Pré requis: 

Vocabulaire : les radicaux

 

Le "carrée"  parfait

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index : warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

Le « carré » d’un nombre

Objectif suivant Sphère metallique

)Racines carrés d’opérations simples

2°) extraction d’une racine carrée

3°) la table numérique

1°) Tableau      Sphère metallique79

2°) liste des objectifs sur les puissances et racines

 

3°) Cours niveau V

4°)  Racines cubiques  Boule verte

5°) encadrement d’un résultat

DOSSIER:     RACINES CARREES d’un nombre entier ( N ) .

I  )  « RACINE » d’un nombre " :  Nomenclature

 II )   « Racine carrée »

 III )   Approximation de la racine carrée de 2 ; notée     ou

 

 IV)    Valeur approchée  et encadrement   d’une racine carrée.                                                                                             

 

TEST

écran         Boule verte

COURS

Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

Boule verte

 

Corrigé Contrôle Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

 

 

 

 

Travaux avec la calculatrice : taper des valeurs et comparer le résultat  donné par la table  numérique

 

 

  Définition de l’objectif : Savoir « donner » le radical d’un nombre..    (On dit aussi donner la racine « carrée  ou cubique d’un nombre »)

Rappel nous abordons la racine carrée d’un nombre entier naturel ; ne pas  confondre avec la racine carrée d’un nombre relatif…

 

 

 

COURS

 

Partie 1 :

 

I ) « RACINE »   Nomenclature

 

a)  « Radical »

                Le mot « Radical » est le nom donné au signe :                

 

                Ce signe  est constitué d’un « vé » prolongé par une barre horizontale.(recouvrant totalement un nombre ou une opération ).

   Exemples  : 

  ;  ;  ;

 

b ) « Radicande »

 

Le nombre (ou opération)  situé sous la barre horizontale s’appelle : radicande

 

c ) Info sur les informations qui  gravitent  autour du radical  :

 La barre horizontale prolongeant le «  » couvre la partie numérique(exemple  ; ici  25 est  appelé le « radicande ».

 

 

                                                     

 

en prolongement de  la branche la plus courte du « vé » (à gauche) de la pointe du « vé »  est inscrit  un nombre ( « n » appelé « indice »)  ;  il  indique le degré de la « racine » :

Quand « n » vaut « 2 » on dit : « racine carré » ; et l’on dit « racine cubique »  pour le nombre « 3 » , ou « quatrième » pour le nombre  « 4 »  ;ainsi de suite.........                 

 

La pointe du « vé » étant sur la ligne d’écriture.

 

Nota : il est commun en collège de ne pas mettre le nombre «2 » , et  , on a décider ( ?) que l’on devait lire « racine carrée »  à la vue de ce symbole :attention cela n’est qu’une simplification d’écriture «   »  . Qu’il faudra oublier au lycée.

La « racine carrée de 9 »   s’écrit au collège    alors que l’on devrait écrire :

 

PARTIE 2

 

II ) « RACINES CARRES» 

 

PREALABLE:  il n ' y  a pas de "racine carrée d ' un nombre", si ce nombre n'est pas le carré d'un autre .

 

Cas courants  :

 

 

              Il y a plusieurs  modèles d’écritures  mathématiques permettant  d’indiquer que l’on veut connaître la racine "carrée" d’un nombre   :

 

 

A) Le plus courant au collège :

 

  «  Par convention »,au collège; on « simplifie »  l’écriture , on n’inscrit pas la valeur "2" sur la branche du vé

 

   on dit i: « racine carrée de 25 » que  l’on traduit en écriture mathématique par «  »

 

Racine carrée .de   « x »    s’écrit  en mathématique   

 

 

B ) Deuxième écriture ; au lycée:

  

           Le nombre "2" apparaît sur le vé .

           Cela se traduit par : "faire la « racine carrée » du nombre « 25 »"

 que  l’on traduit en écriture mathématique

 

Le mot « carré » est à mettre en relation avec la leçon sur « périmètres ,aires et volumes.

