Pré requis:

LES  EGALITES

 

Calcul numérique : nomenclature.

 

« algèbre » : les conventions d’écriture.

 

Lecture :  Inégalité ou inéquation

Boule verte

Les relations d’ordre(symboles )

3D Diamond

Les intervalles

3D Diamond

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index         Boule verte

Objectif précédent :

1°) Notions sur les opérations

2°) Encadrement dans N

3°) Encadrement dans D

4°) Encadrement dans D relatif

5°) Encadrement des fractions

6°) les irrationnels (racine carrée ; racine cubique)

Objectif suivant :

1°) les inégalités algébriques

2°) les inégalités triangulaires

3°) demi droites et inégalités

3° : Algèbre :  les inéquations du premier degré

4°)    Démonstration des théorèmes.

5°) Les relations d’ordre des nombres relatifs.

tableau    Sphère metallique

  1. Info : liste des cours d’algèbre
  2. Résumé : algèbre.
  3. Liste des cours sur les inégalités et inéquations.
  4. Liste des cours sur les systèmes.

 

DOSSIER Calcul Numérique:

LES « INEGALITES » N°1 :   Définition ; propriétés ; les théorèmes

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Cours n°1 : Les inégalités ; la double inégalité.

 

 

Cours n°2 : Les inégalités algébriques .

 

 

·       Définition.

 

 

·       Propriétés.

 

 

·       Théorèmes sur les inégalités .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Travaux auto formatifs.

 

 

 

 

TEST

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COURS

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Devoir évaluation FilesOfficeverte

Interdisciplinarité

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Corrigé Contrôle  FilesOfficeverte

Corrigé évaluation  FilesOfficeverte

 

 

COURS N°1

 

 

 

Les INEGALITES.

Info ++ voir Fiche 4 +

 

Nous avons déjà rencontré des « inégalités » à l’école élémentaire ; par exemple :

  3 <  7    ( qu’il faut lire :  3 est inférieur à 7) ; on dit aussi : «  3 est plus petit que 7 »

ou 

  9 >  4    ( qu’il faut lire :  9 est supérieur à 4 )  ; on dit aussi : «  9  est plus petit que 4 »

 

En voici d’autres :

 

   

on lit : le nombre « x » est inférieur ou égal à 9

on lit : le nombre « y » est supérieur  ou égal à 3

 

 

Ce sont des phrases mathématiques , dont le verbe est représenté par un des quatre signes :   :   < ; > ;   ou 

 

On retiendra :

 

 

 « a » et « b » représentent des nombres

 

 

 

La phrase mathématique  :

Se lit en écriture littérale

 

 

 

 

«    a > b     »

«  a »   est  strictement supérieur à « b »

 

 

 

«    a <      »

«  a »   est  strictement inférieur à « b »

 

 

«    a      »

«  a »   est  supérieur ou égal à « b »  et signifie :  «    a > b     »  ou   «    a =      »

 

 

«    a       »

«  a »   est  inférieur ou égal à « b » et signifie :  «    a  <      »  ou    «    a =      »

 

 

 

 

 

Remarque 1 :    « x »  et   « y »    représente des nombres ;    « x  >   y »  a la même signification  que   «  y <  x »

 

 

Remarque 2 :   Comme pour les égalités, dans toute égalité, on parle de :

« membre de gauche » et   « membre de droite ; ou de « premier membre » et « deuxième membre ».

 

 

 

 

 

Exercice : Compléter en utilisant convenablement   >  ou   < .

 

 

 

 

 

14 ……………7      ;         27 ……………………34 ;       126 …………18 ;     248  ………………. 5462

 

 

 

 

 

Vocabulaire :

 

 

-        9 > 5 et 13 > 7   sont des inégalités de même sens .

 

-        Il en est de même pour 5 < 7   et  8 < 11  ou     ou     x  y    et    m 6

 

-        9 > 5 et    5 < 7  sont des inégalités de sens contraire.

 

 

Exercices :

Ecrire des inégalités de même sens : ……………………………………………………………………………….

