Pré requis:

Les suites de nombres et ensembles de nombres

 

Les suites géométriques

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Les suites arithmétiques

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Les puissances de dix

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index   warmaths

Objectif précédent :

1°) lecture : rapport ; proportion ;progressions arithmétiques (par différence) et géométriques (par quotient);…

Objectif suivant ::

1°)  Les logarithmes (généralités ; systèmes..)

2°) Les logarithmiques vulgaires ( n°1) .

)Les logarithmes de « x » Sphère metallique

)la fonction log.

tableau    Sphère metallique 195

 

Liste des cours sur le module  :  les logarithmes.

 

DOSSIER : Le logarithme (notions : la septième opération)

 

1.     La septième opération :   La recherche de l’exposant ;appelée : calcul du logarithme. 

(exemple)

2.        Découverte  et   Définition :  On dit que chaque terme de la  progression arithmétique est  « le logarithme »   du terme de même rang de la progression géométrique  …….Ainsi :

 

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COURS.

 

 

1 -  La septième opération :   La recherche de l’exposant ;appelée : calcul du logarithme. 

 

a)    Les sept opérations en mathématique .

Nous  savons que :

·       l’addition (dit : la première opération) admet une opération inverse : la soustraction.(dit : la deuxième opération)

·       La multiplication (dit : la troisième opération)  admet une opération inverse : la division. (dit la quatrième opération)

·       La cinquième opération mathématique est l’élévation à une puissance ;  celle-ci admet deux opérations inverses :

Si    

 

·       La recherche de « a »   est l’extraction de la racine : dit : la sixième opération.

 

 

·       La recherche de  « b »  est  la septième opération.  C’ est la recherche de l’exposant : appelée : calcul du logarithme. 

 

Exemple :

Quel est la valeur de l’exposant qui a permit    « x «     ; tel que :   ;  

 

 

Découverte  et  Définition :    du  système de logarithmes.

 

ACTIVITE 1 :

A)   Considérons deux progressions croissantes :

   L’une « arithmétique » : commençant par zéro .  on désigne par la lettre « r » la raison de cette progression (arithmétique)

 

Termes classés par ordre croissant :

 

2r

3r

4r

………………………….

nr

 

1er terme

2ème terme

3ème terme

4ème terme

5ème terme

 

nème terme

 

 

   L’autre : « géométrique » ; commençant par 1 . on désigne par  la lettre « q »

 

Termes classés par ordre croissant :

1   

q3

q4

………………………….

qn

 

1er terme

2ème terme

3ème terme

4ème terme

5ème terme

 

nème terme

 

ACTIVITE 2 :

 

B)  On  fait correspondre « terme à terme »  les deux suites pour obtenir le tableau suivant :

 

 

 

Rang 1

Rang 2

Rang 3

Rang 4

Rang 5

 

Rang « n »

Termes classés par ordre croissant :

 

2r

3r

4r

………………………….

nr

 

1er terme

2ème terme

3ème terme

4ème terme

5ème terme

 

nème terme

Termes classés par ordre croissant :

1    

q3

q4

………………………….

qn

 

1er terme

2ème terme

3ème terme

4ème terme

5ème terme

 

nème terme

 

On lit ce tableau « verticalement) :

-au premier terme 0 (de la suite arithmétique)   on fait correspondre le premier  terme 1 (de la suite géométrique )

--au deuxième terme  « r »  (de la suite arithmétique)   on fait correspondre le deuxième   terme  « q »  (de la suite géométrique )

--au troisième  terme  « 2r »  (de la suite arithmétique)   on fait correspondre le troisième   terme « q² »   (de la suite géométrique ) ;

-…………………………………………………………………………..

--au  n-nième  terme « n »  (de la suite arithmétique)   on fait correspondre le nième   terme « qn »   (de la suite géométrique )

 

ACTIVITE 3 : apparat ion du mot « logarithme »

 

« On dit : »

 

Rang 1

Rang 2

Rang 3

Rang 4

Rang 5

 

Rang « n »

 

2r

3r

4r

………………………….

nr

 

 

 

 

 

 

 

1   

q3

q4

………………………….

qn

 

On dit que chaque terme de la  progression arithmétique est  « le logarithme »   du terme de même rang de la progression géométrique  ……

 

Ainsi :

 

«  0 »  est le logarithme de « 1 »  

«  r »  est le logarithme de « q »  

«  2 r  »  est le logarithme de « q² »  

«  3 r »  est le logarithme de « q 3 »  

«  4 r  »  est le logarithme de « q 4 »  

«  n.r  »  est le logarithme de « q n»  

 

« Le système de logarithmes »

L’ensemble des deux progressions constitue un système logarithmes.

 

La seule condition à réaliser pour constituer un système de logarithmes est que la progression arithmétique commence par zéro et que la progression géométrique commence par l’unité ; on en tire les remarques suivantes :

 

 

ACTIVITE 4 : On peut créer une infinité se systèmes logarithmes  on dit :  qu’il  existe une infinité de systèmes de logarithmes puisque la raison de chacune des progressions est arbitraire :

 

Il suffit de fixer  une valeur pour « r »  et une valeur pour « q » pour obtenir un nouveau système de logarithmes.( à vous d’en inventer un)

 

 

Exemple 1  :  on pose : r = 1 ;  q= 2

 

Rang 1

Rang 2

Rang 3

Rang 4

Rang 5

 

Rang « n »

 

1

2r = 2x1 =   2

3r = 3x1 =  3

4

5

nr

 

 

 

 

 

 

 

1   

21

2 2

2 3

2 4

25

qn

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1  = 2

2 2 = 4 

2 3 =  8

2 4=16

25 = 32

 

 

Dans le système ce dessus :       le logarithme  de   8    (23)   est  3   ;    le logarithme  de   32     (25 )   est  5 ;  …………………… ;

 

Exemple 2 :   on pose « r »  = 3  et  « q » = 3

 

Rang 1

Rang 2

Rang 3

Rang 4

Rang 5

 

Rang « n »

 

3

2 x 3   =   6

9

12

15

3n

 

 

 

 

 

 

 

1   

31

3 2

3 3

3 4

35

3n

 

 

 

 

 

 

 

 

3

9

27

81

243

 

 

Dans le système ce dessus :       le logarithme  de  27    (33)   est  9    ;    le logarithme  de  243      (3 5 )   est  15 ;  …………………… ;

 

 

 

Exemple   3 :

on pose « r »  =  1   et  « q » = 10

 

Rang 1

Rang 2

Rang 3

Rang 4

Rang 5

 

Rang « n »

 

1

2

3

4

5

1  x n

 

 

 

 

 

 

 

1   

101

10 2

10 3

10 4

10 5

10 n

 

 

 

 

 

 

 

 

10

100

1 000

10 000

100   000

 

 

Dans le système ce dessus :       le logarithme  de  10     ( 10 1  )   est   1    ;    le logarithme  de  100        (10 2  )   est    2 ; le logarithme  de  1  000     ( 103   )   est  3    ;    le logarithme  de  100  000         (10 5  )   est    5 ;  …………………   …………………… ;

 

 

 

Est ainsi de suite …………voir     Les logarithmes (généralités ; systèmes..) ; pour   « base » d’un système de logarithmes.

 

 

 

ACTIVITE   : voir   Utilisation du logarithme pour extraire la racine d’un nombre .   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO - FORMATIFS

 

CONTROLE :

 

 

EVALUATION

Exercice : Effectuer la racine cubique de 5 197 ; noté : 

 

 

 

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