 

 

« racine carrée » du nombre «x » se traduit en écriture mathématique  par         

 

 

C ) Autre écriture utilisée :

       (écriture utilisée  sur  les calculatrices)    

 

                  La racine carrée d’ un nombre  est signifiée aussi sous forme de puissance .(écriture qui sera intéressante pour faire le calcul des "dérivées" )

 

                  On met le nombre sous forme de puissance  "fractionnaire" de numérateur égale à 1 et de dénominateur égal à 2;

Ainsi :     devient

   lire:       25 « puissance un demi »

              

 

on peut dire aussi : Racine « un demi » de 25.

 

 

 

 

CONCLUSION:

dans tous les cas les trois  écritures sont équivalentes ,elles ont la même signification.

:    est égale   est égale  

 

« Racine carrée du nombre 25 ? »      ( résultat = 5 )

 

Comment trouver la valeur de la racine carrée d'un nombre ?

 

On utilise souvent l'expression  "faire la racine carrée d’un nombre" ou "« extraire » la racine carrée":

 

        " Faire" la « racine carrée » d’un nombre « X »(grand ixe )c’est c’ est rechercher le nombre de départ ( sa racine! )« x » (petit ixe ) qui  multiplié à lui même (« x » (petit ixe) fois  « x »  ( petit ixe  ) a donné « X »(grand ixe).

    

   Exemple: Faire la « racine carrée » d’un nombre « 81 »(grand ixe )c’est c’ est rechercher le nombre de départ «9x » (petit ixe ) qui  multiplié à lui même («9x » (petit ixe) fois  «9 »  ( petit ixe  ) a donné « 81 »(grand ixe).

 

 Traduction en langage mathématique:

Si   81 = 9  fois9 = 92;  alors  9  =      

 

On peut écrire :                   = 9

 

Généralisons:

 

A savoir :  = x

 

Comment obtenir la valeur de la  racine carrée d’un nombre?:

 

                                    On nous dit  que le nombre donné  ( X ) est le « carré » d’un autre nombre( x ):   si l'on veut  trouver la valeur de « x »   ,  il faut faire la « racine carrée » de « X ».*

 

 

Pour obtenir la valeur numérique de la racine carrée d’un nombre :

       Il y a    4    possibilités:

 

1 )par calcul.(on dit "extraire ")

        On dit dans ce cas  que l'on va « extraire la racine carrée »;la procédure permettant d’extraire la racine carrée  d’un nombre ne  sera pas traité dans cet objectif.

 

2  )par identification   :  reconnaît  des carrés parfaits ,on en déduit alors sa racine

Dans l’exemple:

      on connaît les carrés parfaits et alors on sait que 9fois9 est égal à 81;on conclut que x = 9

,

3 )  par utilisation d’une table numérique Lil faut alors avoir à sa disposition une table numérique , voir dans les livres de mathématiques.

  la procédure d’utilisation d’une table numérique n’est pas  prévue dans cet objectif.

 

 4 ) ou utilisation de la calculatrice.(c'est le cas le plus courant ,)

 

 

Exemple d’exercice de recherche de la racine d'un nombre avec une calculatrice :

     

       Question :   Donner la valeur de la racine carrée de 81; à l'aide d'une calculatrice.

 

      Résolution:

                  a) On sait que   = x   (parce que l’on sait .....!)

               

                  b) On pose : X = 81    ; et l’on remplace X dans l’égalité précédente

on peut écrire que :

x=   

                c) il ne reste plus qu'à  recherche de la valeur numérique :  de « x » (voir les possibilités)

 

 

Utilisation de la calculatrice :

 

Procédure:

 (En règle générale il y a sur les calculatrices  deux possibilités , il faut utiliser  la notice  du

fabriquant )

 

               a )  soit en utilisant la touche       

 


taper   8     et   1          puis  sur la touche         :résultat affiché :    9

 

 

              b ) soit en utilisant la touche  :            ou          

 

 

Procédure pour obtenir la racine « carrée » à la calculatrice :

 

a) traduire  « racine carrée de 81 » :   en  « 81 puissance un demi » : 

811/2

b)taper

8  et  1

c)taper  sur la touche            

INV.

d)taper sur la touche      

x 1/y   ou  y 1/x

f)taper le nombre     

2

g)taper sur le signe  

=

h) lire le résultat sur l’écran:   