 Ecrire des inégalités de sens  contraire : ……………………………………………………………………………

 

 

 

 

DOUBLE INEGALITE.

Info plus.

 

Considérons les deux inégalités de même sens :   7 <  13   et 13 <  39

 

 

Dans la suite naturelle des nombres entiers naturels, « 7 » est placé avant « 13 » , et « 13 » est placé avant « 39 »., on a donc  « 7 » est placé avant « 39 »

On condense ces 3 inégalités par une double inégalité :    7 <  13   <  39     ; les nombres « 7 ;  13 ; 39  »  sont alors rangés dans l’ordre croissant.

 

·       On peut faire de même avec plusieurs inégalités de même sens :

   7 <  13   ;  13 <  39 ;  39 <  67 , on écrit alors :   7 <  13   <  39   < 67             

·       On peut faire de même avec les     :   > ;   ou 

 

 

 

Attention :  Dans le cas   4  < 13   et  13  > 11  , on ne peut pas écrire      4  < 13  > 11 par ce que les nombres ne sont ni rangés par ordre croissant ni dans l’ordre décroissant.

 

 

Exercice : on vous donne des phrases mathématiques , barrer celles qui sont fausses ou incorrectes :

 

 

33 > 15 < 17

15    17 > 8

27 < 54 > 16

27  27 59

 

115795

43 79  43

16 <  13 < 19

23 < 47 < 47

 

 

 

 

Exercice 1 :

 

 

En utilisant le signe <   ; ranger dans l’ordre croissant les nombres suivants :

13 ; 43 ; 8 ; 132 ; 27 ;55 ;2 ; 139

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

 

 

Exercice 2 : Ranger dans l’ordre décroissant les nombres suivants en utilisant le symbole convenable.:

15 ; 43 ; 9 ; 133 ; 27 ;65 ; 2 ; 169

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

 

 

 

 

 

 

 

 

 

COURS N°2

 

RAPPELS :             Un nombre algébrique   « a » est plus grand qu’un nombre algébrique « b » , lorsque la différence  ( a – b ) est positive.

Se rappeler :

 

Exemple :

soit deux nombres :                  « a » = + 4    et    « b » = -5

 

La différence de ces deux nombres est :    (+4) – (-5) = +9                   SOS cours

On écrira que le nombre ( + 4 )  est plus grand que ( - 5)

Se rappeler :

Comparaison de deux nombres relatifs

Pré Requis :SOS Cours Boule verte

Un nombre négatif est inférieur à un nombre positif !

 

 

 

1°)  Définition :

·       On sait qu’une quantité « a » est dite « plus grande » ou « plus petite » qu’une quantité « b » , selon que la différence algébrique «  a – b » est « positive » ou « négative » . 

·       Toute quantité positive est dite « plus grande que zéro »  et toute quantité négative est  dite « plus petite que zéro » ;

·       L’inégalité «  a > b » peut donc s’écrire sous chacune des formes équivalentes suivantes : «  a – b > 0 » ; «  a= b + k² » ; «  a – b = k² » ; «  b < a » ; «  b – a < 0 » ; «  b = a – k² ».

 

On dit qu’un nombre « a »est supérieur à un nombre « b » si pour obtenir « a » il faut ajouter à « b » un nombre « positif » ou , ce qui revient au même, si la différence « a - b » est un nombre positif.

 

 

               On appelle aussi  « inégalité » une formule par laquelle on exprime que de deux quantités ,l’une est supérieure à l’autre , ainsi , si l’on veut exprimer que « 4 » est  « supérieur »  à    « 3 » , ou  « 4 » est « plus grand »  que   « 3 » , on écrit :  4 > 3

 

             Que l’on énonce « 4 » supérieur à « 3 » .

 

             On peut écrire aussi :    3 <  4 que l ‘on énonce « 3 inférieur à 4 ».

 

       Ces deux inégalités sont dites de « sens différents ».

