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Les intervalles en arithmétique

 

Les Segments « bornés »

3D Diamond

Les nombres relatifs (ordre)

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ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

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1°) Division de segments Sphère metallique

2°) les segments……

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DOSSIER : LES INTERVALLES

-  Représentation graphique et ses limites ( bornes)

TEST

           FilesOfficeverte

COURS

                FilesOfficeverte

Devoir  Contrôle FilesOfficeverte

Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

                        Filescrosoft Officeverte

 

Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

Info : Ce cours sur les intervalles sera utilisé dans les cours sur les inégalités et la résolution des inéquations , pour rendre compte des solutions de l’inéquation. Et en statistique pour représenter les « classes » de  nombres.

 


COURS :

 

Définition : On appelle « intervalle » entre deux points la distance qui existe entre deux points.

Un intervalle est matérialisé par un segment de droite borné.

Les bornes peuvent ou pas appartenir  à l’intervalle.

 

Nom

représentation graphique

Notation

B

 

A

 
intervalle fermé :

 il contient les points qui le  borne

 

 

 

A

 
                                                   

 

 

          [A B]

B

 
Intervalle  ouvert :

 Il ne contient pas les points

 qui le   borne

 

 

 

 

 

          ] A B [

B

 

A

 
Autres cas :Segment semi ouvert :il contient un des points qui le borne.

 

 

Soit celui de droite :

« B » inclut ; « A » exclut

il exclut la borne de gauche.                     

On dit :

« ouvert » en A, «  fermé » en B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           ]A B ]

 

 

         

 

A

 

B

 
Autre cas :

Segment semi ouvert :

 

il contient un des points qui le borne.

 « B » exclut ; « A » inclut

il inclut celui de gauche on dit « fermé» en A ,  «  fermé » en B)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          [A B [

 

 

 

 

 

 

Précisions sur la notation des intervalles de nombres :

 

 

intervalles

Lire :

 

[ 2 ; 5 ] 

:intervalle 2 ; 5 fermé

 

[ 2 ; 5 [

:intervalle 2  fermé ; 5 ouvert

 

] 2 ; 5 [

:intervalle 2 ; 5 ouvert

 

] - ¥ ; 2 ]

Intervalle ouvert (vers l’infini des nombres infiniment petits) ; 2 fermé

 

] - ¥ ; 2 [

Intervalle ouvert (vers l’infini des nombres infiniment petits) ; 2 ouvert

 

[ 2 ; + ¥ [

Intervalle 2 fermé ; vers l’infini des nombres infiniment grand

 

] 2 ; + ¥ [

Intervalle 2 ouvert  ; vers l’infini des nombres infiniment grand

 

 

 

Intervalles et droite graduée :

Sur une droite graduée (munie d’un repère (O, I) , on peut définir pour tout couple de points A et B , d’abscisses respectives « a » et « b ».plusieurs formes d’intervalle .

 On désigne par « x » tous les nombres appartenant à l’intervalle et par « a » et « b »  les bornes (ou limites)

On  utilisera la  notation suivante :

 

Un intervalle fermé noté :    

                      [A B]

Notation :   a…£ x £ …b…

Exemple :

 

Un intervalle ouvert noté :

                      ] A B [

Notation :   a…< x < …b…

Exemple :

Un intervalle fermé  à gauche  , ouvert à droite   , noté :        [A B[

Notation :   .a…£ x <…b…

Exemple :

Un intervalle ouvert à gauche  , fermé à droite   , noté :     ]A B]

 

Notation :   a ..< x £ …b…

Exemple :

 

Exemples  sur la notation des intervalles de nombres :

 

 

intervalles

Lire :

Traduire :

[ 2 ; 5 ] 

:intervalle 2 ; 5 fermé, ce sont tous les nombres « x » tels que

 2 £  x £ 5

[ 2 ; 5 [

:intervalle 2  fermé ; 5 ouvert, ce sont tous les nombres « x » tels que

2 £  x <  5

] 2 ; 5 [

:intervalle 2 ; 5 ouvert, ce sont tous les nombres « x » tels que

 2 <  x < 5

] - ¥ ; 2 ]

Ce sont tous les nombres « x » tels que

   x £ 2

] - ¥ ; 2 [

Ce sont tous les nombres « x » tels que

   x  < 2

[ 2 ; + ¥ [

Ce sont tous les nombres « x » tels que

 x  ³ 2

] 2 ; + ¥ [

Ce sont tous les nombres « x » tels que

  x  > 2

 

Application : en algèbre ;  pour représenter graphiquement des valeurs de « x » ; solutions des inéquations du premier degré à une inconnue et en relation avec les relations d’ordre.

exemples :

            

 

 

 

 

INTERVALLE FERME

 

Représenter  graphiquement       +4 £    x  £   +15 ; ( lire : « x » est compris entre les valeurs + 4 inclus et +15 inclus )

 

 

  [A B]   ...on notera ...... [+4 ; +15]....devient ..... +4 £    x  £   +15 .

