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II )  LECON :    LA DIVISION EUCLIDIENNE

 (le nom de « division euclidienne » ne s’adresse uniquement aux divisions  dont les nombres sont des entiers naturels. (Ensemble des nombres entiers naturels N)

         Chapitres :

I ) PREAMBULE

.

II ) Les Symboles indiquant  la division :

.

III ) DEFINITION de la division euclidienne et « quotient exact »

.

IV) PRATIQUE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE .

.

V ) ENCADREMENT D’UN RESULTAT

.

IV)   INFORMATIONS  «  formation leçon » :

Test

COURS  

Travaux  auto - formation.

Interdisciplinarité                      

 1°) série 1 (info sur les entiers naturels)

2°) autres situations problèmes

3°) et autres situations problèmes.

Corrigé des travaux  auto - formation.

Contrôle :

évaluation

Corrigé Contrôle 

Corrigé évaluation 

 

Rappel : la table de Pythagore

 

Fiche activités sur le quotient exact.

4°) Liste des objectif de formation  en progression.

OPERATIONS :« TESTS »

 

Rappel : La table de division.

 

5°) fiche de travaux normatifs.

Ici  liste des cours sur ……la division……………..

V

Leçon

Titre

N°C.N.21

LA DIVISION EUCLIDIENNE

CHAPITRES

I ) PREAMBULE

.

II ) Les Symboles indiquant  la division :

.

III ) DEFINITION de la division euclidienne et « quotient exact »

.

IV) PRATIQUE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE .

.

V ) ENCADREMENT D’UN RESULAT

.

 

COURS

   

 

I ) PREAMBULE

 

 

 

 

 

A partir  du fait que  67 = 42 , on peut écrire  42 : 6 = 7 et  42 : 7 = 6 ;

La division est l’opération inverse de la multiplication : en effet  , multiplier puis diviser par un même nombre différent de  « 0 » une quantité  a un effet neutre  sur cette quantité : 

Exemple :  (13 x  2) : 2 = 13.

Il est donc évident  que savoir faire des divisions passe par la connaissance parfaite  des  tables de multiplication.

Quand à l’utilisation de la calculatrice pour diviser : l’usage des calculatrices électroniques de poche ne doit pas dispenser de posséder la maîtrise totale des quatre opérations élémentaires :

 

  Addition ; soustraction ; multiplication ; division.

 

La division est l’opération inverse de la multiplication :

La division est une sorte de « partage »

« partager » c’est découper en parts « égales » un objet , un tas ; un ensemble d’objets en vu de les répartir en quantité égale :

exemples :

pour partager un gâteau. Il peut y avoir 2 façons ; en fonction du nombre de personnes ( il y a 5 personnes on découpe le gâteau  en 5 parts égales ); ou en fonction d’une quantité que l’on destine à chacun ( On découpe le gâteau en 8  parts est on en donne 5 parce qu’il y en 5 personnes  et que les quantités par part sont suffisantes pour rassasier chacun)

( Voir les fractions )

Revoir :  Les tables des divisions :

 

 

 

 

 

 

 

II ) Les Symboles indiquant  la division :

 

 

Les Symboles  séparant deux nombres  indique  la même opération :

appelée la division ;  ils sont au nombre de trois.

a)      les deux points superposés    «  __   :  ___   »   

b)      le "slache"                           « __  /___ »

c)       la barre de fraction                «     » 

Sur la touche de la calculatrice on trouve le signe  « ¸ »

 

Si l’on fait de calcul , on obtient le même résultat si l’on  pose :

 

    40:  8    (= 5 )     ;    40   /   8  ( =  5 )   ;         ( =  5 )

 

Conclusion :  deux nombres séparés par  le  signe :         :    ou    le signe                  ou le signe    /                           

 

 

indique  que l’on peut faire une division pour effectuer le partage .

 

 

 

 

III ) DEFINITION de la division euclidienne

 

 

Définition :   La  division euclidienne est une opération qui associe à deux entiers naturels   « a » et « b »  les entiers  naturels  « q » et « r » tels que :

 

 

a  = b q + r

 

   avec  les conditions suivantes :  b ¹ 0   et  r < b

 

 

Exemple: puisque  147 par 8 donne 18 , et le reste 3 ; alors   147 = 8 18 + 3

Ecriture mathématique :

 

Ce qui se traduit , en langage littéral ,par :

 

    Le dividende « a » est égal (=) au produit  ()  du diviseur « b »  par le quotient « q »,plus ( +)  le reste  « r » .Avec les conditions que le diviseur « b » soit différent (¹ ) de zéro « 0 »; et le reste « r »  soit strictement   inférieur  (< ) au diviseur  ( b) .

