Pré requis:

 

NOMENCLATURE 

 

Le nombre relatif    

 

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

 

Index « warmaths »   

Objectif précédent :     La valeur absolue

 

1° ) liste des cours sur les nombres relatifs.

 

 

DOSSIER :

« VALEUR ABSOLUE »  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.     Rappels

 

 

2.    Valeur absolue d'une « somme ».          | a + b | £ | a | +|  b |    

 

 

3.     Valeur absolue d'une « différence ».     | a - b | ³ | a | -|  b |

 

 

4.    Etude de       ou  ( 

 

 

 

 

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

COURS

 

Rappels :

 

Les intervalles

Boule verte

Mesure d'un bipoint

Boule verte

Les "réels "

Boule verte

 

 

 

 

 

La valeur absolue d’un nombre relatif, c’est sa valeur arithmétique, donc sa valeur numérique privée de signe .

 = 5      ;             = 7   ;            = 

Une valeur absolue est essentiellement un nombre positif..

 

( écriture qui peut poser problème :  on rencontre souvent au collège et au lycée l’écriture de « 7 »  pour «  ( + 7 ) ;    pour   qui est  =    « 7 ».)

 

 

 

 

 

Dans l'expression "valeur absolue" , l'adjectif attribue à "valeur" un caractère absolue s'opposant à relatif. Il ne peut être question que de la valeur absolue d'un nombre que si ce nombre est relatif.

 

La valeur absolue n'a pas de signe !

 

Applications :

 

 :  lire la consigne : donner la valeur absolue de (+ 4,5) ;   la réponse à cette consigne est : 4,5

 

 :  lire la consigne : donner la valeur absolue de (-5,258) ;  la réponse à cette consigne est :5,258

 

 :  lire la consigne : donner la valeur absolue de (- 4,5) ;   la réponse à cette consigne est : 4,5

 

 :  lire la consigne : « donner la valeur absolue de (4,5) » ; la réponse à cette consigne est impossible à donner ,pour la raison suivante: le nombre : 4,5 n’est pas un nombre relatif.

 

 

Propriétés:

On dira : qu'une valeur absolue est toujours supérieur à "0"

| x |   = 0 si et seulement si  x = 0

la valeur absolue d'un nombre et celle de son opposé sont égales: | x |  =| -x |

 

 

 

| +9 |  =| -9 |   =   9

Si x  =  +7   ;     |  +7 |  =  7

 

| -3,12 |  =| +3,12  |  = 3,12

Si x  =  -7    ;     |  -7  |  =  7

 

 

Distance  entre deux nombres réels

 

La distance entre deux  nombres réels  est la différence entre le plus grand nombre et le plus petit nombre

(ne pas confondre avec la distance entre deux points ,dans un repère)

 

 

 

Soit deux nombres

opération

Distance entre les deux nombres

3 et 11

11 - 3 =

8

- 3 et - 11

(- 3) - ( -11) =

(+8)  =  8

-  3 et   5

5   - (  -3 ) =

8

 

 

Le signe  d'un nombre  représentant est une distance est "+"

La "Valeur absolue"  d'une somme   de deux nombres réels "a" et "b" se traduit de la façon suivante  :  | a + b |

 

Comparaison : de la valeur absolue d'une somme (1) et de la somme de deux valeurs absolues (2).

 

 

Série 1

(1)

 

(2).

|(-3) + (-11) |    =

|(-14) |=  14

|(-3) | + | (-11) |   =

3 +11= 14

| (+3) + (-11) | =

|(-8) |=  8

| (+3) | + | (-11) | =

3 +11= 14

| (+3) +(+11) | =

|(+14) |=  14

| (+3) |+ | (+11) | =

3 +11= 14

| (-3) + (+11) |  =

|(+8) |= 8

| (-3) | + | (+11) | =

3 +11= 14

Première conclusion   (1) £ (2).

Série  2

(1)

 

(2).

|(-11) + (-3) |    =

|(-14) |=  14

|(-11) | + | (-3) |  =

3 +11= 14

| (+11) + (-3) | =

|(+8) |=  8

| (+11) | + | (-3) | =

3 +11= 14

| (+11) + (+3) | =

|(+14) |=  14

| (+11) | + | (+3) | =

3 +11= 14

| (-11) + (+3) |  =

|(-8) |= 8

| (-11) | + | (+3) |  =

3 +11= 14

Deuxième  conclusion   (1) £ (2).

 

Conclusion 1:         | a + b | £ | a | +|  b |

 

 

 

La  "Valeur absolue" d'une différence  de deux nombres réels "a" et "b" se traduit de la façon suivante  :  | a - b |

 

Comparaison : de la valeur absolue d'une différence (1) et de la différence de deux valeurs absolues (2).

 

 

Série 1

(1)

 

(2).

|(-3) - (-11) |    =

|(+8) |=  8

|(-3) | - | (-11) |    =

3 -11= -8

| (+3) - (-11) | =

|(+14) |=  14

| (+3) | - | (-11) | =

3 -11= -8

| (+3) - (+11) | =

|(- 8) |=  8

| (+3) | - | (+11) | =

3 -11= -8

| (-3) - (+11) |  =

|(-14) |= 14

| (-3) | - | (+11) |  =

3 -11= -8

Première conclusion   (1) > (2).

