Pré requis: 

Vocabulaire : les radicaux

 

Le "carrée"  parfait

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index        

Objectif précédent  

Le « carré » d’un nombre

Objectif suivant

1°)Racines carrés d’opérations simples

2°) extraction d’une racine carrée

3°) la table numérique

1°) Tableau      79

2°) liste des objectifs sur les puissances et racines

 

3°) Cours niveau V

4°)  Racines cubiques  

5°) encadrement d’un résultat

DOSSIER:     RACINES CARREES d’un nombre entier ( N ) .

I  )  « RACINE » d’un nombre " :  Nomenclature

 II )   « Racine carrée »

 III )   Approximation de la racine carrée de 2 ; notée     ou

 

 IV)    Valeur approchée  et encadrement   d’une racine carrée.   

 

TEST

écran         

COURS

Devoir  Contrôle

Devoir évaluation

Interdisciplinarité

 

Corrigé Contrôle

Corrigé évaluation 

 

 

 

 

 

 

Travaux avec la calculatrice : taper des valeurs et comparer le résultat  donné par la table  numérique

 

 

  Définition de l’objectif : Savoir « donner » le radical d’un nombre..    (On dit aussi donner la racine « carrée  ou cubique d’un nombre »)

Rappel nous abordons la racine carrée d’un nombre entier naturel ; ne pas  confondre avec la racine carrée d’un nombre relatif…

 

 

 

COURS

 

Partie 1 :

 

I ) « RACINE »   Nomenclature

 

a)  « Radical »

                Le mot « Radical » est le nom donné au signe :                

 

                Ce signe  est constitué d’un « vé » prolongé par une barre horizontale.(recouvrant totalement un nombre ou une opération ).

   Exemples  : 

  ;  ;  ;

 

b ) « Radicande »

 

Le nombre (ou opération)  situé sous la barre horizontale s’appelle : radicande

 

c ) Info sur les informations qui  gravitent  autour du radical  :

 La barre horizontale prolongeant le «  » couvre la partie numérique(exemple  ; ici  25 est  appelé le « radicande ».

 

 

                                                     

 

en prolongement de  la branche la plus courte du « vé » (à gauche) de la pointe du « vé »  est inscrit  un nombre ( « n » appelé « indice »)  ;  il  indique le degré de la « racine » :

Quand « n » vaut « 2 » on dit : « racine carré » ; et l’on dit « racine cubique »  pour le nombre « 3 » , ou « quatrième » pour le nombre  « 4 »  ;ainsi de suite.........                 

 

La pointe du « vé » étant sur la ligne d’écriture.

 

Nota : il est commun en collège de ne pas mettre le nombre «2 » , et  , on a décider ( ?) que l’on devait lire « racine carrée »  à la vue de ce symbole :attention cela n’est qu’une simplification d’écriture «   »  . Qu’il faudra oublier au lycée.

La « racine carrée de 9 »   s’écrit au collège    alors que l’on devrait écrire :

 

PARTIE 2

 

II ) « RACINES CARRES» 

 

PREALABLE:  il n ' y  a pas de "racine carrée d ' un nombre", si ce nombre n'est pas le carré d'un autre .

 

Cas courants  :

 

 

              Il y a plusieurs  modèles d’écritures  mathématiques permettant  d’indiquer que l’on veut connaître la racine "carrée" d’un nombre   :

 

 

A) Le plus courant au collège :

 

  «  Par convention »,au collège; on « simplifie »  l’écriture , on n’inscrit pas la valeur "2" sur la branche du vé

 

   on dit i: « racine carrée de 25 » que  l’on traduit en écriture mathématique par «  »

 

Racine carrée .de   « x »    s’écrit  en mathématique   

 

 

B ) Deuxième écriture ; au lycée:

  

           Le nombre "2" apparaît sur le vé .

           Cela se traduit par : "faire la « racine carrée » du nombre « 25 »"

 que  l’on traduit en écriture mathématique

 

Le mot « carré » est à mettre en relation avec la leçon sur « périmètres ,aires et volumes.

