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Le "carrée"  parfait

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Racine carrée

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1°)Racines carrés d’opérations simples

Tableau      79

Info : les logarithmes

Encadrement

DOSSIER:  EXTRACTION d’ une  RACINE carrée 

1)      Extraction d’une racine carrée de nombres entiers :

2)    Extraction d’une racine carrée de nombres décimaux :

 

 et Valeur approchée  et encadrement   d’une racine carrée.

 

3°) Logarithmes et extraction des racines (d’indice supérieur à 2 ) .

 

TEST

  écran         

COURS

               

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

                

 

Corrigé Contrôle  

Corrigé évaluation 

 

Travaux avec la calculatrice : taper des valeurs et comparer le résultat  donné par la table  numérique

 

 


COURS

 

 « extraction d’une racine carrée »   Extraire la racine carrée d’un nombre c’est trouver la racine carrée de ce nombre

 

  Extraction d’une racine carrée de nombres entiers

a)      Soit donc à trouver la racine carrée à une unité prés du nombre  68

La connaissance des carrés des dix premiers nombres nous indique que 68  est compris entre les carrés parfaits  64 et 81  et que par suite sa racine carrée est comprise entre 8 et 9 , c’est à dire que  = 8 à une unité prés ;

64 < 68 < 81

  <   <

8 <  < 9

 

b) le nombre est supérieur  à 100 .

 

 Règle : pour extraire la racine carrée d’un nombre ( exemple 7 459 824 ) entier à une unité près , on le partage en tranche de deux chiffres à partir de la droite (  7.45.98.24 ) . Le nombre de tranche , dont la première de gauche ( 7 ) peut n’avoir qu’un chiffre , est égal au nombre de chiffres de la racine ( 4) . On dispose l’opération comme une division , les chiffres de la racine s’inscrivant à la place du diviseur .

 

 

On extrait la racine carrée de la première tranche à gauche ce qui donne le premier chiffre de la racine ( 2 ) . En retranchant le carré de ce chiffre ( 4 ) de la première tranche ( 7 ) on obtient le premier reste ( 3 ) à la droite duquel on abaisse la deuxième tranche ( 45 ) ce qui donne le premier nombre partiel ( 345 )  On sépare  un chiffre à droite de ce nombre ( 34.5 ) et on divise le nombre de gauche ( 34 ) par le double de la racine ( 4 ) . Le quotient ( 8 ) ainsi trouvé donne le deuxième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort . Pour l’essayer on l’écrit à droite du double ( 4 ) de la racine déjà trouvée ( 2) et on multiplie le nombre ( 48) ainsi formé par le chiffre ( 8 ) essayé . Si le produit obtenu ( 384) peut se retrancher du premier nombre partiel ( 345 ) le  chiffre essayé est exact , sinon  ( ce qui est le cas de notre exemple ) on essaye le chiffre (7) immédiatement inférieur et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on obtienne un produit  ( 329 ) inférieur au premier nombre partiel ( 345 ) . On fait la différence ( 345 – 329 ) ce qui donne le deuxième reste ( 16 ) à la droite duquel on abaisse la troisième tranche ( 98 )  pour obtenir le deuxième nombre partiel ( 1698 ) . On sépare un chiffre à la droite  de ce nombre ( 169.8) et on divise la partie de gauche ( 169 ) par le double de (54) du nombre ( 27) déjà obtenu à la racine . Le quotient ( 3 )  est  égal ou supérieur au troisième chiffre de la racine . Pour l’ essayer on l’écrit à droite du double  ( 54) de la racine et on multiplie le nombre ( 543) ainsi formé par le chiffre (3) essayé . On retranche  ce produit ( 1629 ) du deuxième nombre partiel  ( 1698) . Si la soustraction ne peut se faire on essaie successivement les chiffres inférieurs jusqu’à ce que l’on ait trouvé le chiffre exact.

