Pré requis:

 

La division euclidienne

 

Lecture : Les ensembles

 

Voir : relation d’équivalence et  partition d’un ensemble  faire ) 

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

 

Retour vers la page d’accueil « warmaths »

AVANT :

)L’ensemble N

2°) la fraction décimale , ordinaire et sa conversion exacte ou approchée

3°°) La fraction vu en 6ème  au collège (découverte)

COURS

APRES :
  1. Les fractions

 

  1. Info @ ++++ :  Algèbre : les rationnels.
Complément d’Info :

 Le calcul algébrique sur les quantités fractionnaires.

 

TITRE : L’ensemble des nombres Rationnels noté :    Q

 

Travaux ; devoirs

 

Corrigé

TEST

Contrôle

évaluation

 

Contrôle

évaluation

 

Interdisciplinarités :   (matière concernée)

F

H

Géo.

Vie quotidienne

et vie familiale

Autres :

Sciences et technique 

Physique

Chimie

Electricité

Statistique.

 

 

 

 

COURS

 

 

Ensemble des rationnels :

 

Approche intuitive : Dans l’ensemble F des nombres fractionnaires on peut écrire :  = ==== ; etc.

 

Tous ces nombres peuvent être considérés comme le même nombre  écrit sous des formes différentes . L’ensemble de ces fractions forme une classe d’équivalence . C’est ce nombre qui est dit « rationnel » .

 

Un nombre rationnel peut être représenté par l’une quelconque de ses formes.

Ainsi    représente tous les nombres de la forme  ( k ÎZ*)

 

L’ensemble des nombres rationnels est donc l’ensemble quotient de l’ensemble F des nombres fractionnaires par la relation d’égalité . Il se note : ensemble Q .

 

Dans ce nouvel ensemble il n’existe plus de nombres différents équivalents entre eux , car tous les nombres équivalents à  forme un seul nombre rationnel .

Pratiquement nous confondrons « nombre rationnel » et fraction représentative , nous parlerons par exemple du « nombre rationnel »  .

 

 

 

 

Etude théorique :

 

Reprenons l’étude de la relation  «  avoir même valeur » dans F .

=    Û   ad = bc

 

Elle possède bien les trois propriétés caractéristiques d’une relation d’équivalence :

 

Réflexivité : =    car :   ad = bc

 

 Symétrie : =    Þ   =   

 

Transitivité : (1)       =   et (2)    =     Þ  =

 

car (1) ad = b c   et  (2)  c f = de   multiplions membre à membre :

      a d c f  =  b c d e

Þ  a f = e b

Þ  =

 

              Cette relation a donc pu , à juste titre être dite , relation d’ équivalence de deux fractions . Elle détermine les classes d’équivalences dites : « Nombres rationnels »

 

 

Opérations dans l’ensemble des rationnels :

 

Les opérations : addition , soustraction , multiplication , division  ( sauf pour le diviseur nul ) possèdent les mêmes propriétés que dans l’ensemble des nombres fractionnaires .

 

Représentation d’un rationnel par un nombre décimal :

 

Nous savons dans quel cas un rationnel peut être représenté par un nombre décimal  (SOS Rappel ) . Il est alors unique .

 

Exemple :   , forme irréductible :  ; sa forme décimale = 0,425

 

S’il n’en est pas ainsi  la division décimale du numérateur par le dénominateur , donne naissance à une suite décimale illimitée qui permet , d’avoir des valeurs approchées décimales de ce nombre avec une approximation aussi grande qu’on le désire . ( voir : encadrement ; arrondir et troncature)

 

Exemple : « calculer le quotient  x  de   ; exprimer « x » à 10-6 prés par défaut et par excès 

17 , 000000      44

  3   80             

280                        0,38 63 63 63 …            

         160

           280                           période  « 63 »

             160

               ….

 

 

 

 Ainsi  on dire que  « x » est compris entre deux valeurs : 0,386363  et  0,386364                   

            Qui se note :          0,386363  <  x <  0,386364                                                   

             0,386363   est la valeur approchée à 10-6 prés par défaut de « x »

              0,386364 est la valeur approchée à     10-6 prés par excès de « x » 

 

d’où l ‘encadrement du résultat de la division :

0,386363  <  < 0,386364

 

Une suite décimale périodique est une suite de chiffres appartenant à la partie décimale du nombre décimal  et qui se répètent :

Exemple 1  :…,… 63 63 63 …    (     67,32 63 63 63 …)

Exemple 2 ; .., 7340  7340 7340…  ( 3, 7340  7340 7340…)

 On démontre et nous admettrons que :

1°) Ttout nombre rationnel donne naissance par division à une suite de décimale périodique illimitée ( la période étant composée de 0 , dans le cas d’égalité à un nombre décimal )

2°) Sauf pour une suite décimale  illimitée de 9  , toute suite décimale illimitée peut être  considérée comme engendrée par un nombre rationnel .

 


 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

CONTROLE:

 

Compléter les phrases suivantes

1°) tout nombre rationnel donne naissance par division à ………….

2°) Sauf pour une suite décimale  illimitée de 9  , toute suite décimale illimitée peut être  considérée …………………………….. .

 

 

EVALUATION:

 

)Quelle est la forme irréductible du nombre rationnel représenté par :

a )    ; b)  ; c ) 0,275 ; d) 3,48

( SOS cours)

2°) Quelle est la forme décimale (sans zéro à droite des chiffres significatifs) du nombre rationnel représenté par :

 

   ;  ;

( SOS Cours)

3°) Déterminer la suite décimale périodique engendrée par les fractions suivantes :

   ;  ;

 


 

 

 

CORRIGE : CONTROLE.

1°) tout nombre rationnel donne naissance par division à une suite de décimale périodique illimitée ( la période étant composée de 0 , dans le cas d’égalité à un nombre décimal )

2°) Sauf pour une suite décimale  illimitée de 9  , toute suite décimale illimitée peut être  considérée comme engendrée par un nombre rationnel .

 

CORRIGE  EVALUATION.

1°)

a )    ; ( info procédure)

b)  ; ( info procédure)

 

c ) 0,275 ; (info procédure)

 

d) 3,48  (info  procédure )

 

 

2°)

  = 0,24

 = 0,425 ;

=  2,75

 

3°)

 = 0,386363636363636363636363636363636  ;

  = 0,621621621621621621621621621621622   ;

 = 0,450909090909090909090909090909091

 

 

909090909090909091