DOSSIER : LES DECIMAUX non - relatifs / objectif cours 13

Niveau 5

Pré requis:

classification

 

Classification des nombres décimaux " positifs"

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index    : warmaths

Objectif précédent :

1°)  Le nombre décimal relatif

 

2°) Voir le cours de collège p5 Fiche 3.

Objectif suivant :

 

1°) les inégalités

2°) les inéquations  

3°) les relation d’ordre dans les réels ( R))

Tableau        Sphère metallique  53

 

  1. Calcul numérique.
  2. Algèbre
  3. Liste des cours sur les décimaux relatifsSphère metallique

 

 

DOSSIER « calcul algébrique »  :  LES  Relations d’ordre entre deux nombres décimaux  relatifs .

 

 

RAPPELS  :

 

 

 

1°) Représentation graphique des nombres relatifs:

 

 

 

2°) Comparaison des nombres relatifs.  ( 3 cas )

 

 

 

1.      Comparaison de deux nombres positifs

 

 

2.      Comparaison de deux nombres négatifs

 

 

3.      Comparaison de deux nombres  de signe contraire

 

 

TEST

           Boule verte

COURS

                Boule verte

Devoir  Contrôle Boule verte

Devoir évaluation Boule verte

Interdisciplinarité

   Les intervalles                  Boule verte

 

Corrigé Contrôle  Boule verte

Corrigé évaluation  Boule verte

 

 

sq215299

 

 

 

 

 

   

               

 

 

 

 

RAPPELS  :

 

 

 

 

I )     NUMERATION :et Classification des nombres entiers naturels

II )   NOMBRE : un nombre est un alignement horizontal de chiffres..

III ) GRANDEUR : on appelle « grandeur »  un nombre associé à une unité.

IV)   Le nombre sert à mesurer des « quantités ».

V )   Le nombres décimal se compose de deux grandes parties séparées par une virgule:

La partie entière : devant la virgule

La  partie décimale : derrière la virgule

 

VI ) lecture d '  un nombre décimal

se souvenir qu ‘un nombre décimal comprend deux parties séparées par une virgule :

la partie à gauche de la virgule se nomme « partie entière »

la partie  à droite de la virgule  s’appelle « partie décimale »   

 

Lecture et utilisation du tableau :

par convention :

Les traits verticaux déterminent des « colonnes »,entre deux traits verticaux nous avons une colonne.

les traits horizontaux déterminent des lignes ; entre deux traits horizontaux nous avons une ligne.


 L ’ alignement horizontal des chiffres : 18403850 , 739  rangé dans le tableau suivant :

(placer la virgule et les chiffres de chaque coté situés de la virgule en conservant leur rang)

 devient le nombre décimal  :  18 403 850 ,739 (remarquer l’espace entre chaque classe),et il se lit :  dix huit millions quatre cent trois mille huit cent cinquante unités et sept cent trente neuf millièmes.

 

 

Partie entière  (multiples )

Partie décimale   (sous multiples)

Classe des millions

Classe des mille

Classe des unités

Dixièmes:

1er ordre

décimal

Centièmes

2ième ordre décimal

Millièmes

3ième ordre

décimal

C

9ième ordre

D

8ième ordre

U

7ème ordre

C

6ième ordre

D

5ième ordre

U

4ième ordre

C

3ième ordre

D

2ième ordre

U

1er ordre

0,1

ou

1 /10

0,01

ou

1/100

0,001

ou

1/1000

 

1

8

4

0

3

8

5

0

 

7

 

 

3

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ce tableau doit aussi nous  aider à placer les nombres  l’un en dessous de l’autre ,afin d’effectuer l’opération pratique.

 

VII )  Représentation graphique des nombres décimaux :

 

La représentation graphique des nombres décimaux positifs est le plus couramment  la  règle graduée   avec comme « unité » de base le « centimètre » et le « millimètre » comme « dixième »

VIII)  le nombre relatif comporte 3 parties :des parenthèses ;un signe +ou -;et une valeur absolue

FIN DES RAPPELS

Info : Par convention :       

Le symbole  " " ;   se lit  « infini »    (lettre de l’alphabet grec : gamma)

L’ écriture symbolique   "- " ;   se lit : moins l'infini ,  on rencontre cette écriture à l'extrême gauche d'une droite graduée.

L’ écriture symbolique   "+ " ;  se lit    plus l'infini   ,   on rencontre cette écriture à l'extrême gauche d'une droite graduée.