9

 

INFO (s):

     1°)    si 3 2  (tris au carré) est égal  9  , on dira que   «  » (neuf puissance un demi) est égal  à  3     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2°)   Exercices les plus exécutés:

 

 

Soit une valeur de x

on pose  x y

le résultat de x y est   = X

on fait le calcul de   =(racine nième )

le résultat de  est   x

soit

si      x  =

x y = X

calculons   X

   =

  =  x

5

52

25

 =

= 5

3

33

27

 ==

    =  3

7

74

2401

 ==

= 7

 

Commentaires:

      a)  s’  il n’y a pas de difficulté à calculer  la puissance d’un nombre (x y ); il n’en est pas de même pour calculer la racine nième d’un nombre  (cela est plus difficile !)

   b ) lorsque  sous la racine il y a des nombres séparés par des signes opératoires ; que faut -il faire avant de « rechercher » la racine ?

                     il faut effectuer l’opération ;  Il ne doit rester qu'un nombre sous la racine !

                   Si sous le radical il y a des opérations ,il faut faire "en priorité" le ou les calculs sous la racine , pour n'avoir plus qu'un seul nombre..

Exemples:

 

 

transformation

Réponse(affichage à l'écran)

 =

 

19,416488

 =

 

10,246951

181,04143

 =

 

1,331187

 

         Pour vérifier il faudrait « élever »  la "réponse au carrée":

Exemple : 19,4164882  = 377,00001  ; et conclure que 19,416488 »  

 

 

   C ) Sous la racine on a une inconnue "x" , il faudra donc « résoudre » , comment faudra t -il procéder pour isoler ?  (exemple:  5  =  )

 

                         Si nous avons une racine carrée dont le radicande possède une inconnue « x »  il faudra  « élevé » au « carrée » ,les deux membres de l’égalité.(cas rencontré dans  « Pythagore »)

 

 

Résultats à connaître « par cœur »:   

 

 

1° ) La racine carrée de 2  vaut  1,414  ( voir le calcul de la longueur de la diagonale d’un carré) et = 1,732 (utile pour un calcul dans le triangle)

 

2°)    Les  racines carrées des carrés parfaits sont :

 

Carrés parfaits

Boule verte

 

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

 

III )   Approximation de la racine carrée de 2 ; notée     ou  :

 

Construction de

Info +++ Pythagore

A partir d’un segment OA de longueur 1 , on construit la perpendiculaire ( D) passant par A . On porte sur (D) le point B tel que AB = 1

D’après le théorème de Pythagore , le segment OB est de longueur

nombrracincaré

a)  Avec la table : le résultat  de  : est donné avec 3 chiffres exacts après la virgule :  1, 414

b )   Avec les calculatrices actuelles il est possible d’obtenir  de   avec une valeur avec 12 chiffres exacts après la virgule :  1,41413562373……

c)  Pour obtenir ces décimales ; un  procédé courant en mathématiques consiste à trouver une suite de nombres ( en général des rationnels) x0 , x1 ,x2  ,x3 , etc.. ; se rapprochant de plus en plus de la valeur cherchée

 

Ici par exemple , on peut choisir  x0 = 1

 

Puis  x1  =  ( x0 +)       ;   on obtient alors la valeur suivante : 1,5

 

Puis  x2  =  ( x1 +)       ;   on obtient alors la valeur suivante : 1,41666..

 

Puis  x3  =  ( x2 +)       ;   on obtient alors la valeur suivante : 1,4142156863

 

Etc.

Commentaire : comment sait-on que les nombres xn  se rapprochent de  au fur et à mesure que « n »  augmente. ? Sans entrer dans le détail , nous pouvons indiquer qu’une des  propriétés utilisées ici est que  est solution de l’équation      x  =  ( x +)

 

 

 

 

d )  Une autre possibilité est  le calcul  en posant l’opération  appelé « extraction d’une racine carrée »

Extraire la racine carrée d’un nombre c’est trouver la racine carrée de ce nombre

 

IV ) Valeur approchée  et encadrement   d’une racine carrée

 

 

Pré requis : arrondir et troncature

Sur la calculatrice , on lit = 2,236 067 978 ….

