Pré requis:

 

Le système sexagésimal

 

Mesure du temps.

 

Les angles

 

Les outils de mesure d’un angle

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Les unités d’angle

3D Diamond

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index warmaths

Objectif précédent :

1°) Addition et soustraction dheures.

Objectif suivant

Les opérations avec les angles .

Liste des cours en géométrie

 

 

DOSSIER : Les nombres  complexes 

 

 

1°)  Définition du nombres « complexe »

 

 

 

2°) « la CONVERSION » : « ANGLES en degrés »  et ou  « HEURES » en secondes  ; puis en « heure ; minute ;seconde »

 

 

 

3°) « CALCULS » avec deux nombres :       Addition ; soustraction ;multiplication et division.

 

 

 

 

 

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COURS

 

 

1°)  Définition du nombres « complexe »

nous connaissons le nombre dit « entier » , ensuite nous avons appris à reconnaître le nombre dit « décimale » ; dans cette leçons nous allons rencontrer un nouveau nombre dit « nombre complexe ».

 

le  nombre complexe est un nombre qui est utilisé pour exprimer :

-       la valeur d’un angle en « degré minute ;seconde. »

-       ou la valeur du temps  en « heure ; minute seconde » ;

Exemples :

- en géométrie :   un angle ( en degré) mesure :  47 degrés  24 minutes et 35 secondes   ( ce qui donne l’écriture du  nombre dit « complexe » :  47 ° 24 ‘ 35’’ )

- pour désigner la mesure du temps qui passe :  3 heures 18 minutes 15 secondes   (donnera  l’écriture :  3 h 18’  15’’ ; ce nombre appelé  nombre complexe )

 

Le système de numération utiliser est appelé : « Le système sexagésimal»  ( calcul en base « 60 »)

 

Rappels :

Un degré = 60 minutes = 3600 secondes ;

Une heure = 60 minutes = 3600 secondes ;

 

Et  dans tous les cas : une minute = 60 secondes

 

 

 

 

1°)  Conversion en secondes :

-       exemple  1  : 

soit un angle mesure   5° 35’ 28’’

Conversion des degrés en secondes

5° = 3600’’ 5 =       18 000’’

Conversion des minutes en secondes

35’ = 60’’ 35 =          2100’’

Nombres de secondes « seules »

                                       28’’

Total :                           5° 35’ 28’’ =                                  20 128’’

Conclusion : un angle mesure : 5° 35’ 28’’  mesure 20 128’’  ( secondes)

 

-       exemple  2  : 

soit la durée d’un parcours est de    5 h 35’ 28’’

Conversion des heures en secondes

5 h = 3600’’ 5 =       18 000’’

Conversion des minutes en secondes

35’ = 60’’ 35 =          2100’’

Nombres de secondes « seules »

                                       28’’

Total :                           5° 35’ 28’’ =                                  20 128’’

 

Conclusion : la durée du parcours est de : 5 h 35’ 28’’  ou de  20 128’’  ( secondes)

 

 

 

 

-       exemple  2  : 

soit la durée d’un parcours est de    5 h 35’ 28’’

Conversion des heures en secondes

5 h = 3600’’ 5 =       18 000’’

Conversion des minutes en secondes

35’ = 60’’ 35 =          2100’’

Nombres de secondes « seules »

                                       28’’

Total :                           5° 35’ 28’’ =                                  20 128’’

 

Conclusion : la durée du parcours est de : 5 h 35’ 28’’  ou de  20 128’’  ( secondes)

 

 

 

2°) Combien y a –t- il  de degrés , minutes , secondes dans  45 872 ’’ ?

 

 

 

 

 

Pré requis : la division euclidienne

Nombres de degrés

45 872 : 3600 = 12° et il reste 2672’’

Nombres de minutes

2672’’ : 6O =  44’ et il reste 32’’

Résultat : 45 872 ’’ = 12° 44’ 32’’

 

 

 

 

 

2°) Les opérations dans le système sexagésimal.

 

 

 

 

Exemples des 4 opérations .