 

En lisant de la gauche vers la droite ,en partant du bord gauche de la page , on dit que l' on va de "moins l'infini" (du plus petit )   à  "plus l'infini" (au plus grand).

 

Nota:

Le symbole  "" est un huit couché .

 

 

 

 

 

COURS

 

 

 

Rappels géométrique : la règle graduée3D Diamond

 

 

PREALABLE: "classer" des nombres c'est les comparer l'un par rapport à l' autre et les ordonner.

 

On classe sans difficulté des nombres décimaux positifs , il n’en est pas de même pour les nombres décimaux relatifs

 

 

1°) Représentation graphique des nombres relatifs:

 

 

La  représentation graphique d’un nombre relatif est  « un  point   » sur une droite graduée ,(une droite graduée prendra le nom :d ’ AXE )

       ce point peut être nommé par :

                    sa valeur   (   exemple : +3 ;   -2  ;......)

                    une lettre majuscule  (exemple  A;B;C;.......)

                    si la droite est dite « horizontale; parallèle au bord bas de la feuille »,cette droite prend le nom d’  « axe » ;dit aussi « axe des abscisses »,dit aussi « axe des ixes » ,sur cet axe  un point A sera nommé XA;

                                       XA     se lira    « abscisse du point A ».

 On pourra donner une valeur à XA; tel que XA  =........

 

Voir l’obj....de géométrie...(graduation d’une droite; construction d’une droite graduée ;graduation régulière avec une compas ,l’ouverture du compas égale à la longueur d’un segment d’unité « u » et  dite de valeur « 1 » ).

 

 

 

l’ Ensemble  « D+ ou - ».

 

           Les nombres utilisés seront les nombres dits « décimaux relatifs »,ces nombres appartiennent à l’ensemble  des nombres décimaux relatifs positifs  ( D +) ou nombres décimaux relatifs négatifs (D -).

 La représentation graphique des nombres décimaux relatifs est un point situé sur une droite graduée avec

 

à gauche du zéro   :  les nombres négatifs  avec 0-;-1;-2;-3;.......par ordre décroissant ;on dit  jusqu’à « moins l’infini » (symbole: -). (avec une lecture de droite à gauche , en partant de zéro )

 

et à droite du zéro   : les nombres relatifs positifs  (avec 0+; +1 ;+2 ;+3;.........), classés par ordre croissant. ,ce jusqu’à plus l’infini (+).(avec une lecture de gauche à  droite , en partant de zéro )

 

3 CAS sont à traiter lorsque l’on veut comparer deux  nombres relatifs :

 

 

 

 

2°)  Comparaison de deux nombres relatifs.

 

 

 

4.      Comparaison de deux nombres positifs

Boule verte

 

5.      Comparaison de deux nombres négatifs

Boule verte

6.      Comparaison de deux nombres  de signe contraire

Boule verte

 

 

 

 

I )  Comparaison de deux nombres positifs:

 

 

Un nombre "a" positif  est plus grand qu'un nombre "b" positif si la valeur absolue de "a" est plus grand que la valeur absolue de "b"

 

Représentation graphique des nombres relatifs :positifs

 

 

 

 

 

 

 

 

       

  vers   +

 

 

Sens conventionnel de lecture  ;    lire  le premier nombre ,en allant de la  (gauche)      vers  la         (droite)

 

    LECTURE :    Les nombres décimaux relatifs positifs sont classés  :

A)  Par ordre décroissant  :

                         Lire à partir du bord droit de la page  et lire  de la droite vers la gauche ((on part de   "+" )

 

la représentation symbolique est :

 

+   > .           >...   >   + 4   > + 3      >   + 2   >   + 1     >   + 0

 

ce qui se traduit en langage littérale :  les nombres décimaux  positifs  classés par ordre décroissant  vont de   "+" (lire  :plus l' infini  ) à zéro  (0 )

 

B )  Par ordre croissant (lire en partant du bord gauche de la page en allant  de la gauche  vers la droite :(en partant de 0))

 

la représentation symbolique est :

 

+0 < + 1 < + 2 < + 3 < + 4 <+ 5 <+ 6 < … < …<  …………… +

     

     En traduction littéral  :  on peut dire que :  

  En lisant de la gauche vers la droite :

 «  0 est plus petit  que +1 qui est plus petit  que +2 qui est plus petit que +3 qui est plus petit que +4 qui est plus petit que  plusl’infini   ».

je  lis de la droite vers la gauche (en partant du bord droit de la page):

«plus l’infini (+ )  est plus grand que  +4 ;qui est plus grand que plus trois ;qui est plus grand  que plus deux ;qui est plus grand que plus un ;qui est plus grand que zéro »

Remarque :

   "0"  (zéro ) est le plus petit nombre positif.