En général il est inutile de donner toutes les décimales.

Mais on peut affirmer par exemple que :  2,236 <   < 2,237

 

On dit que l’on a un encadrement de  d’amplitude 0,001 .

 

2,236 est une valeur approchée par défaut à  10-3 prés (par excès)de   

 

2,237 est une valeur approchée par excès à  10-3 prés  (par défaut)de

 

 

Plus généralement :

 

Si  a - 10-n  £  x  £   a + 10-n 

On dit que « a » est une valeur approchée de « x » à la précision : 10-n

 

Autres exemples :

 

Encadrement d’amplitude 10-4 de

Calculatrice :

  = 44,69899328

donc  44,6989£  £  44,6990

Encadrement d’amplitude 10-4 de

Calculatrice :

 = 0,234520788

donc : 0,2345£  £  0,2346

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE

 

Partie 1

1°) Dites tout ce que vous savez sur ce symbole:

            

 

2°) Que désigne le mot  « radical »  ?

3°) Que désigne le mot   « radicande »  ?

 

Partie 2 :  LES RACINES CARREES.

4°) Donner les trois écritures utilisées en mathématique pour indiquer que l’on désire connaître  la valeur de la racine carrée d’un nombre.(prenez le nombre :  36 )

   *on ne vous demande pas de faire le calcul !

5°) Traduire en langage littéral  , donner son utilisation  :

 

"ixe"  puissance un sur  i grec

            ou          

 

 

traduire :

:    est égale   est égale  

 

6°) Que cherche - t - on  à  obtenir  lorsque  l’on veut connaître la racine carrée d’un nombre ?

 

7°) Quelles sont les différentes façons de connaître la racine carré d’un nombre ?

   *cela sera   vraie pour tous les cas de recherche de la valeur des « racines ».

 

 

8°) Donnez la procédure permettant d’obtenir la racine carrée d’un nombre à la calculatrice!

(Il en existe deux .......).

 

9°) sous la racine il y a des nombres séparer par des signes opératoires ; que faut –il faire avant de rechercher la racine ?

 

10°) Sous la racine on a une inconnue , il faudra donc « résoudre » , comment faudra t –il procéder pour isoler ?

 

 

 

EVALUATION

 

1° ) Trouver les racines carrées parfaits des multiples de dixLavec la calculatrice)

de 100  à 10 8

si elles existent ! pour  100  ;101 ; 102 ;  103 ;  104  ; 105 ; 106  ;10 7 ; 10 8;

 

2°) soit  un nombre « x » ; trouver la racine carrée du nombre :

 

x =0,25  ;      =

 

x = 7,29  ;     =

 

x = 33,64   ;   =

 

x = 81    ;       =

 

x = 291 600   ;      =

 

x = 2 744 000    ;   =

 

x = 1,5746108  ;   =

 

 

3 ° ) Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec la précision du  dixième

 

 =

 =

 =

 

4 ° ) Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec la précision du   centième

 =

 =

(faire d’abord le calcul sous le radical ) =

 

5 °) Faire les calculs suivants à l’aide d’une calculatrice ;donner le résultat avec la précision du millième ((faire d’abord le calcul sous le radical)

 =

 =

 =

 =

 =

6°) Donner, de mémoire,  la racine carrée des nombres suivants:

 16  ; 36  ; 81 ;  25 ;   49  ; 4  ; 1   ; 9  ; 144  ; 121 ;  64 ;  100  ;

 

 

7° ) Donner la valeur de la racine carrée de "2"  et de "3" .:

8°) donner le résultat de la racine carrée des nombre suivants :

  = __________________ à 0,001 près

 

 = ___________________à 0,01 près

 

  = ___________________ à 0,001 près

 

= ____________________ à 0,001 près

 

 

( Résultats dans le cours)

 

INTERDISCIPLINARITE

Compléter le tableau suivant : Interdisciplinarité:  Les racines  en sciences

       En science on utilise l’écriture  m1 ;  m2 ;  dans quelle activité , préciser , comment  passe-t-on de l’un à l’autre ?

Calcul d’ aire d’un carré : et inverse

Boule verte

 

carrécubeinvracincarcub

 

 

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