 ( applicables aux :  « heure, minute seconde »  et « degré, minute ,seconde »

Résultat

 

( 32° 17’ 27’’ ) x 3

96° 51' 81''  : 96° 52' 21''

 

( 27° 17’ 20’’) : 3

61°  51' 60'' = 61° 52' 00''

 

42° 13’ 20’’ -  27° 12’’

15° 1' 20''

 

42° 13’ 10’’ + 25° 57’ 27 ‘’

67° 70' 37''  =  68° 10' 37''

 

 

 

 

ADDITION

 

 

Voir :explication graphique

 

 

Exemple : calculer la somme des angles A = 12° 52’ et B = 8°26’

 

 

 

 

 

Nous disposons l’opération comme s’il s’agissait de nombres entiers , puis nous additionnons séparément les unités de même nom ( minutes avec minutes ; degrés avec degrés) nous obtenons : 20° 78’

Or : 78’ = 1° 18’

Nous écrivons donc 18’ dans la colonne des minutes et nous reportons  1° dans celle des degrés .

D’où le résultat :  + = 21° 18’

12° 52’

   8°26’

20° 78’

  1° 18’

21° 18’

 

 

 

 

 

 

 

B)   Additionner  deux  expressions sexagésimales :               42° 13’ 10’’ + 25° 57’ 27

 

 

 

 

42° 13’ 10’’ + 25° 57’ 27

Procédure:

 

 

 

1)   Additionner  chaque groupe :

 Degré

Minutes

secondes

 

42+25

13+57

10+27

 

67°

70'

37''

2)convertir les secondes en minutes

 

37'' = 0' 37''

3) convertir les minutes en degré 

70' = 1° 10'

4) rajouter les degré aux degrés ; les minutes aux minutes ;….

67° +1° 10'+ 0' 37'' = 68° 10' 37''

5) rendre compte

42° 13’ 10’’ + 25° 57’ 27 = 68° 10' 37''

 

 

 

 

 

Multiplication:

 

 

Voir :explication graphique

 

 

 

 L’angle A mesure 17° 28’37’’ ;  calculer la mesure de l’angle B tel que :    = 3        

 

Nous avons  = 17° 28’37’’ 3

Nous disposons l’opération comme s’il s’agissait de nombres entiers , puis nous multiplions séparément par le multiplicateur « 3 » les unités de même nom.

Nous obtenons  51° 84’ 111’’ , soit , par conversions successives    51° 85’51’’ ;

Puis 52° 25’ 51’’

D’où le résultat  = 3 = 52° 25’ 51’’

17° 28’37’’ 

             3

51° 84’ 111’’

        1’   51’’

       85’

   1° 25’

 52° 25’   51’’

 

 

 

 

 

Multiplier  une expression sexagésimale par un nombre:                    3 ( 32° 17’ 27’’ )

 

 

 

 

 

3 ( 32° 17’ 27’’ )

Procédure:

 

 

 

1) Multiplier chaque groupe :par "3"

Degré

Minutes

secondes

 

32 fois 3 =

17 fois 3 =

27 fois 3 =

 

 

96°

51'

81''

2)convertir les secondes en minutes

 

81'' = 1' 21''

3) convertir les minutes en degré 

……..51'+1'21''

4) rajouter les degré aux degrés ; les minutes aux minutes ;….

  51' 81'' =   52' 21''

5) rendre compte

 

 

 

 

 

Division.

 

 

Voir :explication graphique

 

             

Exemple : on partage en 5 parties égales un angle A qui mesure 45°16’35’’. Calcul de la mesure de chacun des angles obtenus .

 

Nous pouvons effectuer l’opération 45°16’35’’ : 5

 

Disposons cette opération comme s’il s’agissait de nombres entiers , puis divisons séparément par le diviseur 5 les unités de même nom:

45° : 5 = 9°

16’ : 5 = 3’ ; il reste  1’ que nous transformons en secondes , soit 60’ , qui sont ajoutées à 35’ font 95’ .

