Classes :   BEP / SECONDE. / niveau IV

Pré requis:

L’ensemble des Réels

 

Arithmétique : les 4 opérations (révisions)

 

Les opérations avec les décimaux relatifs :  Addition -  Soustraction – Multiplication – Divisions – Rationnels

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :

Les D relatifs

COURS

APRES :

1°) Les égalités et ……

2°) suite sur les relation d’ordre, intervalles,….

3°) Préparation concours.

Complément d’Info :

Le calcul numérique.

Programme de la classe de seconde.

TITRE : RESUME 1 :  TRAVAUX NUMERIQUES (niveau 4 :  3è/seconde).

 

I) Les ensembles

 

 

II) Opérations

 

 

III) Les  règles de calculs.

 

 

IV ) Puissance d’un réel « a » non nul

 

 

 V) Notations "scientifique" et "ingénieur" .

 

 

VI) Opérations sur les quotients.

 

 

VII)  Opérations sur les radicaux .

 

Les opérations avec les nombres Réels.

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Ici : Liste des  pré requis    : travaux et cours  joints : Interdisciplinarités :   (matière concernée)

 

COURS

 

Un nombre peut - être désigné de diverses façons. Lorsqu'on cherche une manière simple de désigner un nombre défini par une certaine écriture, c'est en fait cette écriture que l'on simplifie, et non le nombre donné sans ambiguïté par l'énoncé. Lorsqu'une écriture contient des lettres, et désigne un nombre, chaque fois que les lettres sont remplacées des nombres, on appelle cette écriture "expression algébrique" .    Ex: 2x+5y- z

 

Info +

I ) Rappels : LES ENSEMBLES 

Info +

( Info basiques sur les ensembles )

On retiendra que :

N désigne l’ensemble des nombres entiers naturels.

Z  désigne l’ensemble des nombres entiers  relatifs

D désigne l’ensemble des nombres décimaux

Q désigne l’ensemble des nombres rationnels.

R désigne l’ensemble des nombres réels. ( les réels non rationnels sont dit irrationnels.      

En résumé :  N Ì Z Ì D Ì Q  Ì R

   

 

 

Info

II ) OPERATIONS

Info +

 

L’addition vérifie les  propriétés suivantes :

Quels que soient   les réels « a », « b », et « c »

 

 

A vérifier avec des nombres.

  a +  b = b +a

 

 

  a + ( b + c ) =  ( a + b ) +c

 

 

  a + 0 =  a

 

 

Il existe un seul réel qui , ajouté à   “a”   donne  « 0 » : c’est l’opposé de « a », que l’on note « -a »

( on n’a plus de soustraction : on ajoute au premier l’opposé du second)

La multiplication vérifie  les  propriétés suivantes :

Quels que soient   les réels « a », « b », et « c »

 

A vérifier avec des nombres.

  a  b =   b a

 

  a ( b c)  =  ( ab )c

 

   a  ´ 1  = a

 

Si « a » est différent de « 0 », il existe un seul réel qui , multiplié par « a », donne « 1 » : c’est l’inverse de « a »  que l’on note : 

Remarques :

le réel « 0 » n’ a pas d’inverse. ( ce qui fait dire que l’on ne peut pas diviser par « 0 »)

On n’a plus de division : on multiplie le « numérateur » ou « dividende » par l’inverse du « dénominateur » ou « diviseur ».

 

La multiplication est distributive par rapport  à l’addition c’est à dire que :

Quels que soient   les réels « a », « b », et « c » on a   «  a ( b + c ) = a b + ac »

 

 

Info ----

III ) REGLES DE CALCUL

Info ++++

 

Soit  « a » , « b » , « c », et « d » et « x » des réels.

Par définition, on pose : 

                                        a - b = a + ( -b)

 

                      et                  

 

Un produit de deux nombres est nul  si , et seulement si, l'un au moins des deux nombres est nul.

                           Si ab = 0   alors  obligatoirement   , a = 0 ou b = 0 .             

  Si  a ¹ 0  , alors  a x = b   équivaut à   

 

Quels que soient les nombres "a" et"b"  :

 

À vérifier avec des nombres

- ( -a) = a

 

 

a (-b) = - (a b) = (-a)b   ; (-a)(-b) = a b

 

 

( - a ) b =  a ( - b )   =  - a b 

 

 

-(a + b) = (-a) +  (-b) = (par simplification)  =  -a -b

 

 

- ( a - b )  =  -a  + b

 

 

  a + x = b    équivaut    x = b - a

 

 

voir ci dessous  les «  Identités Remarquables » . 