 

On continue l’opération de la même manière jusqu’à ce que l’on ait abaissé toutes les tranches . Le dernier reste ( 1463) est le reste de l’opération.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Remarques :

1°) Il peut arriver que le quotient de l’une des divisions soit supérieur à 9 ; dans ce cas on commence les essaies par le chiffre 9 ( voir ci contre )

 

 

2°) si le quotient est 0 , 0 est le chiffre correspondant de la racine et on abaisse la tranche suivante à la droite du nombre partiel précédent. (voir exemple ci contre)

 

3°) Pour  former rapidement le double du nombre déjà trouvé à la racine , il suffit d’additionner les deux nombres du produit précédent.(voir ci contre)

le double de 27 est 47 +7 = 54

2 fois 273 = 543 +3 =   546

 

 

 

Preuves : 

7 459 824 = (2731  2731) + 1463

   =  2 731

38 576 = ( 196  196 ) + 160

 donc = 196

 

 

164 873 = ( 406 406 ) + 37

donc  = 406

 

Preuves  par 9 : on opère comme pour la division en remarquant que dans ce cas le diviseur  et le quotient sont tous deux égaux à la racine et que le dividende est formé par le nombre ; toute fois , le reste peut être supérieur à la racine.

 

Cas particulier : pour obtenir des chiffres décimaux à la racine , on continue l’opération en abaissant des tranches de deux zéros .


 

Extraction d’une racine carrée de nombres décimaux :

 

Pour extraire la racine carrée d’un nombre décimal , on extrait d’abord la racine carrée de la partie  entière et on continue à abaisser des tranches de deux chiffres décimaux , les tranches partant de la virgule aussi bien  pour la partie entière que pour la partie décimale :

 

Exemples  de calculs :

 

  = 231,209 à 0,001 près

 = 28,72 à 0,01 près

  = 0,277 à 0,001 près

= 0,092 à 0,001 près

 

IV ) Valeur approchée  et encadrement   d’une racine carrée

Pré requis : arrondir et troncature

Sur la calculatrice , on lit = 2,236 067 978 ….

En général il est inutile de donner toutes les décimales.

Mais on peut affirmer par exemple que :  2,236 <   < 2,237

 

On dit que l’on a un encadrement de  d’amplitude 0,001 .

 

2,236 est une valeur approchée par défaut à  10-3 prés (par excès)de   

 

2,237 est une valeur approchée par excès à  10-3 prés  (par défaut)de

 

 

Plus généralement :

 

Si  a - 10-n  £  x  £   a + 10-n 

On dit que « a » est une valeur approchée de « x » à la précision : 10-n

 

Autres exemples :

 

Encadrement d’amplitude 10-4 de

Calculatrice :

  = 44,69899328

donc  44,6989£  £  44,6990

Encadrement d’amplitude 10-4 de

Calculatrice :

 = 0,234520788

donc : 0,2345£  £  0,2346

 

 

 

3°) « Logarithmes » et « extraction des racines ».              ( info ++++)

 

Les logarithmes fournissent le seul moyen pratique le seul moyen pratique de calculer une racine d’indice supérieur à « 2 » . 

 

 

Exemple : calculer       x  =   

 

 

     Log x  =  log . 

 

 

   Log x =  

 

 

 

Recherche de     Log 620,8  =  2,7930

 

 

   Log x =  

 

 

 

   Log x =   0,5586

Calculatrice : taper   0,5586  inv. Log = 3,6190951388429760583687708697818

 

 

 

  D’ où       x  = 3,619

 

 

 

 

 

Nota : lorsqu’un logarithme a une caractéristique négative , on le divise par un nombre entier en diminuant la caractéristique et en augmentant la mantisse  d’un même nombre entier , choisi de telle sorte que la caractéristique devienne  égale au multiple du diviseur qui vient après la valeur absolue de cette caractéristique dans la suite des nombres.

 

 

Exemples :

         

 

 

Exemple :

 calculer :

 

 

Log x = 

 

 

            X=  0,3755

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

On a vu que toute racine d’un nombre se traduisait par la division du logarithme de ce nombre par l’indice de la racine .

 

Exercice : Effectuer la racine cubique  ( x )   de 5 197 ; que l’on écrit  : 

 

On disposera :

      x  =  

log x    =    log de  5197

    Log. X    =     log . 5197                        ( log de  5197 =    3 , 71575 )

  

  Log x  =    ( 3 , 71575 ) 

 

  Log x  =  1, 23858 

 

        x  =    17,32

On recherchera, dans la table, le nombre correspondant au log. 1,23858 , et l’on trouvera :  17,32

Qui est la racine  demandée.