On voit que l’on peut permuter les deux membres d’une égalité à condition d’en changer le sens.

 

Grâces aux remarques présentées  plus haut , nous pouvons écrire les égalités suivantes :

 

Les inégalités suivantes sont vraies 

Parce que :

Le plus grand moins le plus petit  le résultat est positif

- 4 < -3

 

-2 > -7

 

-2 < 0

 

-5 < 1

 

 

Calcul numérique : nomenclature.

 

 

 

2°)  Propriétés :

 

1°) Tout nombre positif est plus grand que zéro.

2°) Tout nombre négatif est plus petit que zéro.

3°) Tout nombre positif est plus grand que tout nombre négatif.

4°) De deux nombres positifs le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue.

5°) De deux nombres négatifs le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.

 

 

 

3  °)  Théorèmes sur les inégalités : 

 

Théorème  I :

On peut ajouter ou retrancher une même expression aux deux membres d’une inéquation.

On ne modifie pas le sens d’une inégalité en ajoutant ou retranchant un même nombre à ses deux membres.

 

Exemple 1 :, l’on a :  -4 < -3

L’on a aussi

 

- 4  + 12< -3 + 12

 

 

- 4 –15 < -3 – 15

 

C’est à dire :

 

8 < 9

 

 

- 19  < -18

 

D’une manière générale, si l’on a :

Hypothèse  .

a    >     b

 

Conclusions :

Conclusion 1

a + c > b + c

 

Conclusion 1

a - c > b - c

 

 

« c » désignant un nombre quelconque.

 

En effet ,par définition , l’inégalité : a > b  , signifie que la différence « a » - « b »  est positive , ce que l’on écrit  a -b  > 0

 

Or le calcul  algébrique nous a appris que l’on a :

 

a + c-(b + c) = a- b

 

 

       Donc  si ( a- b ) est positif , il en est de même  de  a  + c – ( b + c ) c’est à dire que l’on a : a +c – ( b + c ) > 0

 

Ce qui revient à écrire :

a + c >  b + c

 

La démonstration se ferait d’une façon analogue pour le cas de la soustraction.

 

Soit l’équation   5 x  + 12 > 4 - 3x      (1)

 

Nous en déduisons, en ajoutant 3x + 12  aux deux membres :

5x +12 +3x - 12 > 4 - 3x  + 3 x - 12

soit                 5 x + 3x   >    4 - 12

 

1° Application. - Dans l’exemple précédent , les termes - 3x et + 12  de l’inéquation (1) sont devenus +3x et - 12 dans l’inéquation (2) ; de plus ils ont changé de membre. Donc :

 

            Dans une inéquation, on peut faire passer un terme d’un membre  à l’autre , à condition de changer le signe qui le précède.

 

2°)  Degré d’une inéquation entière :

Si les deux membres d’une inéquation sont des polynômes, on dit que l’inéquation est entière.

 

En faisant passer tous les termes dans le premier membre, l’autre se réduit à zéro. Le degré, par rapport à l’ensemble des ses lettres inconnues, du polynômes ainsi obtenu dans le 1er membre est le degré de l’inéquation.

Ainsi :   5 x - 3 > 0             est du premier degré.

              3 x² - 5x - 1 < 0    est du second degré.

               x  3  - x > 0          est du troisième degré.

 

 

 

 

Théorème II :

 

1°) Etant donnée une inégalité, on obtient une inégalité de même sens en multipliant ses deux membres par un même nombre « POSITIF »

 

    -   On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre  positif en conservant le sens de cette inéquation.

         Ainsi :   On ne modifie pas le sens d’une inégalité en multipliant  ou divisant les deux membres par un même nombre positif.

 

2°)  Si on multiplie par un nombre « NEGATIF » on doit CHANGER LE SENS de l’inégalité.

 

      -  On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inéquation par un même nombre  négatif , à condition de changer le sens de cette équation.

Ainsi : On modifie  ce sens en multipliant ou divisant  les deux membres par un même nombre négatif.