Série  2

(1)

 

(2).

|(-11) - (-3) |    =

|(-8) |=  8

|(-11) | - | (-3) |  =

11 - 3 = 8

| (+11) - (-3) | =

|(+14) |=  14

| (+11) | - | (-3) | =

11 - 3 = 8

| (+11) - (+3) | =

|(- 8) |=  8

| (+11) | - | (+3) | =

11 - 3 = 8

| (-11) - (+3) |  =

|(-14) |= 14

| (-11) | - | (+3) |  =

11 - 3 = 8

Deuxième  conclusion   (1) ³ (2).

 

Conclusion 2 :        | a - b | ³ | a | -|  b |

 

On remarque que  3   : | a - b | £ | a | +|  b |

 

On retiendra que :

| a + b | £ | a | +|  b |

 

| a - b  | £ | a | +|  b |

 

 

La valeur absolue n'a pas de signe !

 

 

4°)   Etude de       ou  ( 

 

 

Ces deux problèmes posent en fait  deux questions identiques. 

 

 

 

  a deux expressions suivant la valeur envisagée de « x »

 

 

«  x + 1 »  si    «  x + 1  > 0   »   ou   «  x  > - 1    »

 

«  - x  - 1 »  si    «  x + 1  <  0   »   ou   «  x  <  - 1    »

 

 

 

La suppression correcte de     entraîne donc l’étude d’être inéquation. Ceci explique que la question sera reprise lors de l’étude des inéquations.

 

 

 

 

 

Exemple : Valeurs effectives de : E  = | 2 x – 5   |  +   | 3 – 4 x  |   suivants les valeurs de « x » :

 

 

 

| 2 x – 5   |

 2 x – 5    si   x >                 ( si = 3 :   6 - 5 =     1 )

 

5 – 2 x   si    x <                  ( si x = 2 :   5  -  4 = 1 )  

 

 

De même :

 

 

| 3 – 4 x |

3 –  4 x     si   x < 

 

4x  – 3    si    x >  

 

 

D’où  3 intervalles distincts :

 

 

 

 -    <  x  <    ;                       E 1 =  5 – 2 x + 3 – 4 x =  8 – 6 x

 

<  x  <;                                  E 2 =  4 x -  3 + 5   – 2  x = 2 x + 2

 

<  x  < +  ;                           E 3 =  2 x  – 5  + 4x  – 3 =  6 x  – 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS :

 

CONTROLE :

 

1° ) Traduire  en écriture mathématique :Valeur absolue d'une différence  de deux nombres réels "a" et "b" se traduit de la façon suivante  :

2 )Traduire en langage littéral : | a - b |

 

 

 

EVALUATION

 

I )  Calculer  la valeur absolue d'une somme (1) et la somme de deux valeurs absolues (2).

Série 1:(1)

    | a + b |

 

(2) | a | +|  b |

 

|(-3) + (-11) |    =

 

|(-3) | + | (-11) |   =

 

| (+3) + (-11) | =

 

| (+3) | + | (-11) | =

 

| (+3) +(+11) | =

 

| (+3) |+ | (+11) | =

 

| (-3) + (+11) |  =

 

| (-3) | + | (+11) | =

 

établir une relation d'ordre:

Série  2: (1)

  | a + b |

 

(2)

| a | +|  b |

 

|(-11) + (-3) |    =

 

|(-11) | + | (-3) |  =

 

| (+11) + (-3) | =

 

| (+11) | + | (-3) | =

 

| (+11) + (+3) | =

 

| (+11) | + | (+3) | =

 

| (-11) + (+3) |  =

 

| (-11) | + | (+3) |  =

 

:établir une relation d'ordre  avec  | a + b | et | a | +|  b |

 

 

 

II ) Calculer la valeur absolue d'une différence (1) et  la différence de deux valeurs absolues (2).

Série 1 

: | a - b |

(1)

| a | -|  b |

(2).

|(-3) - (-11) |    =

 

|(-3) | - | (-11) |    =

 

| (+3) - (-11) |  =

 

| (+3) | - | (-11) | =

 

| (+3) - (+11) | =

 

| (+3) | - | (+11) | =

 

| (-3) - (+11) |  =

 

| (-3) | - | (+11) |  =

 

Conclure par une relation d'ordre :

 

 

Série  2

 

| a - b |

(1)

| a | -|  b |

(2).

 

|(-11) - (-3) |    =

 

|(-11) | - | (-3) |  =

 

| (+11) - (-3) | =

 

| (+11) | - | (-3) | =

 

| (+11) - (+3) | =

 

| (+11) | - | (+3) | =

 

| (-11) - (+3) |  =

 

| (-11) | - | (+3) |  =

 

Conclure par une relation d'ordre :

 

 Etablir  une relation d'ordre satisfaisant au deux cas :

 

 

III ) Conclure  avec une relation d'ordre:

 

Mettre le signe qui convient : < ; > ; ³  ; £

 

| a + b |

 

| a | +|  b |

| a - b  |

 

| a | +|  b |

 

 

 

sp;