Formule équivalente 

    Encadrement :

b q   £   a < b ( q + 1 )

 

Application :    38 : 7

7  5 £   38  < 7 ( 5 + 1 )

3 5 £   38  < 7 36

 

 

 

"QUOTIENT EXACT"

 

 

 

  Remarque : si le reste de la division euclidienne est égal à zéro (le reste est nul ) , le quotient est appelé « quotient exact ».

 

( si l’on  obtient un quotient exact  ,on peut donc répartir  ou partager « équitablement » une quantité donnée .)

                 12 : 4 = 3 + 0

A retenir :  ( savoir nécessaire pour calculer dans une proportion)

 

  « dividende »   divisé  par le « diviseur » égal le quotient. : « a » : « b » = « q » 

 

aussi : le quotient multiplié par le diviseur est égal  au dividende ;

   

   Et le quotient divisé par le dividende est égal  au diviseur.

 

 

 

 

 

 

« QUOTIENT NON- EXACT »

 

 

 

Lorsque le reste n’est pas nul , le quotient est appelé « quotient  à 1 près par défaut » ou « approximation entière par défaut » du quotient .

Vocabulaire :

le mot « approximation » vient du latin « proximus » : proche .

« par défaut » signifie « ce qui manque »

 

 

 

 

 

 

         Disposition pratique de la division euclidienne :

            

                

Forme :

 

 

a

 

b

 

 

 

q

 

 

r

 

                

 

     on nomme     a  étant le dividende

                                   b   étant le diviseur

                                  q   étant le quotient

                                  r    étant le reste

 

Complément :

On peut dire que : le quotient d’un entier par un entier non nul est appelé « rationnel ». 

 

Le quotient est le nom donné au résultat de la division.

 

 

 

Pour "b"  voir

 

A retenir :  dividende : divisé  par le diviseur égal le quotient.         « a » : « b » = « q » 

 

 

IV) PRATIQUE DE LA DIVISION EUCLIDIENNE .

 

 

A)  Disposition : 

                             Exemple :  Faire la division euclidienne de  27  :  6  = ?

  )   Calcul :

        Disposition pratique: 

     

                   

Forme :

 

 

a

 

b

 

 

 

q

 

 

r

 

 

Ce qui se traduit par :

 

 

2

7

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                      

 

  ) Résultat    :    27  =  6  4 + 3    les conditions étant respectées :  puisque b  = 6 et   r < 6

 

 

B )  PRATIQUE DE LA DIVISION :       exemple : on veut  diviser   87  par  6

PROCEDURE :

a ) Identifier  (nommer) :  le dividende :  87 ;   le diviseur :  6

b)  établir mentalement (ou par écrit) la table de multiplication dont le nombre « multiplicateur »  est le diviseur :   

6 1 = 6

62 = 12

63 = 18

64 = 24

65 = 30

66 =  36

67 =  42

68 = 48

69 = 54

 

c)   Poser la division :

 

87

6

 

 

 

 

d )  Prendre le premier chiffre du dividende :   « 8 » ; le comparer à « 6 » , se poser la question :

Dans :   « 8 »  combien peut - il t avoir de fois « 6 » ?

réponse à voir dans la table de multiplication :

6 1 = 6

62 = 12

 

« 8 » est compris entre  « 6 » et « 12 » ; en conclure    que « 8 » contient  une fois « 6 » ; on  écrit « 1 » au quotient

8

7

6

 

1

 

 

 

ou plus généralement : Combien « de fois » contient le premier chiffre du dividende le nombre « diviseur » ?

 

e ) Dans la division pratique il faut  poser la soustraction  8 - 6 

 

reste :  2

 

 

 

 

8

7

6

6  1       -

6

 

1

 

2

 

 

 

f )  reste « 2 » , j ‘abaisse le « 7 ».

 

 

8

7

6

 

-  6

¯

1

 

2

7

 

 

g)   le nouveau dividende vaut : 27

 

On se pose la question : dans  « 27 » combien de fois y a t - il de fois « 6 » ?