 

 

II  ) Comparaison de deux nombres négatifs:

 

A savoir :

Un nombre "a" négatif  est plus grand qu'un nombre "b" négatif si la valeur absolue de "a" est plus petite  que la valeur absolue de "b"

 

Représentation graphique des nombres relatifs négatifsLvoir repérage sur une droite

 

 

   

 

- vers  

 

 

Les nombres décimaux relatifs négatifs sont classés   du plus grand  (-0)  au plus petit   (- ) en allant de la droite vers la gauche ;

 

 

la représentation symbolique est :

 

      -  < .           .<...   < - 4    < - 3       < - 2     < - 1    < - 0 

 

Traduction  en langage littérale  :

 

lire de la droite vers la gauche:  «  0 est plus grand que -1 qui est plus grand que -2 qui est plus grand que -3 qui est pus grand que -4 qui est plus grand que  moinsl’infini   ».

 

si je lis de la gauche vers la droite:   « moins l’infini est plus petit que  -4 qui est plus petit que moins trois qui est plus petit que moins deux qui est plus petit que moins un qui est plus petit que zéro »

 

Remarque :

0 est le plus grand nombre négatif.

 

 

III )  Comparaison de deux nombres relatifs , l'un étant positif  l 'autre étant négatif:

       

                Un nombre "a" positif  est toujours plus grand qu'un nombre "b" négatif quelque soit  la valeur absolue de "a" et quelque soit  la valeur absolue de "b"

 

Représentation graphique

 

 

 

 

 

 

 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

  .

-             -18                           -5         0        +5                +15                       +

 

 

Rappel de convention d’écriture :

Le symbole  "" se dessine comme  un « huit »  couché .

Le symbole  " " ;   se lit  « infini »    (lettre de l’alphabet grec : gamma)

L’ écriture symbolique   "- " ;   se lit : moins l'infini ,  on rencontre cette écriture à l'extrême gauche d'une droite graduée.

L’ écriture symbolique   "+ " ;  se lit    plus l'infini   ,   on rencontre cette écriture à l'extrême gauche d'une droite graduée.

 

En lisant de la gauche vers la droite ,en partant du bord gauche de la page , on dit que l' on va de "moins l'infini" (du plus petit )   à  "plus l'infini" (au plus grand).

 

 

 

Comparaison d'un "négatif" avec un "positif":

 

 

Comparons:

Constat :

Ce qui se traduit :

+15 ; - 18

+15    est plus grand que  - 18

+15    >  - 18

+  5  ;  -5

+  5    est plus grand que   -5

+  5  >   -5

- 2   ;  +1

- 2     est plus petit que       +1

- 2  <      +1

-15   ;   0

-15      est plus petit que        0

-15  <      0

 

 

 

 

 

 

 

 

        Remarque : ( +5) et (-5) sont dit « symétriques »  par rapport à « 0 »  

 

( voir « représentation graphique des nombres relatifs »)    

  

 

POUR CLASSER les valeurs absolues des nombres décimaux relatifs  il est souhaitable d' utiliser le tableau de numération:

 

Exemple : classer les valeurs absolues  suivantes :    4,067   ; 4,07  ;  40,7  ;   4,071  ;  4,71   ;  4,701  ;  4,717  ; 4,08

 

ATTENTION :

l'ordre croissant des valeurs absolues  pour les relatifs positifs   est le même  que celui utilisé pour les nombres décimaux

 

l'ordre croissant des valeurs absolues  pour les relatifs négatifs   est le contraire   que celui utilisé pour les nombres décimaux (dans les nombres négatifs :plus la valeur absolue est grande plus le nombre relatif est petit )

 

Procédure:

 

a) rentrer les nombres dans le tableau

 

 

 

Partie entière  (multiples )

Partie décimale   (sous multiples)

Classe des millions

Classe des mille

Classe des unités

Dixièmes:

1er ordre

décimal

Centièmes

2ième ordre décimal

Millièmes

3ième ordre

décimal

C

9ième ordre

D

8ième ordre

U

7ème ordre

C

6ième ordre

D

5ième ordre

U

4ième ordre

C

3ième ordre

D

2ième ordre

U

1er ordre

0,1

ou

1 /10

0,01

ou

1/100

0,001

ou

1/1000

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

0

 

 

6

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

0

 

 

7

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

7

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

0

 

 

7

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

7

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

7

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

7

 

 

1

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

0

 