Info

IV ) PUISSANCE D’un réel « a » non nul

Info +

Quel que soit le nombre non nul a, et quel que soit l'entier "n":

 

A vérifier avec des nombres.

· si n >  2,          a n = a × a  ×  …×   a         ( n facteurs "a")

      

 

· si n =1 ;   a1  = a

 

 

· si n =0  ; a0  = 1

 

 

· si  n  > ou < 0  ;  0n = 0

 

 

·   si n < 0 ;    si a ¹  0

                         

 

Quels que soient les nombres non nuls "a" et "b" , et quels que soient les entiers relatifs  "n" et "p": 

 

A vérifier avec des nombres

an a p = a n +p  

 

 

(a b)n = an b n   ; o u ,   (a b) p = a p b p

 

 

 

 

 

 

(a n) p  =  a n p

 

 

 

 

Les  I.R. ( Identités Remarquables) Quels que soient  les nombres "a" et "b":

(info cours)

A vérifier avec des nombres.

(a + b =     +2ab + b²  

 

 

(a -b) ² = a²-2ab+b²  

 

 

(a + b)(a -b) = a² -b²

 

 

Remarque : il est plus facile de « développer » que de « factoriser » . Mais il est indispensable de savoir factoriser, pour, par exemple, savoir simplifier une fraction algébrique ou pour résoudre une équation.

 

 

 

V)  Notations "scientifique" et "ingénieur" .

 

 

Notation des décimaux:

 

Scientifique : a× 10n  avec    1<  a < 10

Ingénieur :    a ×10p  avec     1<  a < 1000  et "p" multiple de "3"


 

Info .

RELATIONS D’ ORDRE

Info +

Relation d’ordre avec les décimaux relatifs.

Un réels « x » non nul est soit strictement positif  ( on écrit x> 0) soit strictement négatif ( on écrit x < 0)

 

Le produit de deux réels de même signe est strictement positif.

Le produit  de deux réels de signe contraire est strictement négatif.

La relation d’ordre est la relation «  ³ » par définition :  x ³ y  équivaut à  x- y ³  0

 

La relation d’ordre est une inégalité simple  et elle en possède les propriétés.

 

Autres  Propriétés de la relation : ³  

Quelque soient  les réels « x » « y » , « z » , on a :

  x    ³  x 

A vérifier avec des nombres

 Si  x ³ y   et   y ³  x  alors  y = x

 

Si  x ³  y  et    y³ z    alors x ³  z

 

 

 

x  ³  y équivaut à  x + z ³  y + z

 

Si x ³  y et z ³ 0 , alors  x z ³  y z

 

Si  x ³ y   et  z £ 0 , alors  x z £ y z

 

 Et

Si x< y et a<b  alors  x+a < y+b

 

 

Si : x < y  et  t > 0  ;  x t <  y t

 

 

Si  x < y  et  t < 0 ;     x t  > y t

 

 

 

Info

Les INTERVALLES

 

 

Soient « a » et « b » des réels tels que   a £ b

 

Un intervalle est l’ensemble R , noté  ] - ¥ ;  + ¥  [ 

ou  l’un des sous ensemble  suivants :

 

Ensemble des réels « x » tels que

Noté

Exemples :

a    £  x   £ b

[ a ; b ]

 

a    £ x   < b

[ a ; b [

 

a    < x   £ b

] a ; b ]

 

a    < x   < b

] a ; b [

 

 

 

 

a    £   x  

[ a ; + ¥ [

 

a    <   x  

] a ; + ¥ [

 

x    £  b

] - ¥ ; b ]

 

x    <  b

] - ¥ ; b [

 

 

L’intervalle  [ a , b ]  a pour centre    et pour rayon 

 

 

Lorsque  a £  c £   b , on dit que « a » et « b » encadrent « c ».

Info+

 

Les encadrements sont des doubles inégalités ; Ils ont les mêmes propriétés que les inégalités simples : addition membre à  membres des encadrements  de même sens…….

