DOSSIER : LES REELS /  Objectif cours 27

Pré requis:

 

Informations sur les propriétés des opérations et les éléments neutres et absorbants.

Lecture : Les ensembles

Notions sur : la relation d’équivalence et  partition d’un ensemble.  

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index « warmaths »

AVANT :
 )l’ensemble Q

)Approximation et nombres rationnels et irrationnels

3°) approximation dans Q

COURS

APRES :

1°) Valeurs approchées et approximation

)Les opérations avec les réels

3°) Ordre sur « R »

4°) Les suites

 

Complément d’Info :
  1. Les inégalités et les inéquations (liste de cours)

 

 

 

 
 

TITRE : L’ensemble des nombres Réels

 

·      Rappels.

 

 

·      L’ ensemble des réels ; des exemples numériques ( R )

 

 

·      Opérations sur « R »

 

 

·      Ordre sur « R »

 

 

Chapitres :

 

 

Règles de calculs

 

 

intervalle

 

 

Valeur absolue

 

 

Exercices types.

 

 

 

 

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

 

>>>  Exercices

 

 

 

 

 

COURS

 

·      Rappels.

Si A et B sont deux ensembles de nombres ;

 

L’intersection de A et de B est l’ensemble des nombres qui appartiennent à la fois à A et à B ; on la note A Ç B   ( on lira : A inter B)

 

La  réunion de A et de  B  est l’ensemble des nombres qui appartiennent à l’un  au moins de deux ensembles  A et B ; on la note  A È B  ( on lira : A union B)

 

                   x Π A Ç B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

                   x Π A È B   équivaut à  ( x Î A  et x ÎB) 

 

Rappel : au collège , au cours des quatre années , on apprend à effectuer des calculs ave des nombres pris dans des ensembles de plus en plus étendus.

 

Rappels :

N désigne l’ensemble des entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …..

  Z  désigne l’ensemble des entiers relatifs : ……. ; (- 4) ;( -3) ;( -2) ; (-1) ;( 0) ; (+1) ; (+2) ;( +3) ;…….

D  désigne l’ensemble des nombres décimaux , c’est à dire des nombres ayant un développement décimal limité.  Exemple :  0,5  Î D

D  désigne l’ensemble des nombres décimaux relatifs : Exemples :  0,5  Î D ; (-43,371) Î D ;  ( + 23)  Î D ; (-23 ) Î D

  Q    désigne l’ensemble des rationnels, c’est à dire des nombres de la forme :   ( ou « A » et « B »  sont des monômes ou des polynômes)

 

 

 

 « a » et « b » sont des nombres entiers relatifs.

a Π Z   ;   le nombre « a » est un entier relatif.

b Π Z*   ;le nombre « b » est un entier relatif différent de « zéro ».

Exemples :

 

 

 

 

Mais les rationnels  (  N Ì Z Ì D± Ì Q )    ne suffisent pas pour « mesurer » , par exemple :

- La longueur de la diagonale d’un carré de côté égal à « 1 »  est égale à « racine carrée de 2 »

- le périmètre d’un cercle  de diamètre égal à « 1 »  est égal à « pi »

 

Rappel : Les deux opérations fondamentales, l’addition et la multiplication, sont les  propriétés communes à tous les ensembles  :

 

 

 

Addition

Multiplication

 

 

Associativité

« a + ( b + c) = ( a + b) + c »

« a ( b  c ) = ( a + b) + c »

 

 

Commutativité

« a +  b ) = ( b + a )  »

«   a b = b a »

 

 

Existence d’un élément neutre

O

« a +  0 ) = ( 0 + a )= a  »

1

« 1 x a  = a x 1 = a  »

 

 

Distributivité

« ( a ( b + c  ) = ab + a c   »

 

 

 

 

 

 

 

En outre , dans «  Z ;   D   et   R »    tout nombre « a » possède un opposé « a’ » , tel que : «  a + a’ = 0 »

 

 

Enfin dans l’ensemble « R » tout nombre « a » non nul possède un inverse « a-1 » tel que : « a a-1 =  1 »

 

 

 

 

 

 

 

 

Ces nombres sont « complémentaires » aux autres nombres vus précédemment pour former l’ensemble des nombres dit « réels »

 

Les « R » sont les nombres Q et les autres « nouveaux »

 

1)     Quelques exemples de nombres réels (extérieurs à Q )

 

a)     Nous avons vu que  «  » ne peut être égal ni à un nombre entier , ni à une fraction ; nous savons seulement  en calculer des valeurs approchées aussi voisines que l’on veut :

        Ainsi :   1, 414213 < <1, 414214  à 0,000001 prés ( à 10-6  prés)

 

  Il en est de même des racines cubiques , des racines d’indice n Î N* de nombres entiers qui ne sont pas elles – mêmes des nombres entiers.