 

   8 

 7

6

 

   6

1 4

 

2

7

 

64 : On « regarde »  dans la table des « 6 » :

« 27 » est compris entre  64 = 24   et  65 = 30

 

- 2

4

 

0

3

 

On « met » « 4 » au quotient

On pose la soustraction  27 -  24  =  3

« 3 » est le reste de la division ( parce que le « reste » est inférieur au « diviseur »)

 

 

V ) ENCADREMENT D’UN RESULAT

 

 

 

 

 

Utilité   de l’encadrement du dividende sous la forme :

     

                                           b    q <   a  < b ( q + 1)

 

  ( rechercher pour  approcher un nombre dans  les tables de multiplication ) ; en vue de trouver  la valeur du diviseur  en se posant la question :« combien de fois y  a t - il.... « tel nombre »......dans....« tel nombre ».... ? »

 

exemple : combien y a t il de fois « 6 » dans « 27 » ?

 D ‘après la table des multiplications  ( fois 6 )   6 fois 5 = 30 ; 6 fois 4 = 24»

 

donc  dans la table  des « 6 » ; 27 est compris entre  24 et 30

ce qui se traduit :                                                24  <  27  <  30

soit                                                                64. <   27   < 6 5          

on retrouve  la forme                          

Nous obtenons avec cette relation d’encadrement

 

 

b    q <   a  < b ( q + 1)

 

 

EXERCICE  d ' application  de l’encadrement :

Travail :  On veut  effectuer la division euclidienne   27 : 6

On passera par l ’ encadrement  pour la recherche d'un nombre  pouvant se trouver dans la  table de multiplication:

Ainsi , on s’interroge : est ce que 27 est dans la table des 6 ?

Réponse :                non parce que 27 est compris entre 6 fois 4 et 6 fois 5.

Réalisation :

                    Effectuer la division euclidienne   27 : 6 

1°) Donner le résultat sous la forme «  a = b q + r)

2°) Donner la valeur de « a »  par  encadrement  , sous la forme   «  b q <   a  <  b q + 1 »

(on lira que « a » est compris en b fois q  et    b fois q plus r ).

 

Résolution :

1°) résultat sous la forme «  a = b q + r »

  a ) On pose  27 = a   et   6 = b

  b) On veut le résultat sous la forme :    «  a = b q + r) après avoir posé l’opération on relève que :  27 =  6   4  + 3

 

2°) Encadrement  , sous la forme   «  b q <   a  <  b q + 1»

          

  c ) Nous savons que   dans la table des « 6 »      27  > 6   4      et  27  <  6  5 

 

  d ) nous pouvons écrire  6   4  <  27 <  6 ( 4 +1)

                                               6   4   <  27  < 6  5

donc                                             24     <    27   <  30 

 

Commentaire : dans la table des « 6 »  , 27 est compris entre 6 fois 4 et 6 fois 5 .

   pour diviser 27 par 6 ;nous  nous réciterons la table des « 6 »

nous  chercherons  dans 27 combien  de fois il y a  6:

    ainsi :     6 fois 4  = 24 ;    6 fois  5 = 30

 on remarque que   27 se trouvant entre « 24 » et « 30 »

4 est donc le diviseur choisi :   6 fois 4 = 24 

ensuite je calcule  27 - 24 ;il me reste  donc 3 . 

Pour que 27 soit divisible par 6 , dans la division euclidienne le quotient devrait être (dans une des divisions)un quotient exacte.

je peux  rendre compte :

le résultat de la division euclidienne  27 par 6

est : 27 =  6   4  + 3

 

Autre division:

POUR DIVISER : 4592  par 31

 Réponse :  Il faut établir la table des multiplications  des "31"

 

Voir exemple de la table des "31"

 

Il faut ensuite effectuer la division  vue précédemment .

 

 

 

 

 

 

 

Leçon

TRAVAUX d ’ AUTO - FORMATIFS  sur 

N°C.N. 21

LA DIVISION EUCLIDIENNE.

 

TRAVAUX  N°C.N. 21    d ’ AUTO - FORMATION :  CONTROLE

 

1. Que veut dire diviser ?

 

2 . Donner la définition de la division euclidienne.