 

 

« racine carrée » du nombre «x » se traduit en écriture mathématique  par         

 

 

C ) Autre écriture utilisée :

       (écriture utilisée  sur  les calculatrices)    

 

                  La racine carrée d’ un nombre  est signifiée aussi sous forme de puissance .(écriture qui sera intéressante pour faire le calcul des "dérivées" )

 

                  On met le nombre sous forme de puissance  "fractionnaire" de numérateur égale à 1 et de dénominateur égal à 2;

Ainsi :     devient

   lire:       25 « puissance un demi »

              

 

on peut dire aussi : Racine « un demi » de 25.

 

 

 

 

CONCLUSION:

dans tous les cas les trois  écritures sont équivalentes ,elles ont la même signification.

:    est égale   est égale  

 

« Racine carrée du nombre 25 ? »      ( résultat = 5 )

 

Comment trouver la valeur de la racine carrée d'un nombre ?

 

On utilise souvent l'expression  "faire la racine carrée d’un nombre" ou "« extraire » la racine carrée":

 

        " Faire" la « racine carrée » d’un nombre « X »(grand ixe )c’est c’ est rechercher le nombre de départ ( sa racine! )« x » (petit ixe ) qui  multiplié à lui même (« x » (petit ixe) fois  « x »  ( petit ixe  ) a donné « X »(grand ixe).

    

   Exemple: Faire la « racine carrée » d’un nombre « 81 »(grand ixe )c’est c’ est rechercher le nombre de départ «9x » (petit ixe ) qui  multiplié à lui même («9x » (petit ixe) fois  «9 »  ( petit ixe  ) a donné « 81 »(grand ixe).

 

 Traduction en langage mathématique:

Si   81 = 9  fois9 = 92;  alors  9  =      

 

On peut écrire :                   = 9

 

Généralisons:

 

A savoir :  = x

 

Comment obtenir la valeur de la  racine carrée d’un nombre?:

 

                                    On nous dit  que le nombre donné  ( X ) est le « carré » d’un autre nombre( x ):   si l'on veut  trouver la valeur de « x »   ,  il faut faire la « racine carrée » de « X ».*

 

 

Pour obtenir la valeur numérique de la racine carrée d’un nombre :

       Il y a    4    possibilités:

 

1 )par calcul.(on dit "extraire ")

        On dit dans ce cas  que l'on va « extraire la racine carrée »;la procédure permettant d’extraire la racine carrée  d’un nombre ne  sera pas traité dans cet objectif.

 

2  )par identification   :  reconnaît  des carrés parfaits ,on en déduit alors sa racine

Dans l’exemple:

      on connaît les carrés parfaits et alors on sait que 9fois9 est égal à 81;on conclut que x = 9

,

3 )  par utilisation d’une table numérique Lil faut alors avoir à sa disposition une table numérique , voir dans les livres de mathématiques.

  la procédure d’utilisation d’une table numérique n’est pas  prévue dans cet objectif.

 

 4 ) ou utilisation de la calculatrice.(c'est le cas le plus courant ,)

 

 

Exemple d’exercice de recherche de la racine d'un nombre avec une calculatrice :

     

       Question :   Donner la valeur de la racine carrée de 81; à l'aide d'une calculatrice.

 

      Résolution:

                  a) On sait que   = x   (parce que l’on sait .....!)

               

                  b) On pose : X = 81    ; et l’on remplace X dans l’égalité précédente

on peut écrire que :

x=   

                c) il ne reste plus qu'à  recherche de la valeur numérique :  de « x » (voir les possibilités)

 

 

Utilisation de la calculatrice :

 

Procédure:

 (En règle générale il y a sur les calculatrices  deux possibilités , il faut utiliser  la notice  du

fabriquant )

 

               a )  soit en utilisant la touche       

 


taper   8     et   1          puis  sur la touche         :résultat affiché :    9

 

 

              b ) soit en utilisant la touche  :            ou          

 

 

Procédure pour obtenir la racine « carrée » à la calculatrice :

 

a) traduire  « racine carrée de 81 » :   en  « 81 puissance un demi » : 

811/2

b)taper

8  et  1

c)taper  sur la touche            

INV.