 

       Ainsi : 10, 355580 <   ??????? <10, 355580   ;   à 0,000001 prés ( à 10-6  prés)

   Ces suites décimales sont illimitées , elles ne sont pas périodiques , sinon le nombre correspondant serait rationnel .

 

   b)  De même  3,141592653 <  p   < 3,141592654   à 0, 000000001 prés .

  

b)     Les rapports trigonométries des angles tels que :

Sin 36° » 0,5878 à 0,0001  et de nombreux nombres couramment utilisé .

 

Tous  ces nombres sont nombres réels et appartiennent à R .

Ces nombres qui  ne sont pas « rationnels » peuvent être dits « irrationnels »

      

 

  Lorsque  la  suite de chiffres de la partie décimale  est  illimitée , si elle n’ est  pas périodique , le nombre correspondant est un irrationnel .

 

 

 

Ainsi pour  l’ ensemble des réels ( R )

 

Nous admettrons que tous les nombres peuvent s’exprimer :

-         Soit exactement par un nombre décimal ( appartenant à Z et Q )

-         Soit par les nombres ayant  une suite de chiffres  en partie décimale illimitée périodique ( donc appartenant à Q )

-         Soit par les nombres ayant  une suite de chiffres  en partie décimale illimitée  non périodique ,

 

Ces nombres (tous) constituent un ensemble appelé «  ensemble des nombres réels  et est désigné par la lettre « R »

La lettre « R »  désigne l’ensemble des réels, c’est à dire des nombres qui permettent de mesurer toutes les longueurs et leurs opposés.

 

Pratiquement tous les nombres utilisés dans les calculs élémentaires sont des nombres réels .

D’après ce qui précède  on peut écrire :

N  Ì Z Ì Q Ì R

 

Mais aussi N Ì Z Ì D± Ì Q Ì R

 

Les réels « non  rationnels » sont dits « irrationnels »  ( voir les racines…)

 

·       Opérations dans R .

Info  « Cours » ++

Voir les opérations dans D±    .Nous pouvons nous rappeler que nous pouvons définir  « Addition » ( et soustraction) , multiplication ( et division) , opérations qui possèdent les mêmes propriétés que celles données pour Q .

L’opération « puissance » est toujours définie et réciproquement l’opération d’indice « n » » est aussi définie dans  R+    .

 

 

 

 

·       Ordre sur « R »

 

 

Une relation d’ordre sur un ensemble « E » est une relation « R  » :

 

 

 

·       Réflexive :  pour tout élément « a » de « E » ;  a  R    a

 

 

 

·       Antisymétrique : Aucun couple  ( a ; b ) d’éléments de « E » ne vérifie simultanément les trois conditions :

( a R   b )    ;  ( b  R   a )   ; ( a  b )

 

 

 

·       Transitive : Si trois élément « a » ; « b » ; « c » de « E » sont tels que :  (R   b )    ;  ( b  R   c )   alors   ( a R   c  )

 

 

 

L’ensemble des « R » des nombres réels est  muni de quatre relations d’usage courants notées : 

 

 

 

Lire : inférieur ou égal à… ;

 

 

 

 

< 

Lire : strictement inférieur à… ;

 

 

 

 

Lire : supérieur ou égal à… ;

 

 

 

 

>

Lire : strictement supérieur à… ;

 

 

 

Les relations    et    sont  des relations d’ordre.

 

 

Les relation   > et <  sont antisymétriques et transitives , mais non réflexives.

 

 

 

 

 

Deux inégalités telles que :

 

 

« a  b »   et «  c <  d »    

Ou     « a  b »   et «  c   d »

 

 

 

Ou

 

 

 

«  a < b »  et  « c < d »

Ou     « a  b »   et «  c   d »

 

 

 

Sont de même sens.

 

 

 

Deux inégalités telles que :

 

 

 

 

« a  b »   et «  c > d » 

Ou     « a  b »   et «  c   d »

 

 

 

Sont  dites de sens contraires

 

 

 

 

 

 

 

 

Règles pratiques de calcul :

 

Info..

1°) En ajoutant ( ou en retranchant ) un même nombre aux deux membres d’une inégalité , on obtiens une inégalité de même sens ..

 

 

Exemples :

 « a  b »    entraîne  « a + c  b + c »

 

 

«  a < b »  entraîne  «  a + c  < b + c  »

 

 

Comme ajouter un réel c’est  retrancher son opposé , on peut appliquer la même règle commençant par retrancher  d’où :

 2°) En  retranchant   un même nombre aux deux membres d’une inégalité , on obtiens une inégalité de même sens .

