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LES  EGALITES

 

Lecture :  Inégalité ou inéquation

Boule verte

Les relations d’ordre(symboles )

3D Diamond

Les intervalles

3D Diamond

Régionnement et inégalité des distances (5ème)

 

ENVIRONNEMENT du dossier:

Index  warmaths

Objectif précédent   Sphère metallique

1°) Notions sur les opérations

2°) Encadrement dans N

3°) Encadrement dans D

4°) Encadrement dans D relatif

5°) Encadrement des fractions

Objectif suivant Sphère metallique

2°) les inégalités triangulaires

3°) demi droites et inégalités

3° : Niveau +++  :  les inéquations du premier degré

tableau    Sphère metallique

  1. Info : liste des cours d’algèbre
  2. Résumé : algèbre.
  3. Liste des cours sur les inégalités et inéquations.
  4. Liste des cours sur les systèmes.

 

LES « INEQUATIONS » ( niveau 4 et 3 ):

- Définitions et

 - Les théorèmes et corollaires (démonstrations)

 

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Interdisciplinarité

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COURS

 

INEQUATIONS ( définitions)

 

 

Inéquation :

On appelle « INEQUATION » une inégalité qui n’a lieu que pour certaines valeurs attribuées à une ou plusieurs lettres appelées « inconnues ».

 

Exemples :

5x + 7 > 6x +13

Est une inéquation à une inconnue.

2x +5y -3 < 4x -3y +2

Est une inéquation à deux inconnues.

 

Toute inéquation est de la forme :   A > B ou      A < B 

« A » est le premier membre de l’inéquation et « B » le second membre.

On appelle « solution » de l’inéquation tout ensemble de nombres qui, mis à la place des  inconnues, satisfait à l’inéquation.

 

 

Résoudre une inéquation, : résoudre une inéquation c’est  trouver ses solutions.

 

Inéquations équivalentes :  On dit que deux inéquations sont équivalentes lorsqu’elles admettent les mêmes solutions.

 

Méthode de résolution d’une inéquation :

Pour résoudre une inéquation, on la transforme  en « inéquations équivalentes » jusqu’à ce qu’on obtienne une inéquation dont la résolution est immédiate. Pour cela on utilise certains théorèmes  qu’il faut démontrer.

 

THEOREMES :

 

THEOREME I :

 

Soit l’inéquation        A > B    et l’inéquation   (2)    A + C > B + C obtenue en ajoutant une même expression algébrique « C » aux deux membres de l’inéquation(1).

 

1°) Soit x = a une solution de l’inéquation (1). Dire que a est solution de l’inéquation (1) c’est dire que les valeurs A’ et B’ que prennent  A et B  lorsqu’on remplace « x » par « a » sont telles que A’  >  B’

 

Pour  « x = a », C prend une valeur C’. Puisque A’> B’ on a   A ’ + C’ > B’ + C’

 

Or A’ + C’ et   B’ + C’ sont les valeurs que prennent les deux membres de l’inéquation (2) lorsqu’on remplace « x » par « a ». L’inégalité précédente prouve que « a » est solution de l’inéquation  (2).

2°) On démontrera de la même façon que toute solution de l’inéquation (2) est solution de l’inéquation(1) (qu’on peut considérer comme déduite de (2) en ajoutant aux deux membres la même expression « -C »

 

Donc les inéquations (1) et (2) sont équivalentes, c’est à dire :

 

Théorème : On obtient une inéquation équivalente à une  inéquation donnée en ajoutant à ses deux membres une même expression algébrique.

 

 

Remarque 1 : la démonstration précédente suppose qu’on peut calculer la valeur C’ et C pour « x = a » .En particulier, il en sera toujours ainsi si « C » est un polynôme.

 

Remarque 2 : Nous avons fait la démonstration précédente en supposant qu’il s’agissait d’inéquation à une inconnue. On raisonnerait de la même façon pour une inéquation à plusieurs inconnues et on serait conduit au même résultat. 

 

COROLLAIRE :    Soit l’équation :

(1)                                             2 x + 8  < 9x - 7

 

Ajoutons aux deux membres l’expression « -2x ».On obtient l’inéquation équivalente :

 

    (2)                             8 <   9x - 7 - 2x

C’est deux inéquations ne diffèrent que par le terme « 2x » qui , dans l’équation (1) est dans le premier membre précédé du signe « + » et dans l’inéquation (2) dans le second membre précédé du signe     « - » . Donc :

(à savoir)

On obtient une inéquation équivalente à une inéquation donnée en faisant passer un terme d’un membre dans l’autre et en changeant son signe. 

 

 

THEOREME II .

 

Soit l’inéquation     (1)     A > B

Et l’inéquation    (2)  m A > m B obtenue en multipliant les deux membres de l’inéquation (1) par un  même nombre « m ».

 

Ces deux  inéquations sont respectivement équivalentes à :

                         ( 3)   A - B > 0

                     et            m A - m B > 0

 

c’est à dire   (4)             m ( A - B) > 0

 

  1°)  Toute solution de (3) donne  à A - B une valeur positive. Elle sera donc solution de (4) si « m » est positive.

 

2°) Réciproquement, toute solution de l’inéquation (4) donne au produit m(A-B) une valeur positive.

 

Si « m » est positif elle rend  A - B positif et est donc solution de l’inéquation (3)

Par suite , si m > 0 les inéquations  (1) et (2) sont équivalentes.

On démontrera de même que si « m » est négatif, l’inéquation (1) est équivalente à :

                                    m A < mB

 

 

D’autre part , comme on passe de l’inéquation (2) à l’inéquation (1) en divisant les deux membres par « m », on est conduit à l’énoncé suivant :

 

Théorème . On obtient une inéquation équivalente à une inéquation donnée en multipliant ou divisant ses deux membres par un même nombre « POSITIF ».

On peut aussi les multiplier ou les diviser par un même nombre « NEGATIF » en changeant le sens de l’inéquation.

 

CAS PARTICULIER. On obtient une inéquation équivalente à une inéquation donnée en changeant  les signes de ses deux membres et en changeant son sens.

Cela revient en effet à multiplier les deux membres par « -1 ».

 

 

 

APPLICATION :

 

Soit l’inéquation :                                

Multiplions les deux membres par 12 . On obtient l’inéquation équivalente :

 

                              3 ( 2 x +1) + 60 > 4 ( 3x - 5)

 

dans laquelle les deux membres n’ont pas de dénominateur. On dit qu’on a chassé les dénominateurs.

 

Remarque. De même que pour le théorème I , on verra que le théorème II est applicable aux inéquations à plusieurs inconnues.

 

 

 

TRAVAUX  AUTO _ FORMATIFS :

 

CONTROLE :

1°)  Qu’appelle - t on  Inéquation ?:

 

2°)  Que cherche  -t-on lorsque l’on veut résoudre une inéquation ?

 

3°) Quand dit - on que des Inéquations sont équivalentes :  .

 

4°) Compléter la phrase :

Pour résoudre une inéquation, on la transforme  en « ……………………. » jusqu’à ce qu’on obtienne une inéquation dont la ………………………...

 

5°) Qu’utilise  - t- on pour résoudre  une inéquation ?(que faut-il connaître ?)

 

 

6°) Citer les 2 théorèmes qui permettent de résoudre les inéquations.

 

EVALUATION

 

Les inégalités suivantes sont – elles vraies ? 

Prouvez par un calcul :

- 4 < -3

 

-2 > -7

 

-2 < 0

 

-5 < 1

 

 

 

Rien d’autre pour l’instant !  :               voir >>> INEQUATION DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE.

 

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