 

 

Avec la calculatrice , en utilisant la fonction racine ; on trouve :17,32144978

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE

Partie 1

1°) Dites tout ce que vous savez sur ce symbole:

            

 

2°) Que désigne le mot  « radical »  ?

3°) Que désigne le mot   « radicande »  ?

 

Partie 2 :

LES RACINES CARREES.

4°) Donner les trois écritures utilisées en mathématique pour indiquer que l’on désire connaître  la valeur de la racine carrée d’un nombre.(prenez le nombre :  36 )

   *on ne vous demande pas de faire le calcul !

5°) Traduire en langage littéral  , donner son utilisation  :

 

"ixe"  puissance un sur  i grec

            ou          

 

 

traduire :

:    est égale   est égale  

 

6°) Que cherche - t - on  à  obtenir  lorsque  l’on veut connaître la racine carrée d’un nombre ?

 

7°) Quelles sont les différentes façons de connaître la racine carré d’un nombre ?

   *cela sera   vraie pour tous les cas de recherche de la valeur des « racines ».

 

 

8°) Donnez la procédure permettant d’obtenir la racine carrée d’un nombre à la calculatrice!

(Il en existe deux .......).

 

9°) sous la racine il y a des nombres séparer par des signes opératoires ; que faut –il faire avant de rechercher la racine ?

 

10°) Sous la racine on a une inconnue , il faudra donc « résoudre » , comment faudra t –il procéder pour isoler ?

 

EVALUATION

 

1° ) Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dixLavec la calculatrice)

de 100  à 10 8

si elles existent ! pour  100  ;101 ; 102 ;  103 ;  104  ; 105 ; 106  ;10 7 ; 10 8;

 

2°) soit  un nombre « x » ; trouver la racine carrée du nombre :

 

x =0,25  ;      =

 

x = 7,29  ;     =

 

x = 33,64   ;   =

 

x = 81    ;       =

 

x = 291 600   ;      =

 

x = 2 744 000    ;   =

 

x = 1,5746108  ;   =

 

 

3 ° ) Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec la précision du  dixième

 

 =

 =

 =

 

4 ° ) Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec la précision du   centième

 =

 =

(faire d’abord le calcul sous le radical ) =

 

5 °) Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec la précision du millième ((faire d’abord le calcul sous le radical)

 =

 =

 =

 =

 =

6°) Donner, de mémoire,  la racine carrée des nombres suivants:

 16  ; 36  ; 81 ;  25 ;   49  ; 4  ; 1   ; 9  ; 144  ; 121 ;  64 ;  100  ;

 

 

7° ) Donner la valeur de la racine carrée de "2"  et de "3" .:

8°) donner le résultat de la racine carrée des nombre suivants :

  = __________________ à 0,001 près

 

 = ___________________à 0,01 près

 

  = ___________________ à 0,001 près

 

= ____________________ à 0,001 près

 

 

( Résultats dans le cours)

 

INTERDISCIPLINARITE

Compléter le tableau suivant : Interdisciplinarité:  Les racines  en sciences

       En science on utilise l’écriture  m1 ;  m2 ;  dans quelle activité , préciser , comment  passe-t-on de l’un à l’autre ?

 

Calcul d’ aire d’un carré : et inverse

 

 

  Extraction d’une racine carrée de nombres entiers

 

a)  Soit donc à trouver la racine carrée à une unité prés du nombre  68

La connaissance des carrés des dix premiers nombres nous indique que 68  est compris entre les carrés parfaits  64 et 81  et que par suite sa racine carrée est comprise entre 8 et 9 , c’est à dire que  = 8 à une unité prés ;

64 < 68 < 81

  <   <

8 <  < 9

 

b)  le nombre est supérieur  à 100 .

 

 Règle : pour extraire la racine carrée d’un nombre ( exemple 7 459 824 ) entier à une unité près , on le partage en tranche de deux chiffres à partir de la droite (  7.45.98.24 ) . Le nombre de tranche , dont la première de gauche ( 7 ) peut n’avoir qu’un chiffre , est égal au nombre de chiffres de la racine ( 4) . On dispose l’opération comme une division , les chiffres de la racine s’inscrivant à la place du diviseur .