 

 

 

 

Info..

3°) En ajoutant « membre à membre »  deux inégalités de même sens , on obtient  une inégalité de même sens .

 

 

Exemple : « a  b »   et  « c  d »   entraînent  « a + c   b + d  »

 

 

Attention !!!   Il n’est pas permis de retrancher des inégalités :  «  19    17  »  et  «  13    3  », il n’est pas possible de déduire : 19  - 13   17  - 3

 

 

 

 

 

4°) En multipliant les deux membres d’une inégalité par un même réel non nul , on obtient une inégalité :

 

 

·       De même sens  si le multiplicateur est positif.

·       De sens contraire si le multiplicateur est négatif.

 

 

 

 

Info.

Intervalles :

 

 

« a » et « b »étant deux réels tels que « a  b » 

 

 

 

est l’ensemble des réels « x » tels que

 

 

 

 

[ a , b ]

 

« a  x  b »

 

 

 

[  a , b [

 

« a  x <  b »

 

 

] a , b ]

 

« a  < x  b »

 

 

] a , b [

 

« a  < x <  b »

 

 

] a , +  [

 

« a   <  x  »

 

 

[ a , +  [

 

« a  x  »

 

 

] -  , b [

 

« x <  b »

 

 

] -  , b ]

 

« x  b »

 

 

 

 

Info

Valeurs absolues :

 

 

 est celui des deux réels « + x » et « -x » qui est positif.

 

 

 = 0

 

 

·       La valeur absolue d’une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues :   +

·       La valeur absolue d’un produit est égale au produit des valeurs absolues.  =   

 

 

 

Fin des rappels  :

 


 

 

 

 

 

Exercices types :

 

1.     

Nier l’inégalité suivante :  a  -5

 

2.     

Nier l’inégalité suivante :  b   2

 

3.     

Nier l’inégalité suivante :   c < 0

 

4.     

Nier l’inégalité suivante :  0   d  < 1

 

5.     

Nier l’inégalité suivante :  - 1    f  < - 0,5

 

6.     

Nier l’inégalité suivante :  f < - 2     ou   f > 3

 

 

 

 

7.     

Vérifier que le réel :  [  ( a + b ) -  ]  est égal au plus petit des deux réels « a » et « b »

 

 

8.      

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

9.      

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

10.  

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

11.  

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

 

12.  

En remarquant que les radicandes sont des carrés parfaits , simplifier les écritures suivantes (dont on discutera selon les valeurs de « a » :

 

 

13.  

Soit « a » un nombre réel.

Sachant que «  a  < -1 », que peut -on dire de « a² » , de « -a » et de «  » ?

 

 

14.  

Soit « a » un nombre réel.

Sachant que «  a  > 5 », que peut -on dire de « a² » , de « -a » et de «  » ?

 

 

15.  

Soit « a » et « b » deux réels . On sait que :  4 < a < 7   et   3 <  b < 4   que peut-on dire de « a – b » ?

 

 

16.  

Soit « a » et « b » deux réels . On sait que :  - 1  < a < 3    et   -2 <  b < 0   que peut-on dire de « a – b » ?

 

 

17.  

Soit « a » et « b » deux réels . On sait que :  -2    a  2    et   - 2   b  2   que peut-on dire de « a – b » ?

 

 

 

Quelles  inégalités     vérifie t-il si le réel « a » vérifie :

 

18.  

  - 3 < a < 3   ?

 

19.  

  - 1  a  1 ?

 

20.  

  - 2 < a < 0 ; ? 

 

21.  

  - 2 < a  < 4 ; ?

 

22.  

  - 2  a < 2 ; ?

 

23.  

  - 2 <  a 3 ; ?

 

24.  

- 5 < a  - 3 ; ? 

 

 

 

Quelles inégalités le réel « a » vérifie-t-il sachant que

 

25.  

      < 2               

 

26.  

        3  

 

27.  

        > 1

 

28.  

     1

 

29.  

   < 2  

 

 

 

 

 

Déterminer l’intersection des intervalles « A » et « B » donnés.

 

30.  

A = [ 0 ; 4  ]   ;   B =  [ 2 ; 6  ]

 

31.  

A = [ 0 ; 5  ]   ;   B =  [ 5 ; 6  ]

 

32.  

A = [ 0 ; 3   [   ;   B =  [ 2 ; 4   [

 

33.  

