Pré requis:

L’ensemble des Réels

 

Les opérations avec les décimaux relatifs :

Addition -  Soustraction – Multiplication – Divisions – Rationnels

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index

AVANT :

)Les D relatifs

)Résumé 1

COURS

APRES :
Complément d’Info :

 

 

 

 
 

TITRE : RESUME :  TRAVAUX NUMERIQUES (  3è   /  seconde).

 

 

 

 

  1. Relations d’ordre.

 

 

  1. Règles  de  calcul sur les inégalités.

 

 

  1. Les intervalles

 

 

  1. Encadrement.

 

 

  1. Valeur absolue.

 

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

COURS

Un nombre peut - être désigné de diverses façons. Lorsqu'on cherche une manière simple de désigner un nombre défini par une certaine écriture, c'est en fait cette écriture que l'on simplifie, et non le nombre donné sans ambiguïté par l'énoncé. Lorsqu'une écriture contient des lettres, et désigne un nombre, chaque fois que les lettres sont remplacées des nombres, on appelle cette écriture "expression algébrique" .    Ex: 2x+5y- z

 

Info +

I ) Rappels : LES ENSEMBLES 

Info +

On retiendra que :

N désigne l’ensemble des nombres entiers naturels.

Z  désigne l’ensemble des nombres entiers  relatifs

D désigne l’ensemble des nombres décimaux

Q désigne l’ensemble des nombres rationnels.

R désigne l’ensemble des nombres réels. ( les réels non rationnels sont dit irrationnels.

En résumé :  N Ì Z Ì D Ì Q  Ì R

   

 

 

Info .

II ) RELATIONS D’ ORDRE

Info +

Relation d’ordre avec les décimaux relatifs.

Un réels « x » non nul est soit strictement positif  ( on écrit x> 0) soit strictement négatif ( on écrit x < 0)

 

Le produit de deux réels de même signe est strictement positif.

Le produit  de deux réels de signe contraire est strictement négatif.

La relation d’ordre est la relation «  ³ » par définition :  x ³ y  équivaut à  x- y ³  0

 

La relation d’ordre est une inégalité simple  et elle en possède les propriétés.

 

Autres  Propriétés de la relation : ³  

Quelque soient  les réels « x » « y » , « z » , on a :

 

A vérifier avec des nombres

 

 

Si     et     alors 

 

 

 

Si  x ³  y  et    y³ z    alors x ³  z

 

 

 

 équivaut à 

 

 

 

Si  , alors

 

 

 

Si     et , alors 

 

 Et

Si x< y et a<b  alors   < y+b

 

 

Si :   et    ; 

 

 

Si   et   ;   

 

 

 

Info +

Règles  de  calcul sur les inégalités.

résumé

Soit « a » , « b » , « c » et « d »  quatre nombres réels

 

a £  b  équivaut à

A vérifier avec des nombres.

 

 

 

 

 

 

 

  , si   et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Info

Les INTERVALLES

 

 

 

Soient « a » et « b » des réels tels que   a £ b

 

Un intervalle est l’ensemble R , noté  ] - ¥ ;  + ¥  [ 

ou  l’un des sous ensemble  suivants :

 

Ensemble des réels « x » tels que

Noté

Exemples :

 

[ a ; b [

 

] a ; b ]

 

] a ; b [

 

 

 

 

[ a ; + ¥ [

 

] a ; + ¥ [

 

] - ¥ ; b ]

 

] - ¥ ; b [

 

 

L’intervalle  [ a , b ]  a pour centre    et pour rayon 

 

 

Lorsque   , on dit que «  » et « » encadrent «  ».

Info+

 

Les encadrements sont des doubles inégalités ; Ils ont les mêmes propriétés que les inégalités simples : addition membre à  membres des encadrements  de même sens…….

Mais , comme pour les inégalités simples , on n’ a pas le droit de les soustraire ni de les diviser . Lorsque l’on veut encadrer une différence «  a - b » , on commence par encadrer (-b)  puis la somme  « a + (-b) , c’est à dire « a - b »

 

De même, pour  encadrer un quotient   , on encadre  puis le produit   , c’est à dire  

D’un encadrement, on peut déduire un autre encadrement en agrandissant celui de départ, jamais en le diminuant.

 

« x » étant un nombre rationnel ou irrationnel ;

 « x »  peut être exprimé en valeur  « a ± r  »  où « a » est une valeur approchée de « x » à « r » prés

Ainsi :   « x » peut être compris entre  « a » et «  a+r »  soit    a  £  x £  a + r 

           On dira que :  « a » est une valeur approchée par défaut de « x » à « r  près »

 

Ainsi :   « x » peut être compris entre  « a - r » et «  a »  soit    a -r  £  x £  a 

           On dira que :  « a » est une valeur approchée par excès de « x » à « r  près »

 

Nous pouvons écrire l’encadrement       , ce qui signifie  que « a » est une valeur approchée de « x » à « r près »

 

 

Info +

Valeur absolue.

Info +

 

Pour tous réels « a » et « b » , la valeur absolue  de « a » se note :

Dans l’intervalle [ a , b ]     « a » et « b » encadrent un nombre « c » , la distance  de « a »  à  « b » se note :   d ( a, b)

 

 

Pour  tous réels « a » et « b »

A vérifier avec des nombres

 

Pour  tous réels « x » et « y »

A vérifier avec des nombres

 

 

 

Si a ³0 ;

 

Si  x ³  0   , alors   

 

 

Si a £0 ;

 

Si  x £  0   , alors 

 

 

³ 0

 

 

 

 

 

 

  équivaut à

a = b ou   a = -b

 

 équivaut à

x = y ou   x = - y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite  à ce qui a été vu dans « l’encadrement »

Pour tout réel « a » et tout réel positif « r » , les énoncés suivants sont équivalents :

 

d ( x, a) = r

d (  x , a ) £  r

x  = a - r   ou x = a + r

a- r  £  x £   a + r

x   Π [ a - r , a + r ]

x   Π [ a - r , a + r ]

 

 

Distance .

Info +

Attention : Ne pas confondre « mesure algébrique d’un bipoint » et « distance entre deux bipoints. »

 

La distance  entre des réels « x » et « y »  est , par définition :

 

d ( x , y )  = 

 

 

 

Sur la droite D  de repère ( O , )   soient  A et B les points d’abscisses respectives  x = ( - 3) et  y = (+ 4) . On a   d (x , y ) = AB   tel que  d ( -3 ; +4) = AB

 

Exemple : tracer une droite graduée et placer A , O et B.

 

 

 

Avant

INEQUATIONS  (système)

 

 

· RESOLUTION GRAPHIQUE D'  UN SYSTEME D' INEQUATIONS A DEUX INCONNUES.

 

Présentation à partir de l'exemple: (I)  

 

 

On traite et l'on trace    l'équation  (2)   :

 2x -y -2  = 0   ;        y = 2x - 2  (droite D)

On traite et l'on trace    l'équation (1)    :

 5x + 2y - 15 = 0   ;  2y = -5x - 15   ; y = -2,5 x - 7,5 (droite D')

 

Pour le point O (0 ; 0)

 

·  2 ´ 0 - 0 - 2= -2   ;   -2 < 0 appartient à la région défini par (1)

 

·  0 + 2  ´  0 -15 = -15  < 0 ; 0 n'appartient pas à la région défini par (2)    

 

La région colorée en gris est la zone contenant les solutions.

 

 

 

g1

 

 

 

Fin du rappel  :   Retour vers liste

 

 

 

 

 

 

CONTROLE:

Cliquer ici

 

EVALUATION:

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