Rectangle: Intervalle fermé
 

 


................................................

I

 
on dessinera :                                                    [                                                    ]

+4

 

+15

 
O
 
 

 

 

Commentaire : tous les valeurs comprises entre  +4 et + 15  incluses   appartiennent à l’intervalle On le notera : +4 £    x  £   +15 

 

 

INTERVALLE OUVERT

 

 

      ] A B [  .................... Notation :   +4 < x < +15

Rectangle: Intervalle ouvert..

                          

................................................

I

 
on dessinera :                                                   ]                                                     [

+4

 

+15

 
O
 
 

 

        

Commentaire : tous les valeurs comprises entre  +4 et + 15  exclues    appartiennent à l’intervalle. On le notera       +4 < x < +15

                                                                           

 

INTERVALLE OUVERT à gauche , fermé à droite

   

 

]A B]    ............................ Notation :   …a ..< x £ …b…

    

................................................

I

 
on dessinera :                                                   ]                                                      ]

+4

 

+15

 
O
 
 

 

  

Commentaire : tous les valeurs comprises entre  +4  exclue et + 15  incluse    appartiennent à l’intervalle : On le notera  +4 < x £ + 15

            

 

INTERVALLE OUVERT à droite , fermé à gauche

 

     [A B[    ........................ Notation :   .a…£ x <…b…

 

 

 

I

 
on dessinera :                                                   [                                                     [

+15

 

+4

 
O
 
 

 

 

Commentaire : tous les valeurs comprises entre  +4 incluse et + 15  exclue    appartiennent à l’intervalle :   on le  notera       +4 £  x  < +15

 

 

Les « Intervalles » et « fonction » (@ info)

 

On appelle « intervalle entre le nombre « a » et le nombre « b » » ; que l’on note «  » ;   ( « a » et « b » étant des nombres quelconques)   tels que  «  a < b » , l’ensemble de tous les nombres compris entre  le nombre « a » et  le nombre « b ». 


CONTROLE :

 

1°) Qu’est qu’un  intervalle ?

 

2° )Que signifie les écritures suivantes :

Que désigne les écritures ci dessous ?

 Montrer une autre forme de  notation utilisant « x » ; « a » et  « b »

     [A B]

 

     ] A B [

 

      [A B[

 

      ]A B ]

 

 

 

EVALUATION

 

A partir des tracés ci dessous :     NOMMER chaque intervalle  et  donner sa notation  sous la forme  d’un encadrement         : 

 

INTERVALLE 1 :

 

 

I

 
  .                                                                                [                                                    ]

+4

 

+15

 
O
 
 

 

 

INTERVALLE 2: 

                          

I

 
                                                                             ]                                                     [

+4

 

+15

 
O
 
 

 

                                                                               

 

 

INTERVALLE 3:

   

 

I

 
                                                                            ]                                                     ]

+4

 

+15

 
O
 
 

 

 INTERVALLE 4:

 

 

I

 
                                                                             [                                                     [

+15

 

+4

 
O
 
 

 

 

2°) Faire une représentation graphique :

 

+  4 £    x  £   +15 

 

 

+  4 £  x  < +15

 

 

+  4 < x < +15

 

 

+  4 < x £ + 15

 

 

 

 

3°)  TRADUIRE en langage littéral : faire la représentation de chaque cas :

 

[  0 ; 4 [    tels que      0  £  xi  < 4

[ 4 ; 8  [    tels que       4  £  xi  <  8

[  8 ; 12 [   tels que       8  £  xi  <  12

[  12  ; 16 [  tels que    12  £  xi  <  16

[  16  ; 20 ]  tels que   16  £  xi  £  20

 

4°) Compléter :

intervalles

Lire :

Traduire :

[ 2 ; 5 ]

 

 

[ 2 ; 5 [

 

 

] 2 ; 5 [

 

 

] - ¥ ; 2 ]

 

 

] - ¥ ; 2 [

 

 

[ 2 ; + ¥ [

 

 

] 2 ; + ¥ [

 

 

 

 

INTERDISCIPLINARITE

 

(voir statistique : les classes )

 

et l’étude de fonction dans sa représentation graphique .

 

 

 

 

 

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