 

EXEMPLES :

 

Par exemple :          On  a    2 < 4

 

En multipliant les deux membres par « 3 » , on obtient :  6 < 12

 

Et en les divisant par 8 , on obtient   :           

 

On obtient  des inégalités  de même sens que l’inégalité proposée .

 

Au contraire , en multipliant les deux membres de l’inégalité primitive  2  <   4 ;  par –2 ,    on obtient le résultat   :          - 4  <  - 8 

  

et en divisant 2 < 4    par – 2   on obtient  :     -1  <   -2

 

Pour démontrer ce théorème 2 , il suffit d’observer que le produit d’un nombre par un nombre positif  est du même signe que le multiplicande , tandis que le produit d’un nombre négatif , est de signe  contraire à celui du multiplicande , si donc on a :

 

 

a <   b

 

C’est à dire

a  -  b   > 0

 

Si « c » est positif , on a aussi

( a – b ) c > 0

 

C’est à dire

ac-  b c  >  0

 

Ou bien

ac> b c

 

Si « c » est négatif   , on a

 

 

( a – b) c < 0

 

 

ac  - b c  < 0

 

 

ac< b c

La démonstration est la même dans le cas de la division .

 

 

 

Résumé du théorème II :

 

Hypothèse : .

     a     >       b

 

Conclusions :

     am   >  bm

    a  m  <  b m 

 Si  m >  0

Si   m <  0


Autre  application :On veut « réduire cette inéquation » en vu d’une « résolution »

1°)    De L’inéquation : 

 

On en déduit,  en multipliant les deux membres   par « 12 » , l’inéquation suivante :

               3 ( 2x+5)  -   2   (x-3)  <   4 ( x+ 1)                 (2)

 

remarque :  (1) et (2) sont de même sens ( même signe < )

 

2°)  De l’équation                    (1)

 

on déduit, en multipliant les deux membres par -2 , l’inéquation suivante :

                           3x +1 <  - 2 ( x + 7)              (2)

 

remarque :   (1) et (2) sont de sens contraires ( > et < ) :

 

 

Applications

 

1°) on peut supprimer les dénominateurs d’une inéquation en multipliant ses termes par un multiple commun positif des dénominateurs.

 C’est en effet ce que montre le premier exemple précédent.

 

2°) On peut simplifier une inéquation en divisant ses termes par un même nombre positif.

 

Soit          5x - 35 > 20

En divisant les deux membres par +5 , nous obtenons : x - 7 > 4

 

3°) On peut changer les signes des deux membres d’une inéquation à condition d’en changer le sens . 

 

cela revient à multiplier les deux membres de l’inéquation  par  « -1 »

 

ainsi : - 3 x < 21    Û   à  3 x > -21

 

de même : on peut changer les deux membres d’une inéquation à condition d’ en changer le sens.

 

 


Théorème 3

En élevant les deux membres d’une inégalité au carré on obtient une inégalité « DE MEME SENS si les deux membres sont « positifs »   et une inégalité DE SENS CONTRAIRE s’ils sont « négatifs ».

On ne modifie pas le sens d’une inégalité en élevant  au carré les deux membres dans le cas où ils sont positif tous les deux :

 

Par exemple :

3 < 8

 

En élevant les deux membres au carré on obtient :

 

3 2 = 9   ;    8  2  = 64

9 < 64

 

 

Remarque :1

Si les deux membres  sont négatifs , l’élévation au carré change  le sens de l’inégalité

Soit

      -5 < -3

 

On obtient  en élevant au carré :    25 < 9  ce qui n’est pas vraie donc on change le sens de la relation d’ordre : 25 > 9

 

Remarque 2

Dans le cas où les deux membres sont de signes différents , aucune règle ne peut prévoir si le sens devra être maintenu.

Ainsi

 

-2  <  3

 

Donnera

4  <  9

 

 

Tandis que l’inégalité :

 

-5  <   2

 

Donnera

25     >     4

 

 

Dans le premier exemple, le sens de l’inégalité est resté le même, dans le second cas , le sens  a changé.