 

8

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) compléter les cases "vides" avec des zéros

c)  dans le tableau donner un numéro d' ordre , lire les nombres à partir de l'ordre décimal le plus grand (ici les millièmes):

 

 

 

 

 

 

 

Partie entière  (multiples )

Partie décimale   (sous multiples)

Classe des millions

Classe des mille

Classe des unités

Dixièmes:

1er ordre

décimal

Centièmes

2ième ordre décimal

Millièmes

3ième ordre

décimal

C

9ième ordre

D

8ième ordre

U

7ème ordre

C

6ième ordre

D

5ième ordre

U

4ième ordre

C

3ième ordre

D

2ième ordre

U

1er ordre

0,1

ou

1 /10

0,01

ou

1/100

0,001

ou

1/1000

 

 

 

 

 

8

 

 

4

 

0

 

 

6

 

 

7

 

 

 

 

 

 

7

 

 

4

 

0

 

 

7

 

 

0

 

 

 

 

 

 

1

 

4

0

 

7

 

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

6

 

 

4

 

0

 

 

7

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

 

7

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

7

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

7

 

 

1

 

 

7

 

 

 

 

 

 

5

 

 

4

 

0

 

 

8

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d) reporter le résultat:

ceci est l'ordre décroissant des valeurs absolues ; attention !   il faut s'interroger si les nombres sont "positifs" ou "négatifs" avant de conclure sur l ' ordre.

 

40,7  <   4,717   < 4,710 <   4,701 <   4,080 <   4,071<   4,070<   4,067

 

 

 

ALGEBRE :

 

 

 

 

 

 

Soit l’écriture

 

x1 – x2

Devient  + (x1 – x2)    ou    -  ( - x1 +  x2)

 

-  ( - x1 +  x2)    devient   -  (+  x2    - x1   )

Donc

x1 – x2      =   -  (+  x2    - x1   )

 

Ainsi on peut écrire que :      x1 – x2    devient   -  (x2x1 )


 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

CONTROLE :

 

 

1°) Que signifie "classer des nombres"

 

 2°) Que signifie "classer des nombres par ordre croissant"(préciser le signe de la relation d' ordre)

 

 3°) Que signifie "classer des nombres par ordre décroissant "(préciser le signe de la relation d' ordre)

 

 4° ) Combien y a-t-il de cas à étudier pour classer deux nombres relatifs (précisez)

 

 5°)  Que peut-on dire sur la Comparaison de deux nombres positifs ?:

 

  6° ) Que peut-on dire sur la Comparaison de deux nombres négatifs:

 

  7°) Que peut-on dire sur la Comparaison de deux nombres relatifs , l'un étant positif  l' autre étant négatif

 

  8° ) Que peut-on dire sur l'ordre croissant ou décroissant des valeurs absolues  des nombres décimaux relatifs.

 

  9° )Représenter le tableau permettant de nommer un nombre décimal.

 

 10°)   Donner la procédure permettant de classer ( par ordre croissant  ou décroisant ) les nombres décimaux

 

 

 

 

 

EVALUATION :

 

 

 

Série 1 : avec des  nombres relatifs  « non simplifiés »

Comparez:

Constat :

Ce qui se traduit :

(+15) ; (- 18)

 

 

(+  5)  ;  (-5 )

 

 

( - 2)   ;  (+1)

 

 

(-15 )  ;   (  0)

 

 

Série 2 : avec des  nombres relatifs  dits : « simplifiés »

Comparez:

Constat :

Ce qui se traduit :

+15 ; - 18

 

 

+  5  ;  -5

 

 

- 2   ;  +1

 

 

-15   ;   0

 

 

 

 

1 ) ordonner par ordre  décroissant les valeurs absolues suivantes :

 

0,51; 0,5 ;0,159 ; 0,6 ; 0, 5192

 

 

 

2 ) ordonner par ordre  décroissant les nombres relatifs positifs suivants:

 

(+0,51);(+ 0,5) ;(+0,159) ;(+ 0,6) ;(+ 0, 5192)

 

 

3 ) ordonner par ordre  décroissant les nombres relatifs négatifs suivants :

 

(-0,51);(- 0,5) ;(-0,159) ;(- 0,6) ;(- 0, 5192)

 

 

4) ordonner par ordre  décroissant les nombres suivants :

 

(+0,51); (+0,5) ;(-0,159) ;(+ 0,6) ;(- 0, 5192) ;(-0,5019); (+0,509) ; (+0,520) ;(-0,591)

 

 

INTERDISCIPLINARITE:::::