 

 

On extrait la racine carrée de la première tranche à gauche ce qui donne le premier chiffre de la racine ( 2 ) . En retranchant le carré de ce chiffre ( 4 ) de la première tranche ( 7 ) on obtient le premier reste ( 3 ) à la droite duquel on abaisse la deuxième tranche ( 45 ) ce qui donne le premier nombre partiel ( 345 )  On sépare  un chiffre à droite de ce nombre ( 34.5 ) et on divise le nombre de gauche ( 34 ) par le double de la racine ( 4 ) . Le quotient ( 8 ) ainsi trouvé donne le deuxième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort . Pour l’essayer on l’écrit à droite du double ( 4 ) de la racine déjà trouvée ( 2) et on multiplie le nombre ( 48) ainsi formé par le chiffre ( 8 ) essayé . Si le produit obtenu ( 384) peut se retrancher du premier nombre partiel ( 345 ) le  chiffre essayé est exact , sinon  ( ce qui est le cas de notre exemple ) on essaye le chiffre (7) immédiatement inférieur et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on obtienne un produit  ( 329 ) inférieur au premier nombre partiel ( 345 ) . On fait la différence ( 345 – 329 ) ce qui donne le deuxième reste ( 16 ) à la droite duquel on abaisse la troisième tranche ( 98 )  pour obtenir le deuxième nombre partiel ( 1698 ) . On sépare un chiffre à la droite  de ce nombre ( 169.8) et on divise la partie de gauche ( 169 ) par le double de (54) du nombre ( 27) déjà obtenu à la racine . Le quotient ( 3 )  est  égal ou supérieur au troisième chiffre de la racine . Pour l’ essayer on l’écrit à droite du double  ( 54) de la racine et on multiplie le nombre ( 543) ainsi formé par le chiffre (3) essayé . On retranche  ce produit ( 1629 ) du deuxième nombre partiel  ( 1698) . Si la soustraction ne peut se faire on essaie successivement les chiffres inférieurs jusqu’à ce que l’on ait trouvé le chiffre exact.

 

On continue l’opération de la même manière jusqu’à ce que l’on ait abaissé toutes les tranches . Le dernier reste ( 1463) est le reste de l’opération.

 

Remarques :

1°) Il peut arriver que le quotient de l’une des divisions soit supérieur à 9 ; dans ce cas on commence les essaies par le chiffre 9 ( voir ci contre )

 

 

2°) si le quotient est 0 , 0 est le chiffre correspondant de la racine et on abaisse la tranche suivante à la droite du nombre partiel précédent. (voir exemple ci contre)

 

3°) Pour  former rapidement le double du nombre déjà trouvé à la racine , il suffit d’additionner les deux nombres du produit précédent.(voir ci contre)

le double de 27 est 47 +7 = 54

2 fois 273 = 543 +3 =   546

 

 

 

Preuves : 

7 459 824 = (2731  2731) + 1463

   =  2 731

38 576 = ( 196  196 ) + 160

 donc = 196

 

 

164 873 = ( 406 406 ) + 37

donc  = 406

 

Preuves  par 9 : on opère comme pour la division en remarquant que dans ce cas le diviseur  et le quotient sont tous deux égaux à la racine et que le dividende est formé par le nombre ; toute fois , le reste peut être supérieur à la racine.

 

Cas particulier : pour obtenir des chiffres décimaux à la racine , on continue l’opération en abaissant des tranches de deux zéros .


 

Extraction d’une racine carrée de nombres décimaux :

 

Pour extraire la racine carrée d’un nombre décimal , on extrait d’abord la racine carrée de la partie  entière et on continue à abaisser des tranches de deux chiffres décimaux , les tranches partant de la virgule aussi bien  pour la partie entière que pour la partie décimale :

 

Exemples  de calculs :

 

  = 231,209 à 0,001 près

 = 28,72 à 0,01 près

  = 0,277 à 0,001 près

                    

= 0,092 à 0,001 près

 

 

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