 

3. Traduire avec des symboles :

 

« Le dividende est égal au produit du diviseur par le quotient ,plus le reste .Avec les conditions que le diviseur soit différent de zéro ; et le reste  soit strictement inférieur au diviseur. »

4 .  Si le reste de la division euclidienne est égal à zéro ,comment appelle - ton le quotient ?

 

5. Donner la disposition pratique de la division euclidienne ;nommer les  symboles .

 

6.   Quel point commun ont entre eux les symboles suivants :       :     ;      _     ;       /    ;       ?

 

7. Traduire en langage littéral :       a  = b q + r

avec  les conditions suivantes :  b ¹ 0   et  r < b

 

8 . A quoi sert - il de connaître la division euclidienne ?

 

TRAVAUX N°CN 21    d ‘ AUTO - FORMATION   EVALUATION

 

1 .Soit : 40 :  8;    40 / 8;        ; trouver le point commun ; conclusion.

 

2°) Donner sous forme  euclidienne le résultat des divisons suivantes :

Exercices

Votre résultat

 

31 : 3

 

 

165 : 5

 

 

587 : 11

 

 

237 : 33

 

 

166  : 9

 

 

349 :  15

 

 

180 :  4

 

 

51 :  7

 

 

 

3°)  Reprendre les divisions précédentes et présenter   le dividende  encadré par les divisions euclidienne les plus proches.

 

Rappeler la  forme 

b q

<     a   <

b ( q +1)

 

<  31  <

 

 

<  165 <

 

 

<  587  <

 

 

< 237   <

 

 

<   166  <

 

 

1<   349  <

 

 

<    180 <

 

 

<    51 <

 

 

A  )Problème :peut - on partager équitablement   123 feuilles de papier en 6 paquets .INTERDISCIPLINARITE :

 

Soit 45872’’ , convertir en degrés, minutes , secondes

SOS info

PARTAGE :

Claude partage entre ses équipiers une boites de 72 dragées. Chaque équipier a reçu 12 dragées .Combien sont-ils dans l’équipe de Claude ?

Classe  « école »

 

Exemple : les 24 élèves  d’une classe sont répartis en 4 équipes.

Combien y a-t-il d’élèves par équipe ?

Réponse :

24 = 4  ? ;  24 : 4 = 6

1- Pour le goûter  on partage équitablement un paquet de 24 galettes entre 4 enfants . Quelle sera la part de chaque enfant ?

 

2 - Cinq personnes , qui ont joué ensemble , ont gagné 4625 € au loto. Quelle somme revient à chacune d’elles ?

 

3- Dans un ascenseur , un panonceau indique « charge maximale autorisée : 1300 kg . Combien de personnes de 65 kg peuvent prendre place dans cet ascenseur ?

 

4- Un moustique bat des ailes 132 000 fois par minute ! Combien cela représente-t-il de battements par seconde ?

 

5- Un fût contient 300 l .Combien de bouteilles de 75 cl peut-on remplir avec le contenu de ce fût ?

 

6- Sur une camionnette , on doit charger des colis pesant chacun 42 kg . La  camionnette ne peut transporter plus de 800 kg. Combien de colis  pourra-t-il emporter ?

 

7- Pour acheter un réfrigérateur d’une valeur de 4276 €  , il est possible de ne payer que 1000 € à la commande et le solde en 12 mensualités . Quel sera alors le montant de chaque mensualité ?

 

8 - Un ouvrier perçoit un salaire de  7783F pour un mois de 172 heures de travail. Quel est son salaire horaire ?

 

9 - Une course cycliste se déroule sur un parcours comprenant un tronçon de 24 km , un autre de 38 km et , à l’arrivée , 4 tours d’un circuit en ville. La longueur totale de la course est de 83 km . Quelle est la longueur , en km , d’un tour de circuit ?

 

10- Dans une lettre publicitaire , un mensuel propose , au choix, un abonnement :

-          de 6 mois pour 105 €

-          d’un an pour 195 € ;

-          de 2 ans pour 390 €.

Quel est , dans chaque cas, le prix de revient au numéro ?

 

11- D’une citerne contenant 1500 litres d’eau , un jardinier a déjà retiré 34 sceaux d’une capacité de 10 l . Combien d’arrosoirs d’une capacité de 8 litres pourrait-il  encore tirer ?

 

 

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