d)taper sur la touche      

x 1/y   ou  y 1/x

f)taper le nombre     

2

g)taper sur le signe  

=

h) lire le résultat sur l’écran:   

9

 

INFO (s):

     1°)    si 3 2  (tris au carré) est égal  9  , on dira que   «  » (neuf puissance un demi) est égal  à  3     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°)   Exercices les plus exécutés:

 

 

Soit une valeur de x

on pose  x y

le résultat de x y est   = X

on fait le calcul de   =(racine nième )

le résultat de  est   x

soit

si      x  =

x y = X

calculons   X

   =

  =  x

5

52

25

 =

= 5

3

33

27

 ==

    =  3

7

74

2401

 ==

= 7

 

Commentaires:

      a)  s’  il n’y a pas de difficulté à calculer  la puissance d’un nombre (x y ); il n’en est pas de même pour calculer la racine nième d’un nombre  (cela est plus difficile !)

   b ) lorsque  sous la racine il y a des nombres séparés par des signes opératoires ; que faut -il faire avant de « rechercher » la racine ?

                     il faut effectuer l’opération ;  Il ne doit rester qu'un nombre sous la racine !

                   Si sous le radical il y a des opérations ,il faut faire "en priorité" le ou les calculs sous la racine , pour n'avoir plus qu'un seul nombre..

Exemples:

 

 

transformation

Réponse(affichage à l'écran)

 =

 

19,416488

 =

 

10,246951

181,04143

 =

 

1,331187

 

         Pour vérifier il faudrait « élever »  la "réponse au carrée":

Exemple : 19,4164882  = 377,00001  ; et conclure que 19,416488 »  

 

 

   C ) Sous la racine on a une inconnue "x" , il faudra donc « résoudre » , comment faudra t -il procéder pour isoler ?  (exemple:  5  =  )

 

                         Si nous avons une racine carrée dont le radicande possède une inconnue « x »  il faudra  « élevé » au « carrée » ,les deux membres de l’égalité.(cas rencontré dans  « Pythagore »)

 

 

Résultats à connaître « par cœur »:   

 

 

1° ) La racine carrée de 2  vaut  1,414  ( voir le calcul de la longueur de la diagonale d’un carré) et = 1,732 (utile pour un calcul dans le triangle)

 

2°)    Les  racines carrées des carrés parfaits sont :

 

Carrés parfaits

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 

III )   Approximation de la racine carrée de 2 ; notée     ou  :

 

Construction de

Info +++ Pythagore

A partir d’un segment OA de longueur 1 , on construit la perpendiculaire ( D) passant par A . On porte sur (D) le point B tel que AB = 1

D’après le théorème de Pythagore , le segment OB est de longueur

a)  Avec la table : le résultat  de  : est donné avec 3 chiffres exacts après la virgule :  1, 414

b )   Avec les calculatrices actuelles il est possible d’obtenir  de   avec une valeur avec 12 chiffres exacts après la virgule :  1,41413562373……

c)  Pour obtenir ces décimales ; un  procédé courant en mathématiques consiste à trouver une suite de nombres ( en général des rationnels) x0 , x1 ,x2  ,x3 , etc.. ; se rapprochant de plus en plus de la valeur cherchée

 

Ici par exemple , on peut choisir  x0 = 1

 

Puis  x1  =  ( x0 +)       ;   on obtient alors la valeur suivante : 1,5

 

Puis  x2  =  ( x1 +)       ;   on obtient alors la valeur suivante : 1,41666..

 

Puis  x3  =  ( x2 +)       ;   on obtient alors la valeur suivante : 1,4142156863

 

Etc.

Commentaire : comment sait-on que les nombres xn  se rapprochent de  au fur et à mesure que « n »  augmente. ? Sans entrer dans le détail , nous pouvons indiquer qu’une des  propriétés utilisées ici est que  est solution de l’équation      x  =  ( x +)

 

 

 

 

d )  Une autre possibilité est  le calcul  en posant l’opération  appelé « extraction d’une racine carrée »

Extraire la racine carrée d’un nombre c’est trouver la racine carrée de ce nombre

 

IV ) Valeur approchée  et encadrement   d’une racine carrée

 

 

Pré requis : arrondir et troncature

Sur la calculatrice , on lit = 2,236 067 978 ….

