêts composés , une somme de 12 000  euros , le taux étant de 5 %.

Combien d’année est-il placé ?

Solution :

 

On aura , d’après la formule :

           12 000 = 9 000(1+0,5)n

et en appliquant le calcul logarithmique :

 

n =

 

on a  log. 12 000 = 4,07918

      log. 9 000 = 3,95424

donc : 4,07918 - 3,95424

reste :  log  0,12494

 

or log. 1,05 = 0,02119

 

On aura donc à effectuer la division d’un logarithme par un autre logarithme.

 =  5 ans 10 mois environ

 

 

Problème N°4 : La première année de son ouverture au public , un musée est visité par 250 000 personnes.

Durant les années suivantes on enregistre une diminution annuelle de 8 % du nombre de visiteurs.

a)        Quel a été , dans ces conditions, le nombre de visiteurs de la deuxième année ? 

b)        Quel a été le nombre total de visiteurs au cours des deux premières années ?  

Quel a été , dans ces conditions, le nombre de visiteurs de la cinquième année ?     

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

 

Reprendre les exercices et modifier les valeurs de départs.

 

 

 

EVALUATION

 

 

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