95’ :5 = 19’’

d’on le résultat : = 9° 3’ 19’’

45°16’35’’              :    5

   0   1’                    9° 3’ 19’’

     60

             60’’

              95’’

              45’’

                0’’  

 

 

 

 

 

 

 

Diviser   une expression sexagésimale par un nombre:                 ( 33° 21’ 27’’ )  : 3

 

 

 

( 33° 21’ 27’’ )  : 3

Procédure:

 

 

 

1) diviser  chaque groupe :par "3"

Degré

Minutes

secondes

 

33 :  3 =

21: 3 =

27 : 3 =

 

 

11°

7'

9''

2)convertir les secondes en minutes

éventuellement.

 

3) convertir les minutes en degré  : éventuellement.

 

4) rajouter les degré aux degrés ; les minutes aux minutes ;…. éventuellement.

 

5) rendre compte

( 33° 21’ 27’’ )  : 3  = 11° 7' 9''

 

 

 

 

Soustraction:

 

 

Voir :explication graphique

 

 

Calculer la différence des angles  = 37° 46’ 25’’ = 17°54’15’’

 

 

 

Nous avons    :

 -  = 37° 46’ 25’’- 17°54’15’’

37° 46’ 25’’ = 17°54’15’’

nous disposons l’opération comme s’il s’agissait de nombres entiers , puis nous essayons de soustraire les unités de même nom

 

Nous pouvons soustraire 15’’ à 25’’ , mais nous ne pouvons soustraire 54’de  46’.Nous prélevons au  nombre supérieur(degré) 1° que nous transformons en 60’.

Le nombre  37° 46’ 25’’ devient 36° 106’  25’’ .

Nous avons    

 36° 106’  25’’- 17°   54’ 15’’= 19°  52’  10’’

d’où le résultat :   -  = 19°  52’  10’’

    37° 46’ 25’’

-         17° 54’15’’

------------ ------

Soustraction impossible

  

 

  

     36° 106’  25’’

-         17°   54’ 15’’

------------ ------

     19°  52’  10’’

 

 

 

 

 

 

 

 

Autres exercices résolus

 

 

sexa1

 

 

sexa2

 

 

sexa3

 

 

sexa4

 

 

sexa5

 

 

 

 

 

sexa6

 

 

 

 


 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

 

 

 

 

CONTROLE :

 

1.  recherche dans le dictionnaire : définition de système décimal ?

2.   

 EVALUATION

 

CONVERSIONS :

1°)  Conversion en secondes :

          5° 35’ 28’’

2°) Combien y a –t- il  de degrés , minutes , secondes dans  45 872 ’’ ?

 

Faire les calculs suivants ( poser les opérations ) :

 

)Calculer la somme des angles A = 12° 52’ et B = 8°26’

 )L’angle A mesure 17° 28’37’’ ;  calculer la mesure de l’angle B tel que :

  = 3        

 

)On partage en 5 parties égales un angle A qui mesure 45°16’35’’. Calcul de la mesure de chacun des angles obtenus .

 

4°) Calculer la différence des angles  = 37° 46’ 25’’ = 17°54’15’’

 

 

A l’aide de la calculatrice ,passer d’un système à l’autre :

 

Calculer et mettre le résultat sous forme sexagésimale :

 Série 1

 

42° 13’ 20’’ -   27° 12’’ =

 

42° 13’ 10’’ -  25° 57’ 27 ‘’ =

 

( 33° 21’ 27’’ )  : 3  =

 

42° 13’ 10’’ + 25° 57’ 27=

 

3 ( 32° 17’ 27’’ ) =

 

Calculer et mettre le résultat sous forme sexagésimale.

 

 

Série 2
Réponses

35°11’29’’+17°50’38’’=

 

17,35h – 5h 43min 17 sec  =

 

11h 5min 22 sec – 3 h 38 min =

 

3,475h  2,8 =

 

17° 37’ 45’’  5,3 =

 

12h44min : 8  =

 

36°19’56’’0,75 – 25,475° =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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