Mais , comme pour les inégalités simples , on n’ a pas le droit de les soustraire ni de les diviser . Lorsque l’on veut encadrer une différence «  a - b » , on commence par encadrer (-b)  puis la somme  « a + (-b) , c’est à dire « a - b »

 

De même, pour  encadrer un quotient   , on encadre  puis le produit   , c’est à dire   

D’un encadrement, on peut déduire un autre encadrement en agrandissant celui de départ, jamais en le diminuant.

 

 

Avant

VI) OPERATIONS SUR LES QUOTIENTS.

Après

Quels que soient  les réels « a » , « b », « c » et  « d » et tels que « b » et « d » soient non nul :

 

 

·       

·         n'a pas de signification pour b= 0

·En considérant des nombres a, b, c, m, n, x, y, z , t tous non nuls:

 

« égalité »  

 

           Vraie si        x t = y z

Simplification :

 

 

 

« produit »

 

 

 

Somme :

 

 

 

Savoir placer le signe « - » 

 

 

 

Inverse

 

 

 

Quotient :

 

 

 

 

 

 

Info---

VII ) OPERATIONS SUR LES RADICAUX.

Info +++

 

·Racine carré : équivalences  d'écritures :   =   =  : lire: racine carrée de "x"

·Cas général :  =   

 

(Touches de la calculatrice : ; ; ;   )

 

· Si a > 0,  est le nombre positif tel que  ( = a

 

·  L'équation x² = 5  admet deux solutions:   et -

"3" est la racine carrée de "9" ; -3 son opposée.

(+3) et (-3) sont la racine carrée de (+9)

 

· pour l’équation x² = a   , d’inconnue « x »          (info +)

-          elle n’a pas de solution                       si         a < 0

-          elle a pour seule solution « 0 »           si         a = 0

-          elle a deux solutions    et  -      si         a > 0

 

· Règles de calcul

-si "a" "e 0 ,  = a  ;  (voir    =   )

-     ;  

 

Où "a" et "b" désignent deux nombres positifs.

 

=  =   (le dénominateur est sans radical)

 

·ConséquencesLvoir les IR)

( + ) ( - )  = a - b

(a+ = a² + 2a + b

( - )  ² = a -2+b

· Ordre:

si 0 < a < b  alors  <  

 

 

Info ++

EQUATIONS -  INEQUATIONS

Et encore +

 

 

Info ---

Développer et Factoriser

 

 

Une expression algébrique dépendant d'une variable "x" , peut se présenter sous forme d'une somme ou d'un produit.

Suivant le problème que l'on cherche à résoudre , on aura intérêt à présenter (dans la mesure du possible) la même expression algébrique tantôt sous forme  d'un produit, tantôt sous forme d'une somme.

 

· Pour présenter une expression algébrique sous forme d'une somme, on dispose des règles de calcul sur les nombres : "On développe" l'expression. Il est toujours possible, et simple de développer une expression, et une fois le développement effectué et réaliser, il est "d'usage" de "réduire" en effectuant les opérations chaque fois que possible, et "d'ordonner" l'expression obtenue, en rangeant les termes dans l'ordre des exposants de la variable.

 

· Pour présenter une expression sous forme d'un produit, on "essaye" de "factoriser". Il n'est pas toujours simple ni même possible, parfois, de factoriser une expression algébrique donnée. Par exemple, on ne factorise par une somme de carrés.

 

 

 

EQUATION DU 1er DEGRE A UNE INCONNUE " x"

 

 

· L'équation de la forme     a + x = b   a pour solution unique  x = b - a

 

· L'équation de la forme     a x = b   a pour solution unique   x =

 

· Le  principal  cas particulier : "l'équation produit".

Exemple : (a x +b ) (c x  - d )

On utilise dans ce cas le propriété suivante : un produit est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.

 

Ainsi pour   le produit  (a x +b ) (c x  - d )  est nul  si (a x +b )= 0   ou  (c x  - d )= 0

 

Exemple algébrique  ( 3x -1 ) ( (x-3) = 0

 si  le facteur (3x-1) = 0  (alors la solution est x = 1/3) ou le facteur (x-3) = 0  (alors la solution est  x = 3 ) 

On conclut que : l'équation ( 3x -1 ) ( (x-3) = 0  admet deux solutions : 1/3 et 3.