 

 

Hypothèse

a   >  b

 

Conclusions :

     > b²   si « a » et « b »  positifs.

    < b²   si « a » et « b » négatifs

 

 

Théorème 4

Etant données plusieurs inégalités de même sens on obtient une inégalité de même sens que chacune d’elles en les ajoutant membre à membre.

Hypothèse

a   >  b ;  a’ > b’ ; a’’> b’’ ; …….

 

Conclusions :

   a+a’+a’’+ …..  >  b + b’ + b’’+…..

 

 

 

APPLICATIONS .

Pré requis de difficultés abordées  en calcul numérique:

1°) Classement des nombres relatifs Sphère metallique

2°) Notions sur les opérations

3°) Encadrement dans N

4°) Encadrement dans D

5°) Encadrement dans D relatif

6°) Encadrement des fractions

7° ) Les irrationnels

 

Les théorèmes précédents sont utilisés notamment pour comparer deux nombres , c’est à dire pour voir quel est le plus grand, lorsque cette comparaison n’est pas immédiate.

 

En  particulier, on les emploiera pour comparer deux expressions numériques « irrationnelles ». Ils permettront de faire cette comparaison sans qu’il soit nécessaire (@ )d’extraire de racine carrée.

 

 

Ainsi soit à comparer les deux nombres :

                     3 +     et     4 +

 

 

   est compris entre  3 et 4     et      entre 2 et 3 .

Les deux nombres  donnés sont donc tous deux compris entre 6 et 7 et on ne voit pas immédiatement quel est le plus grand.

 

 

Pour cela regardons si on a :               3 +     <     4 +

Pour cela il suffit de voir si on a :                <     1 +     ( Application sur théorème 1)

 

C’est à dire , puisque les deux membres sont positifs, si :

 

() ²     <     ( 1 +

( Application sur théorème 3)

 

13    <   8 + 2 

( Application développement de (a+b)²

 

5 <  2 

( Application sur théorème 1)

 

25 < 28

( Application sur théorème 3)

 

 

Cette inégalité est bien vraie. Donc                      3 +     <     4 +

 

 

 

 

 

 

 

 

TRAVAUX AUTO FORMATIFS.

 

CONTROLE :

 

1°) Quand dit – on qu’un  nombre algébrique « a » est plus grand qu’un nombre algébrique « b » ?

2°) Citer les 4 théorèmes relatifs aux inégalités.

 

EVALUATION

 

Les inégalités suivantes sont – elles vraies ? 

1°) Prouvez par un calcul : et ensuite 2°) le montrer à partir d’une droite graduée.

- 4 < -3

 

-2 > -7

 

-2 < 0

 

-5 < 1

 

 

Comparer les deux nombres :

                     3 +     et     4 +

 


 

CONTROLE :corrigé

1°) Quand dit – on qu’un  nombre algébrique « a » est plus grand qu’un nombre algébrique « b » ?

Un nombre algébrique « a » est plus grand qu’un nombre algébrique « b » , lorsque la différence  ( a – b ) ) est positive

2°) Citer les 3 théorèmes relatifs aux inégalités /

Théorème 1

 

On ne modifie pas le sens d’une inégalité en ajoutant ou retranchant un même nombre à ses deux membres.

 

 

Théorème 2 .

A )  On ne modifie pas le sens d’une inégalité en multipliant  ou divisant les deux membres par un même nombre positif.

B ) On modifie  ce sens en multipliant ou divisant  les deux membres par un même nombre négatif.

 

Théorème 3

On ne modifie pas le sens d’une inégalité en élevant  au carré les deux membres dans le cas où ils sont positif tous les deux .

Remarque :1

Si les deux membres  sont négatifs , l’élévation au carré change  le sens de l’inégalité

Remarque 2

Dans le cas où les deux membres sont de signes différents , aucune règle ne peut prévoir si le sens devra être maintenu

INTERDISCIPLINARITE

 

 

 

 

 

 

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