En général il est inutile de donner toutes les décimales.

Mais on peut affirmer par exemple que :  2,236 <   < 2,237

 

On dit que l’on a un encadrement de  d’amplitude 0,001 .

 

2,236 est une valeur approchée par défaut à  10-3 prés (par excès)de   

 

2,237 est une valeur approchée par excès à  10-3 prés  (par défaut)de

 

 

Plus généralement :

 

Si  a - 10-n  £  x  £   a + 10-n 

On dit que « a » est une valeur approchée de « x » à la précision : 10-n

 

Autres exemples :

 

Encadrement d’amplitude 10-4 de

Calculatrice :

  = 44,69899328

donc  44,6989£  £  44,6990

Encadrement d’amplitude 10-4 de

Calculatrice :

 = 0,234520788

donc : 0,2345£  £  0,2346

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE

 

Partie 1

1°) Dites tout ce que vous savez sur ce symbole:

            

 

2°) Que désigne le mot  « radical »  ?

3°) Que désigne le mot   « radicande »  ?

 

Partie 2 :  LES RACINES CARREES.

4°) Donner les trois écritures utilisées en mathématique pour indiquer que l’on désire connaître  la valeur de la racine carrée d’un nombre.(prenez le nombre :  36 )

   *on ne vous demande pas de faire le calcul !

5°) Traduire en langage littéral  , donner son utilisation  :

 

"ixe"  puissance un sur  i grec

            ou          

 

 

traduire :

:    est égale   est égale  

 

6°) Que cherche - t - on  à  obtenir  lorsque  l’on veut connaître la racine carrée d’un nombre ?

 

7°) Quelles sont les différentes façons de connaître la racine carré d’un nombre ?

   *cela sera   vraie pour tous les cas de recherche de la valeur des « racines ».

 

 

8°) Donnez la procédure permettant d’obtenir la racine carrée d’un nombre à la calculatrice!

(Il en existe deux .......).

 

9°) sous la racine il y a des nombres séparer par des signes opératoires ; que faut –il faire avant de rechercher la racine ?

 

10°) Sous la racine on a une inconnue , il faudra donc « résoudre » , comment faudra t –il procéder pour isoler ?

 

 

 

EVALUATION

 

1° ) Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dixLavec la calculatrice)

de 100  à 10 8

si elles existent ! pour  100  ;101 ; 102 ;  103 ;  104  ; 105 ; 106  ;10 7 ; 10 8;

 

2°) soit  un nombre « x » ; trouver la racine carrée du nombre :

 

x =0,25  ;      =

 

x = 7,29  ;     =

 

x = 33,64   ;   =

 

x = 81    ;       =

 

x = 291 600   ;      =

 

x = 2 744 000    ;   =

 

x = 1,5746108  ;   =

 

 

3 ° ) Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec la précision du  dixième

 

 =

 =

 =

 

4 ° ) Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec la précision du   centième

 =

 =

(faire d’abord le calcul sous le radical ) =

 

5 °) Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec la précision du millième ((faire d’abord le calcul sous le radical)

 =

 =

 =

 =

 =

6°) Donner, de mémoire,  la racine carrée des nombres suivants:

 16  ; 36  ; 81 ;  25 ;   49  ; 4  ; 1   ; 9  ; 144  ; 121 ;  64 ;  100  ;

 

 

7° ) Donner la valeur de la racine carrée de "2"  et de "3" .:

8°) donner le résultat de la racine carrée des nombre suivants :

  = __________________ à 0,001 près

 

 = ___________________à 0,01 près

 

  = ___________________ à 0,001 près

 

= ____________________ à 0,001 près

 

 

( Résultats dans le cours)

 

INTERDISCIPLINARITE

Compléter le tableau suivant : Interdisciplinarité:  Les racines  en sciences

       En science on utilise l’écriture  m1 ;  m2 ;  dans quelle activité , préciser , comment  passe-t-on de l’un à l’autre ?

Calcul d’ aire d’un carré : et inverse

 

 

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