 

Remarque :  = 0  ; signifie A = 0 et B ¹ 0

 

 

SYSTEMES D' EQUATIONS  A DEUX INCONNUES ( x ; y )

 

 

· Résolution par substitution.

 

Soit à résoudre le système défini par : (I)

 

On a successivement  (II)  

 

Dans la deuxième équation  on remplace  "y"par "1-3x"     (III) 

 

On développe et réduit dans la deuxième équation (IV)    

On en déduit "x" dans la deuxième équation: 

 

On remplace  x = -1/7 dans la première équation :     d'où  y = 1 +   = 

La seule solution du système   est le couple de point :

 

·  Résolution par combinaison

Soit à résoudre  le système défini par :  

 

"cas 1"  On multiplie l'équation (1) par -3 et  "cas 2" puis  l'équation (2) par -2

On obtient -3x -6y = -30 

 

Ce qui donne : 

 

On additionne (1) + (2)   soit  -3x +3x -6y+y= -30 +15   ;  -5y = -15 ; y = 3

 

 

   On multiplie l'équation (2) par -2 ; on obtient -6x -2y = -30 

-2 fois 3x + -2 fois y = -2 fois 15   ce qui donne   -6x -2y = -30

 

on additionne  (2) avec (1)   

   On addition l'équation (1) avec (2) ; on obtient -5x -0y = -20 ;   x = 4

 

       soit  

 

d'où l' unique couple de nombres solution ( 4 ; 3 )

 

·  Résolution graphique  du système  

 

 

Il suffit de tracer  les deux droites d'équations :

 

Le couple de nombres"solution"  sont les coordonnées du  point d'intersection des deux droites sont  l'abscisse et l'ordonnée. 


 

 

 

DROITES - FONCTIONS AFFINES -(inclus la fonction linéaire)

INFO+

 

Avant

·  EQUATION D'UNE DROITE

Après

a)     On connaît les coordonnées de deux  points A et B :

 

Point : A ( 2;3)  et   point :B ( -3;1)

 

L'équation de la droite   passant par le point A et  B    ; (AB) est de la forme  y = m x +p.  (1)

 

Des couples de points, on établit  un système de deux équations: 

On a 

Après résolution  on obtient :    ;

On remplace dans (1)  ce qui nous donne : 

 

b)    On connaît le coefficient directeur et un point :

L'équation de la droite est de la forme:

 y = mx +p   on donne m=-3  , A ( -1 ; 2)

 

On a y= -3x + p  et  +2 = 3+ p

 

D'où p = -1 et y  = -3x -1

 

 

 

 

 

 

 

Avant

RESOLUTION D'UN SYSTEME D ' EQUATIONS   INTERSECTION DE DEUX DROITES "D" et "D' "

Après

·.Il faut résoudre le système par les deux équations. (3 cas)

 

-          Les droites sont sécantes, le système admet une solution.

-          Les droites  D et D'   sont parallèles, le système n'a pas de solution. (aucun point commun).

 

     si m=m' et p ¹ p'  alors   D // D'  

 

 

-          Les droites sont "confondues"  (parallèles superposées), le système admet une infinité de solutions.

 

     si m=m' et p = p'  alors   D = D'  

 

* Si  mm' = -1  alors  D ^ D'       

Dans un repère orthonormal, deux droites sont orthogonales lorsque le produit de leur coefficients directeurs est égal à -1.


 

Avant

INEQUATIONS  (système)

Après

· RESOLUTION GRAPHIQUE D'  UN SYSTEME D' INEQUATIONS A DEUX INCONNUES.

 

Présentation à partir de l'exemple: (I)  

 

 

On traite et l'on trace    l'équation  (2)   :

 2x -y -2  = 0   ;        y = 2x - 2  (droite D)

On traite et l'on trace    l'équation (1)    :

 5x + 2y - 15 = 0   ;  2y = -5x - 15   ; y = -2,5 x - 7,5 (droite D')

 

Pour le point O (0 ; 0)

 

·  2 ´ 0 - 0 - 2= -2   ;   -2 < 0 appartient à la région défini par (1)

 

·  0 + 2  ´  0 -15 = -15  < 0 ; 0 n'appartient pas à la région défini par (2)    

 

La région colorée en gris est la zone contenant les solutions.

 

 

 

 

 

 

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CONTROLE:

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EVALUATION:

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