A = [ - 1  ; 4 [   ;   B =  [ 3  ; 4 [

 

 

 

 

 

La réunion de deux intervalles « A » et « B » donnés est-elle un intervalle ? Si oui , préciser cet intervalle.

 

34.  

A = [ 1 ; 4  ]   ;   B =  [ 2 ; 5  ]

 

35.  

A = [ 1 ; 2  ]   ;   B =  [ 2 ; 3  ]

 

36.  

A = [ -1  ; 0 [  ;   B =  [ 0 ; 2  ]

 

37.  

A = [ -1  ; 1 [  ;   B =  ]  1 ; 3  [

 

 

 

 

38.  

On donne deux réels « a » et « b » . On sait que :  4,5 < a < 4,6       et      5,3   b  5,4

Que peut –on en déduire pour «  a + b » , pour «  a – b »  , pour     ; pour  «  a² + b² »         

                     

 

39.  

Comparer les nombres  et   +  : on déterminera leur ordre et on donnera un majorant  de leur écart .

 

40.  

On donne quatre réels « a » , « b » , « c » et « d » tels que :   a < b    et c < d

Démontrer l’ inégalité : «  a – b < d –c  »

 

 

41.  

On donne quatre réels « a » , « b » , « c » et « d » tels que :   a < b    et c < d

Démontrer l’ inégalité :     «  a – d < b – c  »

 

 

42.  

On donne six  réels « a » , « b » , « c » et   « a’ » , « b ‘ » , « c’ » tels que :

 

Etablir les inégalités : «  a b’     b a’            et       

 

 

 

43.  

 

 

44.  

 

 

45.  

 

 

46.  

 

 

 


 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE:

1°)   Nommer les ensembles définis par les lettres :  N ; Z ; D ; Q  (accompagner la réponse par un exemple)

2°)  Que désigne  la lettre « R » :

 

3°)  Citez des nombres irrationnels.

 

EVALUATION:

 

 1°) Classer avec la relation   £   les trois nombres      ; et p

 

En déduire le classement par la même relation  de ; ; et p

 

(pour résoudre cette question déterminer des valeurs approchées décimales des deux fractions avec un nombre de chiffres décimaux suffisant.)

 

2°)  Les valeurs approchées par défaut d’un nombre sont successivement : 1 ; 1,1 ; 1,12 ; 1,12123 ; 1,121231234, etc . ;les chiffres décimaux successifs  constituant une suite de plus en plus longue des nombres entiers .Le nombre est-il rationnel ? est-il réel ?

 

3°)  Pourquoi la valeur de x tel que x2 = 5 , est-elle extérieure à l’ensemble Q . Montrer que dans l’intervalle  [2 ; 3 ]  cette valeur constitue une coupure pour les nombres de l’ensemble Q. En est-il de même pour x2 = 6,25 ?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CONTROLE : corrigé :

1°)   Nommer les ensembles définis par les lettres :  N ; Z ; D ; Q  (accompagner la réponse par un exemple)

N désigne l’ensemble des entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …..

  Z  désigne l’ensemble des entiers relatifs : ……. ; (- 4) ;( -3) ;( -2) ; (-1) ;( 0) ; (+1) ; (+2) ;( +3) ;…….

D  désigne l’ensemble des nombres décimaux , c’est à dire des nombres ayant un développement décimal limité. 

Exemples :  0,5  Î D ; (-43,371) Î D ;  ( + 23)  Î D ; (-23 ) Î D

  Q désigne l’ensemble des rationnels, c’est à dire des nombres de la forme :

2°)  Que désigne  la lettre « R » :

l’ensemble des nombres réels.

3°)  Citez des nombres irrationnels.

 Pi ; racine carré de 2 ; racine carrée de 3 ; racine carrée de 7 ;…

EVALUATION:

 1°) Classer avec la relation   £   les trois nombres    ;  ; et p

 

En déduire le classement par la même relation  de  ;  ; et p

(pour résoudre cette question déterminer des valeurs approchées décimales des deux fractions avec un nombre de chiffres décimaux suffisant.)

2°)  Les valeurs approchées par défaut d’un nombre sont successivement : 1 ; 1,1 ; 1,12 ; 1,12123 ; 1,121231234, etc . ;les chiffres décimaux successifs  constituant une suite de plus en plus longue des nombres entiers .Le nombre est-il rationnel ? est-il réel ?

3°)  Pourquoi la valeur de x tel que x2 = 5 , est-elle extérieure à l’ensemble Q . Montrer que dans l’intervalle  [2 ; 3 ]  cette valeur constitue une coupure pour les nombres de l’ensemble Q. En est-il de même pour x2 = 6,25 ?

 

 

 

 

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